矩陣多項式的逆矩陣求解方法

摘??要：?矩陣多項式理論知識在很多線性代數(shù)或者高等代數(shù)教材中都有所涉及，其逆矩陣求解計算性較強(qiáng)，方法較多。本文主要概述了不同矩陣多項式的逆矩陣的各類求解方法，即：多項式除法、待定系數(shù)法、替代法、綜合除法.?教師在課堂教學(xué)中適當(dāng)?shù)厝谌氡疚膬?nèi)容作為素材，可以深化教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)知識點之間的關(guān)聯(lián)性，也能培養(yǎng)學(xué)生的探索知識點間相互滲透的主動意識，對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)和高等代數(shù)課程的主動性有著重要的作用.

關(guān)鍵詞：?逆矩陣;?多項式除法;?待定系數(shù)法;?替代法;?綜合除法

中圖分類號：G642 ??????文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Inverse?Matrix?Solution?of??Matrix?Polynomial

Cai?Xuepeng

College?of?Mathematics?and?Physics，?Xinjiang?Agricultural?University

XinjiangUrumqi?Xinjiang???830052

Abstract：The?knowledge?of?matrix?polynomial?is?involved?in?many?linear?algebra?textbooks，?and?its?inverse?matrix?solution?is?more?computationally?efficient?and?has?many?methods.?In?this?paper，?various?methods?of?solving?the?inverse?matrix?of?different?matrix?polynomials?are?summarized，?namely：?polynomial?division，?undetermined?coefficient?method，?alternative?method，?synthetic?division?method.?If?teachers?properly?integrate?the?content?of?this?paper?into?the?classroom?teaching?as?materials，?it?can?deepen?the?teaching?content，?enhance?the?correlation?between?knowledge?points，?and?cultivate?students'?active?awareness?of?exploring?the?mutual?penetration?of?knowledge?points，?which?plays?an?important?role?in?cultivating?students'?innovation?awareness?and?innovation?ability?and?improving?students'?initiative?in?learning?linear?algebra?and?advanced?algebra?courses.

Keywords：?Inverse?matrix;?Polynomial?division;?Undetermined?coefficient?method;?Substitution?method;?Synthetic?division

在線性代數(shù)中，矩陣的逆[1]是其主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，常用的方法包括了伴隨矩陣法、初等變換法等[2-6].?這類求解方法較為基礎(chǔ)、單一.?關(guān)于矩陣多項式的逆矩陣求解方法[8，9]課本中涉及較少，?且相關(guān)課外書籍也未大量提及，?但是部分學(xué)生對于該內(nèi)容興趣較為濃厚.?因此，?為了方便學(xué)生更加快速、便捷地對各類矩陣多項式進(jìn)行逆矩陣求解.?本文重點分析矩陣多項式的逆矩陣的求解方法，?即：多項式除法、待定系數(shù)法、替代法、綜合除法，?并通過幾個實例簡單闡述這些方法的應(yīng)用，?期望能為求解各類矩陣多項式的逆矩陣問題提供一些思路.

1 預(yù)備知識

1. 1 矩陣多項式

設(shè)

是關(guān)于未知數(shù)的次多項式， 是方陣是的同階單位矩陣， 則稱

是由多項式

形成的矩陣的多項式， 記作.

1. 2 矩陣多項式的逆矩陣

設(shè)是一個階方陣， 是矩陣的多項式， 如果存在矩陣， 有如下關(guān)系：

則稱矩陣多項式是可逆的， 又稱矩陣為矩陣多項式的逆矩陣[8]. 當(dāng)矩陣多項式可逆時， 逆矩陣由矩陣多項式唯一確定， 記為.

2 求矩陣多項式的逆矩陣的幾種方法

2. 1 多項式除法

多項式除法求矩陣多項式的逆矩陣主要針對一些抽象的矩陣多項式. 下文敘述將應(yīng)用到以下兩引理：

引理1[1] 對于階方陣， 若存在矩陣， 使得或， 則矩陣可逆， 且矩陣是矩陣的逆矩陣.

引理2[5] 設(shè)和是兩個給定的多項式， 則一定存在多項式和， 使得， 其中， 多項式的次數(shù)小于多項式的次數(shù)， 或者.

下面， 本文將根據(jù)的最高次數(shù)分三種情況， 并對這三種情況分別舉例說明如下：

假設(shè)矩陣多項式， 求矩陣多項式的逆矩陣[7].

情形一 的次數(shù)比的次數(shù)高， 引理2中的為非零常數(shù).

例1 設(shè)， 求的逆矩陣.

解 記

由多項式除法可知，

于是

即

所以， 的逆矩陣為.

例2 設(shè)， 求的逆矩陣.

解 記

由多項式除法可知，

于是，

即：

所以， 的逆矩陣為.

情形二 的次數(shù)比次數(shù)高， 引理2中的是次數(shù)大于等于1的多項式.

例3 設(shè)， 求的逆矩陣.

解 類似的， 根據(jù)多項式除法可得：

又因為

所以， 矩陣也是可逆的， 則

由式以及矩陣是可逆的， 可知可逆， 從而可知可逆， 其逆矩陣為：

將式的代入式， 便可得到，

綜上所述， 的逆矩陣為.

例4 設(shè)， 求的逆矩陣.

解 類似的， 根據(jù)多項式除法可得：

又因為

所以， 矩陣也是可逆的， 則

由式以及矩陣是可逆的， 可知可逆， 從而可知可逆， 其逆矩陣為：

將式的代入式， 便可得到

綜上所述， 的逆矩陣為.

情形三 的次數(shù)比的次數(shù)高.

例5設(shè)， 求的逆矩陣.

解 類似可知

再由多項式除法得，

將代入上式， 可得

從而

于是的逆為.

例6 設(shè)， 求的逆矩陣.

解 由例5可知

再由多項式除法得，

將代入上式， 可得，

從而，

于是的逆為.

2.2 待定系數(shù)法

采用待定系數(shù)法也可以求解矩陣多項式的逆矩陣[5]， 詳細(xì)過程見例7和例8.

例7矩陣滿足， 令矩陣， 證明可逆， 并且計算矩陣的逆矩陣.

解 由于的逆矩陣次數(shù)是二次， 故可設(shè)

又由于，則有

進(jìn)而獲取的方程組如公式所示：

通過公式及相關(guān)條件， 可以求得、和的數(shù)值，

即

經(jīng)進(jìn)一步的計算， 可以確定：

例8 矩陣滿足， 令矩陣，證明矩陣可逆， 并且計算矩陣的逆矩陣.

解 由于矩陣的逆矩陣次數(shù)是二次， 故可設(shè)

又由于，則有

進(jìn)而獲取的方程組如公式所示：

通過公式及相關(guān)條件， 可以求得、和的數(shù)值，

即

經(jīng)進(jìn)一步的計算， 可以確定：

2. 3 替代法

設(shè)為矩陣多項式， 且當(dāng)時， 存在和， 將其帶入公式中， 在設(shè)定為零多項式的情況下， 可以確定， 然后可以將替換成矩陣， 并且假設(shè)， 而， 則可以確定， 從而可以確定是矩陣多項式的逆矩陣[8].

通過上述求解方式， 可以推出下述定理：

定理1[9] 設(shè)為一個階矩陣，為復(fù)數(shù)域，，，且的根都是的特征根，則可逆的充要條件是. 此時有存在，使得

且

求解矩陣多項式的逆矩陣還可采用替代法， 具體見例9和例10.

例9 設(shè)矩陣， 同時， 計算的逆矩陣.

解 的特征多項式為：

，

且.

由上述定理可知， 可逆， 由輾轉(zhuǎn)相除法可得，

.

因此由上述定理1可知，

.

例10 設(shè)矩陣， 同時， 計算的逆矩陣.

解 的特征多項式為：

，

且.

由上述定理可知， 可逆， 由輾轉(zhuǎn)相除法可得，

.

因此由上述定理1可知，

.

2.4 綜合除法

求解矩陣多項式的逆矩陣還可采用綜合除法， 具體見例11

例11 已知矩陣滿足關(guān)系式，計算.

解 設(shè)

， ，

從題目中可知，

， 為的零化多項式，

利用綜合除法求得，

，

故

.

例12 已知， 在公式中， 成立，計算.

解 設(shè)

， ，

從題目中可知，

， 為的特征多項式，

利用綜合除法求得，

，

故

.

結(jié)合定理1， 將矩陣多項式最小化， 由此可得

.

3 結(jié)論

矩陣逆矩陣的求解方法很多， 較為常見的有初等變換法和伴隨矩陣法， 這兩種方法是求逆矩陣較簡單的方法， 這兩種求解方法一般要先計算出矩陣多項式， 然后再用逆矩陣求解方法計算， 過程比較繁瑣， 而且容易出錯.

本文主要結(jié)合多項式除法、待定系數(shù)法、替代法、綜合除法對矩陣多項式的逆矩陣進(jìn)行求解. 在實際求解過程中， 應(yīng)根據(jù)多項式的實際情況， 選擇最為便捷的解法， 以提升對矩陣多項式逆矩陣的求解效率.

參考文獻(xiàn)：

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基金項目：新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)教研教改項目“融入人工智能元素的《線性代數(shù)》課程的教學(xué)案例設(shè)計”，項目編號：2024PTJG092

作者簡介：蔡學(xué)鵬（1991—? ），男，漢族，甘肅武威人，碩士，講師，主要從事圖論及其應(yīng)用和矩陣?yán)碚撗芯俊?/p>