借助遷移式問題鏈 構(gòu)建運算的一致性
—— “小數(shù)四則運算的再認(rèn)識” 的教學(xué)實踐與思考

□馮佳美

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》在 “數(shù)與運算” 主題中指出，要讓學(xué)生 “感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識” 。然而，五年級學(xué)生在學(xué)完小數(shù)四則運算后，對四則運算的理解往往是孤立的，缺乏對小數(shù)運算算理一致性的全面認(rèn)識。

從教材的編排情況來看，在小數(shù)加減法的學(xué)習(xí)中，學(xué)生受整數(shù)加減法正遷移的影響，能夠較好地理解并掌握小數(shù)加減法的運算意義。然而，在小數(shù)乘除法的學(xué)習(xí)中，教材并未結(jié)合小數(shù)乘除法的運算意義展開教學(xué)，而是引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)積的變化規(guī)律和商的變化規(guī)律，將其轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘除法進行運算。這在一定程度上強化了學(xué)生對算法的掌握，弱化了學(xué)生對算理的理解。因此，引導(dǎo)學(xué)生建立小數(shù)加、減、乘、除法之間的聯(lián)系，融通算理與算法，整體構(gòu)建運算的一致性，成為教學(xué)中的重要內(nèi)容。

問題是教學(xué)的核心，也是推動學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵因素。在教學(xué)中，教師可以通過設(shè)計問題鏈，有效支持學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與建構(gòu)過程。在教材中小數(shù)四則運算相關(guān)內(nèi)容教學(xué)結(jié)束后，筆者設(shè)計了 “小數(shù)四則運算的再認(rèn)識” 這一教學(xué)內(nèi)容，在核心內(nèi)容 “計數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)小數(shù)四則運算的一致性” 的統(tǒng)領(lǐng)下，以問題鏈為抓手，設(shè)計了 “關(guān)聯(lián)加減、遷移乘法、類比除法” 的遷移式問題鏈。通過問題鏈幫助學(xué)生建立小數(shù)加、減、乘、除法之間的聯(lián)系，深化學(xué)生對運算整體性與一致性的理解，從而培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、推理意識和模型意識。

一、聚焦核心內(nèi)容：計數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)小數(shù)四則運算的一致性

核心內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，有助于揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，具有很強的遷移價值。因此，深入理解與把握核心內(nèi)容，能夠幫助學(xué)生將零散的知識點串聯(lián)起來，形成知識網(wǎng)絡(luò)，從而實現(xiàn)知識與方法的遷移應(yīng)用。那么，運算一致性的核心內(nèi)容是什么？對此，史寧中教授指出：數(shù)的建構(gòu)與數(shù)的運算都是基于計數(shù)單位進行的，所有的運算都是相同計數(shù)單位個數(shù)的變化。加法是計數(shù)單位個數(shù)的合并，減法是計數(shù)單位個數(shù)的拆分，乘法是計數(shù)單位個數(shù)的累加，除法則是計數(shù)單位個數(shù)的遞減。因此，運算一致性的核心內(nèi)容就是計數(shù)單位。

（一）計數(shù)單位如何統(tǒng)領(lǐng)小數(shù)加減法？

在進行小數(shù)加減法運算時，首先要統(tǒng)一計數(shù)單位，然后再計算計數(shù)單位的個數(shù)。例如，在計算小數(shù)加法0.42+0.3 時，可以將其看作 “4 個0.1 加3 個0.1 加2 個0.01” ，結(jié)果為 “7 個0.1 加上2 個0.01” 。但這種表示方式不能直觀顯示計數(shù)單位的個數(shù)，故教師可以將計數(shù)單位統(tǒng)一為更小的單位，如0.01，把加法運算變?yōu)?“42 個0.01 加30 個0.01” ，結(jié)果得到 “72 個0.01” 。減法運算同理。如0.42-0.3 可以看成 “42個0.01減30個0.01” ，結(jié)果為 “12個0.01” 。因此，在計數(shù)單位的統(tǒng)領(lǐng)下，小數(shù)加減法的運算體現(xiàn)為計數(shù)單位不變，計數(shù)單位的個數(shù)相加減。

（二）計數(shù)單位也可以統(tǒng)領(lǐng)小數(shù)乘除法嗎？

在小數(shù)乘除法運算中，計數(shù)單位相較于小數(shù)加減法有所變化。具體表現(xiàn)為：在進行小數(shù)乘法計算時，如計算0.2×0.3，可先將其轉(zhuǎn)化為 “（2×0.1）×（3×0.1）” ，再簡化為 “（2×3）×（0.1×0.1）” ，最終得到 “6×0.01” 。在這一過程中，新計數(shù)單位通過兩個原計數(shù)單位相乘得到。在進行小數(shù)除法計算時，如計算0.06÷0.3，可先將其轉(zhuǎn)化為 “（6×0.01）÷（3×0.1）” ，再簡化為 “（6÷3）×（0.01÷0.1）” ，最終得到 “2×0.1” 。這里的計數(shù)單位則是通過兩個原計數(shù)單位相除得到。盡管小數(shù)乘除法的計數(shù)單位有所變化，但其核心依然是圍繞計數(shù)單位的個數(shù)進行計算。無論是乘法還是除法，都可以歸納為 “計數(shù)單位與計數(shù)單位進行運算，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字進行運算” 。

綜上所述，以計數(shù)單位為核心內(nèi)容教學(xué)小數(shù)乘除法，不僅可以使教學(xué)內(nèi)容保持前后連貫，還能幫助學(xué)生整體建構(gòu)對小數(shù)乘除法的理解。

二、提煉核心問題：小數(shù)四則運算一致性的遷移式問題鏈

鄭毓信教授曾強調(diào)， “問題引領(lǐng)” 的研究重點是 “核心問題的提煉與加工” 。教師應(yīng)基于教材編排內(nèi)容，立足實際學(xué)情，聚焦核心內(nèi)容，精準(zhǔn)提煉核心問題。在此基礎(chǔ)上，對提煉的問題進行深度加工，形成問題鏈，以鏈條式結(jié)構(gòu)為學(xué)生提供清晰的學(xué)習(xí)主線。在 “小數(shù)四則運算的再認(rèn)識” 這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，教師以小數(shù)加法為學(xué)習(xí)起點，進一步設(shè)計 “關(guān)聯(lián)加減、遷移乘法、類比除法” 的遷移式問題鏈，為學(xué)生的探究與遷移搭建支架（如圖1）。

圖1

（一）關(guān)聯(lián)加減，尋找一致性的 “敲門磚”

在這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已掌握了小數(shù)加減法的運算意義。為此，教師從加法運算開始教學(xué)，先讓學(xué)生借助 “百格圖” 涂色表示 “0.42+0.3” ，再引導(dǎo)學(xué)生思考應(yīng)如何表示 “0.42+0.3” 的涂色過程。是選擇4 個0.1 加上3 個0.1，再加上2 個0.01，還是選擇42個0.01加上30個0.01？大多數(shù)學(xué)生是選擇42 個0.01 和30 個0.01 進行涂色的，因為在統(tǒng)一計數(shù)單位0.01后，可以直接看出計數(shù)單位的個數(shù)。由此得出，小數(shù)加法的算理是 “求有幾個相同的計數(shù)單位” 。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生將這一學(xué)習(xí)經(jīng)驗順向遷移至小數(shù)減法的算理表達上，以促進他們對小數(shù)加減法算理共性的深入思考。

有了加法運算的基礎(chǔ)，學(xué)生在學(xué)習(xí)減法運算時表現(xiàn)出較高的水平。教師教學(xué)時，先分析學(xué)生的涂色作品，再讓他們結(jié)合相應(yīng)的算式進行表達。例如，0.42-0.3可以表示為 “42個0.01減30個0.01，還剩下12個0.01” 。接著引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)：小數(shù)加減法之間的算理共性在于一致性，這也是整體建構(gòu)的關(guān)鍵點。因此，核心問題 “小數(shù)加減法之間有什么聯(lián)系” 成為將知識遷移到小數(shù)乘法的 “敲門磚” 。

（二）遷移乘法，打通一致性的 “隔斷墻”

小數(shù)乘法雖然和小數(shù)加減法一樣，都表示 “求有幾個相同的計數(shù)單位” ，但與小數(shù)加減法不同的是，原來的兩個計數(shù)單位相乘會創(chuàng)生新的計數(shù)單位。因此，感悟乘法 “計數(shù)單位的變化” 就成為建構(gòu)運算一致性的 “隔斷墻” 。

在初步感悟 “求有幾個相同的計數(shù)單位” 之后，學(xué)生自然會產(chǎn)生猜想： “小數(shù)乘法會不會也是在求有幾個相同的計數(shù)單位？” 于是教師引導(dǎo)學(xué)生計算0.2×0.3，并比較（2×3）×（0.1×0.1）與（2×3）×0.1 兩種結(jié)果，分析其計數(shù)單位是0.1還是0.01（即0.1×0.1）。根據(jù)計算結(jié)果0.06，學(xué)生能夠準(zhǔn)確判斷出計數(shù)單位為0.01。但隨之也會產(chǎn)生疑問： “為什么計數(shù)單位是0.01？” 為此，教師引導(dǎo)學(xué)生通過 “畫一畫” “找一找” “說一說” 等活動，感悟小數(shù)乘法計數(shù)單位變化的原理。學(xué)生在充分探究后，通過與小數(shù)加減法算理進行比較，發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘法的算理也是 “求有幾個相同的計數(shù)單位” ，不同的是計數(shù)單位發(fā)生了變化，原來的兩個計數(shù)單位相乘產(chǎn)生了一個新的計數(shù)單位。

（三）類比除法，鞏固一致性的 “頂梁柱”

“小數(shù)除法還是在求有幾個相同的計數(shù)單位嗎？” 是本內(nèi)容教學(xué)中的最后一個核心問題，也是建構(gòu)運算一致性的 “頂梁柱” 。為此，教師基于先前對小數(shù)加減法、小數(shù)乘法的融會貫通，充分利用直觀的微課，以幫助學(xué)生理解小數(shù)除法計數(shù)單位變化的原理。

在教學(xué)0.06÷0.3的計算時，教師可以借助長方形的面積模型進行討論。通過將0.06 視為長方形的面積，0.3視為長方形的長，從而將0.06÷0.3轉(zhuǎn)化為 “已知面積和長，求寬是多少” 的問題（如圖2）。那么，算式0.06÷0.3 就是在求 “寬有幾個這樣的計數(shù)單位？” ，即求寬這部分的計數(shù)單位是多少，以及有多少個這樣的計數(shù)單位。確定寬這部分的計數(shù)單位個數(shù)，需要進行以下兩個關(guān)鍵步驟：第一步，確定計數(shù)單位。由圖3的涂色部分可知，正方形面積表示的計數(shù)單位是0.01。而長這部分的計數(shù)單位為0.1，故通過0.01÷0.1 就可以求出寬這部分的計數(shù)單位，得到0.1。第二步，確定個數(shù)。長方形面積表示的計數(shù)單位有6個，其中一行有3個，可以排列成2 行，由此可以得出0.1 的個數(shù)為2 個。最后，將求得的計數(shù)單位與個數(shù)相乘，就可得出寬為2 個0.1。在上述師生討論的基礎(chǔ)上，教師再利用動態(tài)的微課進行講解，幫助學(xué)生進一步理解小數(shù)除法計數(shù)單位變化的原理。

圖2

圖3

遷移式問題鏈的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要抓手。教師應(yīng)圍繞核心內(nèi)容，設(shè)計核心問題，并以序列問題鏈為教學(xué)路徑，幫助學(xué)生建立知識與知識間的內(nèi)在聯(lián)系，從而推進學(xué)生對知識本質(zhì)的深刻理解，促進學(xué)生思維的發(fā)展。