一類帶加性噪聲的隨機偏微分方程在不同相空間中的中心流形

摘要：研究一類帶加性噪聲的隨機偏微分方程在不同相空間中的中心流形的存在性．通過引入隨機變換的方法處理噪聲項，得到隨機偏微分方程的解，生成隨機動力系統，再通過Ｌｙａｐｕｎｏｖ-Ｐｅｒｒｏｎ方法證明中心流形的存在性．

關鍵詞：隨機偏微分方程；隨機動力系統；隨機中心流形；加性噪聲

中圖分類號：Ｏ１７５．２９ 文獻標志碼：Ａ 文章編號：１００１-８３９５（２０２４）０４-０５５５-０７

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１-８３９５．２０２４．０４．０１３

０ 引言

本文研究一類帶加性噪聲的隨機偏微分方程

其中，Ａε，０＜ε≤ε０（ε０是一個常數）是一簇稠定、自伴，在可分的實Ｈｉｌｂｅｒｔ空間上有緊預解的線性算子；Ｆε（ｖε）是一簇從Ｘε到它自身的非線性算子；ｈε（ｘ）是Ｘε中的一個元素，并且ｈε（０）＝０．相空間Ｘε隨著ε改變而改變．

不變流形對描述和理解非線性動力系統的動力學行為起著十分重要的作用，已經被廣泛用于研究無窮維確定動力系統．Ｈａｄａｍａｒｄ［１］最早提出確定動力系統的不變流形理論，然后Ｌｙａｐｕｎｏｖ［２］和Ｐｅｒｒｏｎ［３］使用了不同的方法進行研究．其中Ｈａｄａｍａｒｄ的圖變換方法是一種幾何方法，而ＬｙａｐｕｎｏｖＰｅｒｒｏｎ方法是一種解析方法．從那時起，產生了大量研究有限維和無限維確定動力系統的不變流形的文獻［４１１］．本文將通過解析方法研究在不同的相空間中，帶加性噪聲的隨機偏微分方程的中心流形的存在性．

Ｈａｌｅ等［１２］把確定動力系統的研究推廣到了薄域上，建立了一類反應擴散方程，他們研究了從二維薄域崩潰到一維區域時慣性流形的持久性．此后，他們的結果被用于研究各種問題［２１８］．最近，Ａｒｒｉｅｔａ等［１３］針對處理一類帶有奇異擾動的確定發展方程建立了一個基本框架，并建立了慣性流形的收斂．

對于隨機常微分方程（有限維隨機動力系統）的不變流形理論已經被廣泛研究［１９２１］，但是，對于隨機偏微分方程的研究仍然處于早期階段．最近，對帶加性噪聲或者乘性噪聲的隨機偏微分方程的不變流形理論的研究已經有一些成果［２２２９］．此外，文獻［３０］證明了帶非線性乘性噪聲的隨機波動方程的不變流形的存在性，文獻［３１３２］研究了隨機微分方程的中心流形收斂于其ＷｏｎｇＺａｋａｉ近似方程的中心流形，文獻［３３３４］討論了帶乘性噪聲的隨機偏微分方程的不變流形的近似行為．

１ 預備知識

參考文獻［１９］給出隨機動力系統的基本概念，參考文獻［２３］介紹在Ｈｉｌｂｅｒｔ空間中的線性算子Ａε和非線性算子Ｆε及其性質．

１．１ 隨機動力系統

設（Ω，Ｆ，Ｐ）是一個概率空間，Ｘ是一個可分的Ｈｉｌｂｅｒｔ空間，其范數為‖·‖．分別使用Ｂ（Ｒ）、Ｂ（Ｒ＋）和Ｂ（Ｘ）表示在Ｒ、Ｒ＋和Ｘ上的Ｂｏｒｅｌ集．

參考文獻

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（編輯 鄭月蓉）

基金項目：四川省科技廳應用基礎計劃（２０１６ＪＹ０２０４）