基于應變梯度非局部Biot理論的飽和土地基動力特性研究

黃志剛，徐志華，丁海濱，等.基于應變梯度非局部Biot理論的飽和土地基動力特性研究［J］.地震工程學報，2024，46（2）：325334.DOI：10.20000j.10000844.20220524001

摘要：

為探究孔隙尺寸效應（非局部參數表征）和介質局部非均勻效應（尺寸因子表征）對飽和土地基動力響應的影響，基于應變梯度非局部Biot理論，采用無網格法編制循環荷載下飽和土地基動力響應計算程序，驗證無網格法程序的正確性。結果表明，尺寸因子為定值時，隨著非局部參數的增加，觀測點位移及孔壓起始響應的時間有所延遲;而非局部參數為定值時，隨尺寸因子的增加，觀測點位移及孔壓起始響應時間有所提前;說明考慮孔隙尺寸效應會減小系統的宏觀模量，而考慮土體結構的非均勻效應則會增加系統的宏觀模量。研究提出采用無網格法求解飽和土動力問題的方法和思路，可為今后研究飽和土動力學問題的研究提供借鑒。

關鍵詞：

應變梯度;非局部Biot理論;無網格法;飽和土地基;動力特性

中圖分類號：TU435文獻標志碼：A文章編號：10000844（2024）02-0325-10

DOI：10.20000j.10000844.20220524001

0引言

隨著我國高速鐵路的快速發展，很多地區的高速鐵路不得不修建在軟土地基上。然而，在列車荷載下，軟土地基會產生較大的沉降，過大的沉降會影響列車的安全運營。因此，研究循環動荷載下飽和土地基的動力特性，對列車的安全運營具有重要的意義。

目前，學者們研究飽和土動力特性都基于Biot理論，如Carter等［1］采用有限元數值方法求解了彈塑性地基的固結問題;Wu等［23］采用數值流變模型建立了飽和土動力固結的有限元方程，分析了外荷載作用下低滲透性飽和黏土邊坡的動力固結問題;溫欣等［4］采用非線性有限元法研究了飽和土地基的真空固結問題。雖然經典Biot理論在工程中得到了廣泛的應用，但是該理論的建立是基于介質中波長遠大于孔隙尺寸的假設。然而該假設在高頻情況下將不再成立［5］。室內波速試驗表明，在高頻下，波在飽和土介質中的傳播會出現明顯的負色散效應［6］，而Biot理論無法預測該現象。為此，Tong等［5］考慮了孔隙尺寸效應的影響，提出了非局部Biot理論，并將該理論與已有試驗結果進行了對比，驗證了該理論。隨后，學者們利用非局部Biot理論對飽和土中Rayleigh波傳播特性［7］、飽和孔隙介質中襯砌動力響應［810］、移動荷載下飽和土介質的動力響應［1112］及循環荷載下飽和土介質中樁基的動力響應［13］等問題展開了研究。雖然，非局部Biot理論可以成功預測飽和孔隙介質中波負色散效應，但也有試驗表明，飽和孔隙介質中也存在波的正色散效應［14］，而Biot理論和非局部Biot理論均無法預測到該現象。為此，Tong等［15］同時考慮了孔隙尺寸效應和土體結構非均勻效應，提出了應變梯度非局部Biot理論，該理論成功預測了飽和土介質中波的負色散和正色散現象，并與試驗結果吻合較好。該理論引入了非局部參數和尺寸因子，分別用于描述非局部效應和土體局部非均勻效應;而應變梯度非局部Biot理論的建立是對經典Biot理論的擴展，增加了該Biot理論的應用范圍。最近，Ding等［16］將應變梯度非局部Biot理論用于飽和土中Rayleigh波傳播特性的研究。

本文擬采用無網格法求解應變梯度非局部Biot理論，并用于循環荷載下飽和土地基的動力特性的研究。無網格法思想最早是由Gingold等［17］提出。隨后，Nayroles等［18］采用移動最小二乘法（MLS）作為形函數對節點進行擬合。Belytschko等［1921］對Nayroles等［18］的形函數進行了改進，使用Lagrange乘子法施加了本質邊界條件，稱之為無單元伽遼金法（EFG）。近年來，已有學者將無網格法應用于飽和土介質動力特性的研究中，如Wang等［22］采用無網格法研究了各項異性飽和土的固結問題；Navas等［2324］采用無網格法提出了分析土壩無側限滲流的瞬態模型；Navas等［2526］基于uw格式的控制方程，采用局部最大熵原理（LME）構建無網格法形函數，研究了飽和土地基的固結問題；Samimi等［2728］提出了一種新的無網格技術用于模擬兩相飽和介質的固結問題；Ghaffaripour等［29］首次將無網格法用于非飽和土的力學性能的研究。無網格法因其所采用的形函數具有高階連續性，且計算時無需繪制網格，不存在網格畸變，可用于計算大變形問題，而在工程中得到了廣泛的應用。

本文擬基于非局部應變梯度Biot理論，采用無網格法，探究孔隙尺寸效應及土體結構非均勻效應對循環荷載下土體動力特性的影響。擬通過本文的研究，得出土體孔隙尺寸效應及土體結構非均勻效應對土體動力特性的影響規律，并給出無網格法求解該類問題的思路，為今后的研究提供借鑒。

1無網格法離散方程

考慮了孔隙尺寸效應及局部非均勻效應的應變梯度非局部Biot理論的控制方程為［15］：

（1-l21SymbolQC@2）（μSymbolQC@2u+（λc+μ）SymbolQC@SymbolQC@·u+αMSymbolQC@SymbolQC@·w）=（1-l20SymbolQC@2）（ρ+ρf（1-l21SymbolQC@2）（αMSymbolQC@SymbolQC@·u+MSymbolQC@SymbolQC@·w）=ρf+m+b（1）

式中：u、w分別為土骨架位移和流體相對于土骨架位移;l0為非局部參數，包含孔隙尺寸效應及由于波動引起的孔隙動力效應;l1為尺寸因子，用以表征孔隙材料結構的非均勻性，孔隙材料非均勻區域越大，尺寸因子的值越大，非局部參數和尺寸因子的值均可由室內波速試驗確定;α、M為Biot參數;SymbolQC@2為Laplace算子;λc=λ+α2M，μ、λ均為土骨架的Lame常數;ρ和ρf分別為孔隙介質和流體的體積密度，ρ=（1-n0）ρs+n0ρf，其中n0為初始孔隙比;ρs為土顆粒密度;m=ρfn0，為曲度因子;b=ηκF（ζ）;η為流體黏滯系數;κ為滲透系數;F（ζ）為黏性修正系數;F（ζ）=ζT（ζ）41+2iT（ζ）ζ;ζ=δωωc，ω為入射頻率，ωc=4ηρfπa2。圓孔狀孔隙時δ=8ξ，裂縫狀孔隙時δ=16ξ3，ξ為彎曲因子;T（ζ）=ber′（ζ）+ibei′（ζ）ber（ζ）+ibei（ζ）;ber、bei分別為第一類零階開爾文函數的實部和虛部。

根據總Cauchy應力σ′與土骨架位移的關系式：SymbolQC@·σ′=μSymbolQC@2u+（λ+μ）SymbolQC@SymbolQC@·u，式（1）可表示為：（1-l21SymbolQC@2）（SymbolQC@·σ′+α2MSymbolQC@SymbolQC@·u+αMSymbolQC@SymbolQC@·w）=（1-l20SymbolQC@2）（ρ+ρf）（1-l21SymbolQC@2）（αMSymbolQC@SymbolQC@·u+MSymbolQC@SymbolQC@·w）=ρf+m+b（2）采用虛位移原理對上式進行空間離散，其中，δu為土骨架虛位移;δw為流體相對固體虛位移。則：∫δuT［（SymbolQC·σ′+α2MSymbolQC@SymbolQC@·u+αMSymbolQC@SymbolQC@·w）-l21SymbolQC@2（SymbolQC@σ′+α2MSymbolQC@SymbolQC@u+αMSymbolQC@SymbolQC@·w）-ρ-ρf+lt0SymbolQC@2（ρ+ρf）］dΩ-∫δuT（σ'-）dΓ-∫δuT（p-）dΓ=0（3）∫Ω［（1-l21）（αMSymbolQC@SymbolQC@·u+MSymbolQC@SymbolQC@·w=ρf+m+b）］·δwdΩ-∫Ω（p-）·δudΩ=0（4）

采用Galerkin函數法對上式進行分部積分可得其弱形式為［30］：

Ksse+K′sse+

Kswe+

Mss¨e+M′sw¨e=fs

Kwse+Kwwe+

Mws¨e+

Mww¨e+Cww¨e=fw（5）

式中：

Kss=∫ΩBTDBdΩ+l21∫ΩB′TDB′dΩ;

K′ss=∫ΩBTmα2MmTBdΩ+l21∫ΩB′Tmα2MmTB′dΩ;

Ksw=Kws=∫ΩBTmαMmTBdΩ+l21∫ΩB′TmαMmTB′dΩ;

Kww=∫ΩBTmMmTBdΩ+l21∫ΩB′TmMmTB′dΩ;

Mss=∫ΩNTρNdΩ+l20∫ΩBTmρmTBdΩ;

Msw=Mws=∫ΩNTρfNdΩ+l20∫ΩBTmρfmTBdΩ;

Mww=∫ΩNTmNdΩ;

Cww=∫ΩNTbNdΩ;

fs=∫ΩNTdΓ;

fw=-∫ΩNTdΓ;

上述式中：兩矩陣乘積僅表示矩陣的乘法運算。e={e1…en}T和e={e1…en}T分別為單元土骨架和孔隙流體的節點位移矢量;Kss、K’ss均為土骨架單元剛度矩陣;Ksw、Kws為土骨架與孔隙流體的耦合單元剛度矩陣;Kww為孔隙流體的單元剛度矩陣;Mss為土骨架單元質量矩陣;Msw、Msw為土骨架與流體間的耦合單元質量矩陣;Mww流體單元質量矩陣;Cww為單元土骨架與流體間黏滯阻尼矩陣;fs為土骨架自由對應的等效節點荷載矢量;fw為流體自由度對應的等效節點荷載矢量;m={110}T;N=N10…Nn0

0N1…0Nn為形函數矩陣;D=λc+2μλc0

λcλc+2μ0

00μ為彈性矩陣;

B=Nx0

0Ny

NyNx，

B′=2Nx20

02Ny2

2Ny22Nx2。

為求解式（5），采用Newmark積分對其進行時間離散，為此，將時間劃分間隔為Δt的小區間，并假設當前時刻為n+1，則n+1時刻的加速度、速度和位移可表示為：

n+1=n+Δn+1

n+1=n+nΔt+β1ΔtΔn+1

un+1=un+nΔt+12Δt2n+12β2Δt2Δn+1（6）

進一步，可得：

2β2Δt2M+2β1β2ΔtC+KΔun+1=dfn+1+

2β2ΔtM+

2β1β2Cn+

1β2M-Δt1-β1β2Cn（7）

式中：β1，β2均為Newmark積分常數，為保證計算的穩定，應該滿足β2≥β1≥0.5。本文計算取β1=0.6和β2=0.605，以引入一定的數值阻尼提高計算的穩定性及收斂性。經計算取該積分常數時，數值結果是穩定的。

2數值結果與參數分析

2.1模型驗證

為了驗證本文無網格模型，利用本文數值程序計算圖1所示的一維固結問題。圖1（a）中，一維土柱高H0=30m，土柱底面作用于不透水的剛性地基上，其上表面作用于一均布荷載，均布荷載大小如圖1（c）所示，0.1s之前由0kPa線性增加至100kPa，0.1s之后保持100kPa不變。約束一維土柱的左右邊界土骨架及流體的法向位移，底部約束其土骨架及流體的豎向位移。本文的土柱被離散為205個離散結點（5×41=205），如圖1（b）所示。荷載作用下土柱的固結性由豎向固結系數cv表征。土體彈性模量為2MPa，泊松比為0.33。

圖2（a）為不同無量綱固結時間下，一維土柱歸一化固結度隨深度變化曲線。由圖可知，本文數值計算結果與Terzaghi一維固結解析解得出的結果一致，由此說明了本文計算模型的正確性。圖2（b）為一維土柱頂面中點豎向位移隨時間變化曲線，紅色虛線為解析解的最終沉降曲線。由圖2可知，本文所計算最終的沉降結果與解析解所得到的沉降值一致，進一步說明了本文數值模型的正確性。

為進一步驗證本文無網格模型，將計算模型退化為二維彈性單相介質，為此將飽和土相關參數、非局部參數和尺寸因子取為極小值，即：Biot參數α=10-6，M=10-6Pa，流體密度ρf=10-6kgm3及l0=l1=10-6m。將退化后結果與Ju等［31］計算結果對比，如圖3所示。地基模型長100m，高10m，該模型左上角1m范圍內施加均布荷載，荷載在T=0.16s范圍內呈三角形變化的動荷載。模型左右端為自由邊界，底面為固定邊界，觀測點位于距離右端10m處的A點，模型參數為E=100MPa，v=0.3及ρ=2000kgm3。本文計算結果與Ju等［31］計算結果對比如圖4所示?？梢钥闯觯疚慕Y果與Ju等結果完全吻合，由此進一步驗證了本文的無網格計算模型。

2.2算例分析

上文已驗證了本文無網格模型及數值計算程序的正確性。接下來將通過對循環荷載下飽和土地基的動力響應進行分析，探究非局部參數和尺寸因子對循環荷載下飽和土地基的動力特性的影響。

如圖5（a）所示，本算例所對應的實際情況為：飽和土地基中心處作用了一個荷載強度為P的均布荷載，作用寬度為10m。由于該問題的對稱性，為減少計算量，取一半模型進行分析。荷載P呈正弦變化，荷載頻率為1000Hz。Newmark積分步長為Δt=2.0×10-5s，總積分步數為10000，即所分析的總時間為0.2s。取一半分析后的模型尺寸為10m×10m，采用121個等間距分布的節點將其進行空間離散。位移及孔壓響應的觀測點位于模型四個角點處［圖5（b）］。模型兩側及底面約束離散節點的法向位移，且設置為不透水邊界條件（側邊界wx=0，底邊界wy=0）。飽和土參數如表1所列。（觀測點3和4的豎向位移及水平位移均為0），為更加清晰地觀測不同非局部參數，尺寸因子以及位移的變化規律，觀測時間應限制在0～5ms，而圖6中顯示為0～0.2s范圍內的位移時程曲線。本節所分析的非局部參數和尺寸因子的取值分別為l0=0.00m、0.04m、0.08m及l1=0.00m、0.04m、0.08m。由圖6（a）可看出，隨著尺寸因子l1的增加，豎向位移時程曲線出現第一個峰值的位置向前移動，即循環荷載所產生波傳播至觀測點1的時間變短，波速有所增加;如非局部參數l0=0.04m，尺寸因子l1=0.00m、0.04m、0.08m時，位移響應出現第一個峰值的時間分別為1.6ms、1.79ms和2.54ms。通過對比圖6中（a）可以看出，非局部參數越大，豎向位移時程曲線出現第一個峰值的時間有所延后，即隨非局部參數的增加飽和土地基中的波速有所降低，如非局部參數為0.04m及尺寸因子為0.00m時，位移及孔壓響應延遲1.05ms。這是由于非局部參數對飽和土介質剛度的貢獻在宏觀上表現為軟化效應，而尺寸因子在宏觀上表現為硬化效應。從波速上看，隨非局部參數的增加，飽和土介質中的波速呈現出下降趨勢，而隨尺寸因子的增加，飽和土介質中的波速呈現出增加的趨勢，這與本節所觀察到的現象一致。此外，通過圖6中（b）可看出，觀測點2的豎向位移時程曲線的相位隨尺寸因子或非局部參數的增加規律性不強，這是由于觀測點2位于荷載的正下方，因此上部循環荷載在觀測點2引起的位移響應沒有時間差，而位移產生波動是由于飽和土介質中波的干涉和上部循環荷載共同作用的結果。通過對比圖6中（a）可看出，非局部參數一定時，隨著尺寸因子的增加，位移響應振動幅值略有減小的趨勢。

圖7～圖9分別為非局部參數τ=0.00m、0.04m和0.08m時，不同尺寸因子下觀測的孔隙水壓力時程曲線。由圖7～圖9可清楚觀測到與圖6類似現象，即：隨非局部參數增加，觀測點孔壓響應有所延后，而隨尺寸因子增加，孔壓響應有所提前。對比圖7中觀測點1、3和4孔壓響應的起始時間，發現其起始時間有所不同，這是由于觀測點到荷載的距離不同，例如，觀測點4距離荷載最遠，因此其響應起始時間最晚。相同的現象也可從圖8和圖9中得出。通過對比圖7（a），圖8（a）及圖9（a）發現，隨著非局部參數的增加，孔壓響應的振動幅值有所減小，該現象也可通過對比圖7（c），圖8（c）及圖9（c）得到。

綜上所述，非局部參數及尺寸因子的變化會改變飽和土地基的波速，進而引起飽和土地基中波場的相位發生改變，從而導致飽和土介質中孔壓響應的起始時間不同。而尺寸因子越大孔壓響應的起始時間越短，而局部參數的增加則會延緩孔壓響應的時間。且隨非局部參數的增加，孔壓響應的振動幅值有所減小。

3結論

本文采用虛位移原理和Galerkin函數法構建了應變梯度非局部Biot理論弱形式，采用無網格法編制了飽和土地基動力響應計算程序。將該程序用于計算一維飽和土地基固結問題，并與Terzaghi解析解對比，驗證了無網格程序的正確性，最后通過算例分析討論了非局部參數和尺寸因子對飽和地基動力響應的影響。得出如下結論：

（1）尺寸因子為定值時，隨著非局部參數的增加，觀測點位移及孔壓開始響應的時間有所延長，如本文算例中非局部參數為0.04m及尺寸因子為0.00m時，位移響應延遲1.05ms。

（2）非局部參數為定值時，隨尺寸因子的增加，觀測點位移及孔壓響應的時間提前，如非局部參數為0.04m及尺寸因子為0.08m時，位移響應提前0.94ms。

（3）以上原因在于飽和土孔隙介質中波速隨非局部參數的增加逐漸減小，而隨尺寸因子的增加逐漸增加。隨非局部參數的增加，孔壓響應的振動幅值有所減小。

本文的研究提供了采用無網格數值法求解基于變梯度非局部Biot理論的動力問題的方法及思路，可為今后求解巖土工程中的動力問題提供借鑒。

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（本文編輯：任棟）

收稿日期：20220524

基金項目：江西省交通運輸廳科技項目（2021H0004）;國家自然科學基金（52208344）;國家自然科學基金高鐵聯合基金（U1934208）;江西省自然科學基金（20224BAB214068）

第一作者簡介：黃志剛（1984-），男，江西南昌人，碩士，正高級工程師，主要從事路基工程研究。Email：383613037@qq.com。

通信作者：丁海濱（1991-），男，江西鄱陽人，博士，副教授，主要從事土動力學研究。Email：hbding@ecjtu.edu.cn。