基于Einstein算子的直覺(jué)模糊值相似度及其在聚類中的應(yīng)用

摘要：基于直覺(jué)模糊等價(jià)矩陣聚類的關(guān)鍵在于合理構(gòu)建樣本之間的直覺(jué)模糊值相似度，這種相似度是有２個(gè)分量的二元形式，其中一個(gè)分量代表著２個(gè)對(duì)象之間的相似程度，另一個(gè)代表非相似程度．提出一種基于Ｅｉｎｓｔｅｉｎ算子的直覺(jué)模糊值相似度構(gòu)造方法并將其應(yīng)用到聚類分析．首先，給出Ｅｉｎｓｔｅｉｎ算子誘導(dǎo)的直覺(jué)模糊剩余蘊(yùn)含，并通過(guò)聚合直覺(jué)模糊剩余蘊(yùn)含得到直覺(jué)模糊值相似度；然后，利用這種直覺(jué)模糊值相似度構(gòu)建直覺(jué)模糊相似矩陣，并通過(guò)直覺(jué)模糊相似矩陣的合成運(yùn)算得到直覺(jué)模糊等價(jià)矩陣，進(jìn)而給出直覺(jué)模糊聚類算法；最后，通過(guò)算例對(duì)該方法進(jìn)行說(shuō)明和分析．

關(guān)鍵詞：直覺(jué)模糊集；Ｅｉｎｓｔｅｉｎ算子；直覺(jué)模糊值相似度；模糊聚類

中圖分類號(hào)：ＴＰ１８ 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ 文章編號(hào)：１００１-８３９５（２０２４）０４-０５２８-０９

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１-８３９５．２０２４．０４．０１０

模糊集［１］是模糊概念的一種數(shù)學(xué)表達(dá)方式，論域中的對(duì)象屬于模糊集的程度是［０，１］中的一個(gè)值．為了描述更多的不確定性，Ａｔａｎａｓｓｏｖ［２４］對(duì)模糊集進(jìn)行擴(kuò)展，提出直覺(jué)模糊集．直覺(jué)模糊集不僅考慮了對(duì)象滿足模糊概念的隸屬度與非隸屬度，還考慮了猶豫度信息，因而在處理模糊性等實(shí)際問(wèn)題方面更具靈活性和實(shí)用性．目前直覺(jué)模糊集理論已被廣泛應(yīng)用于多屬性決策［５６］、模式識(shí)別［７１０］、圖像處理［１１］、醫(yī)療診斷［１０］，以及近似推理［１２］等領(lǐng)域．聚類分析是直覺(jué)模糊集的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容．

基于直覺(jué)模糊相似（或等價(jià)）矩陣聚類的關(guān)鍵在于合理構(gòu)建樣本之間的直覺(jué)模糊相似度．多年來(lái)，學(xué)者們提出了多種構(gòu)造直覺(jué)相似度的方法，其中典型的構(gòu)造方式是基于距離測(cè)度的拓展，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合直覺(jué)模糊集的特性與不同理論持續(xù)改進(jìn)［７１０，１３１６］．比如，文獻(xiàn)［９］將直覺(jué)模糊有界變分與直覺(jué)模糊ｌｐ度量相結(jié)合，提出了一種混合相似性度量，并將相似度用來(lái)構(gòu)造直覺(jué)模糊矩陣進(jìn)而進(jìn)行聚類分析；文獻(xiàn)［１６］結(jié)合加權(quán)歐氏距離和正切函數(shù)定義了一種新的直覺(jué)模糊相似度，然后和相關(guān)系數(shù)公式聚合提出一種新的加權(quán)接近度，將其應(yīng)用到一種改進(jìn)的直覺(jué)模糊Ｃ均值聚類技術(shù)．

然而，許多直覺(jué)模糊相似度是［０，１］中一個(gè)值，應(yīng)用到直覺(jué)模糊聚類時(shí)實(shí)際上就是傳統(tǒng)意義上的模糊聚類，這與直覺(jué)模糊集同時(shí)考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度３個(gè)方面信息的定義不協(xié)調(diào)．事實(shí)上，Ｂｅｌｉａｋｏｖ等［１７］指出：在直覺(jué)模糊背景下的任何一種結(jié)果為單一值的直覺(jué)相似性度量，出現(xiàn)不合理甚至違反直覺(jué)的情況都是不可避免的，并由此給出了一個(gè)二元向量形式相似度的公理化定義和一般構(gòu)造方法．除此之外，文獻(xiàn)［１８］也提出了一種二元組相似度公理化定義，基于一種單值相似度的最大值與最小值，構(gòu)造出一個(gè)直覺(jué)模糊值相似度，并將其應(yīng)用到直覺(jué)模糊聚類分析．

基于直覺(jué)模糊值相似度在實(shí)際應(yīng)用中的重要性，本文提出一種基于Ｅｉｎｓｔｅｉｎ算子的直覺(jué)模糊值相似度構(gòu)造方法并將其應(yīng)用到聚類分析．首先，給出Ｅｉｎｓｔｅｉｎ算子誘導(dǎo)的直覺(jué)模糊剩余蘊(yùn)含，并通過(guò)聚合直覺(jué)模糊剩余蘊(yùn)含得到直覺(jué)模糊值相似度；然后，利用這種直覺(jué)模糊值相似度構(gòu)建直覺(jué)模糊相似矩陣，并通過(guò)直覺(jué)模糊相似矩陣的合成運(yùn)算得到直覺(jué)模糊等價(jià)矩陣，進(jìn)而給出直覺(jué)模糊聚類算法；最后，通過(guò)算例對(duì)該方法進(jìn)行說(shuō)明和分析．

１ 預(yù)備知識(shí)

３）當(dāng)０≤α≤０．７２，０．０５≤β＜０．０９時(shí)，車組分為４類，即｛Ａ１｝、｛Ａ２｝、｛Ａ３，Ａ４｝、｛Ａ５｝；

４）當(dāng)０．７３＜α≤０．７７，０．２≤β≤１－α?xí)r，車組分為３類，即｛Ａ１｝、｛Ａ２，Ａ３，Ａ５｝、｛Ａ４｝；

５）當(dāng)０．７２＜α≤０．７３，０．１１≤β＜０．２時(shí)，車組分為３類，即｛Ａ１，Ａ２，Ａ３｝、｛Ａ４｝、｛Ａ５｝；

６）當(dāng)０≤α≤０．７２，０．０９≤β＜０．１１時(shí)，車組分為３類，即｛Ａ１｝、｛Ａ２，Ａ３，Ａ４｝、｛Ａ５｝；

７）當(dāng)０．７２＜α≤０．７３，０．２≤β≤１－α?xí)r，車組分為２類，即｛Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ５｝、｛Ａ４｝；

８）當(dāng)０≤α≤０．７２，０．１１≤β＜０．２時(shí)，車組分為２類，即｛Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４｝、｛Ａ５｝；

９）當(dāng)０≤α≤０．７２，０．２≤β≤１－α?xí)r，車組分為１類，即｛Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４，Ａ５｝．

文獻(xiàn)［１８，２６］提出的直覺(jué)模糊相似度同樣是以直覺(jué)模糊值形式表征的，且使用了和本文相同的算例來(lái)進(jìn)行聚類演示．這里不妨做一個(gè)比較分析．

從聚類結(jié)果上來(lái)看，文獻(xiàn)［１８］只有一個(gè)粗糙的分類情況，無(wú)法將車組劃分為２類和４類；文獻(xiàn)［２６］有從１類到５類的完整分層聚類過(guò)程，但是相對(duì)本文來(lái)說(shuō)分類結(jié)果不夠多樣化．

通過(guò)比較各自構(gòu)造的直覺(jué)模糊相似矩陣，可以發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)［１８，２６］中都存在著不同車輛之間有著相同相似度的情況．比如，在文獻(xiàn)［２６］中，直覺(jué)模糊相似矩陣的元素ｚ１５＝ｚ３５，即認(rèn)為Ａ１、Ａ５的相似程度與Ａ３、Ａ５的相似程度是一樣的．而本文得到的任意不同的兩輛車之間的相似度都是不同的，說(shuō)明我們所提出的相似度公式可分辨度更高、更精確．這一點(diǎn)從相似度的構(gòu)造方式上就能夠初見(jiàn)端倪：文獻(xiàn)［１８，２６］雖然給出了直覺(jué)模糊值形式表征的相似度公式，但是２個(gè)分量在實(shí)際意義上獨(dú)立存在，各自都有一套構(gòu)成原則；本文則是始終將其看作一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行討論，沒(méi)有過(guò)多地破壞２個(gè)直覺(jué)模糊集之間的原始信息．

最后，由于本文給出的聚類方法利用直覺(jué)模糊值相似度來(lái)獲取相似矩陣，又對(duì)置信水平中的２個(gè)參數(shù)都進(jìn)行了分類討論，所以更充分地挖掘了直覺(jué)模糊集所蘊(yùn)含的信息，避免了信息的丟失．又因?yàn)樗嵌鄬哟蔚姆謱泳垲悾梢愿鶕?jù)具體的環(huán)境要求選擇合適的聚類數(shù)量，所以具有更大的應(yīng)用前景．

４ 結(jié)束語(yǔ)

在直覺(jué)模糊環(huán)境中，相似度表示了直覺(jué)模糊集之間的接近程度，是一個(gè)非常重要的不確定性度量工具．在本文中，通過(guò)聚合Ｅｉｎｓｔｅｉｎ算子誘導(dǎo)的直覺(jué)模糊剩余蘊(yùn)含提出了一種新的基于Ｅｉｎｓｔｅｉｎｔ模的直覺(jué)模糊值相似度，它的２個(gè)分量分別代表著２個(gè)對(duì)象之間的相似程度和非相似程度，然后利用所提出的新相似度給出了一種基于等價(jià)關(guān)系的直覺(jué)模糊聚類方法，最后通過(guò)算例驗(yàn)證了該方法的可行性和優(yōu)越性．

參考文獻(xiàn)

［１］ＺＡＤＥＨＬＡ．Ｆｕｚｚｙｓｅｔｓ［Ｊ］．ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，１９６５，８（３）：３３８-３５３．

［２］ＡＴＡＮＡＳＳＯＶＫＴ．Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓ［Ｊ］．ＦｕｚｚｙＳｅｔｓａｎｄＳｙｓｔｅｍｓ，１９８６，２０（１）：８７-９６．

［３］ＡＴＡＮＡＳＳＯＶＫＴ．Ｍｏｒｅｏｎｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓ［Ｊ］．ＦｕｚｚｙＳｅｔｓａｎｄＳｙｓｔｅｍｓ，１９８９，３３（１）：３７-４５．

［４］ＡＴＡＮＡＳＳＯＶＫＴ．Ｎｅｗｏｐｅｒａｔｉｏｎｓｄｅｆｉｎｅｄｏｖｅｒｔｈｅｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓ［Ｊ］．ＦｕｚｚｙＳｅｔｓａｎｄＳｙｓｔｅｍｓ，１９９４，６１（２）：１３７-１４２．

［５］ＪＵＦ，ＹＵＡＮＹ，ＹＵＡＮＹ，ｅｔａｌ．Ａｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ-ｂａｓｅｄｄｉｓｔａｎｃｅｍｅａｓｕｒｅｆｏｒｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｄｅｃｉ-ｓｉｏｎｍａｋｉｎｇｏｆｉｎｎｏｖａｔｉｏｎｍａｎａｇｅｍｅｎｔ［Ｊ］．ＩＥＥＥＡｃｃｅｓｓ，２０２０，８：１１０５-１１１７．

［６］ＫＨＡＮＭＪ，ＫＵＭＡＭＷ，ＡＬＲＥＳＨＩＤＩＮＡ．Ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｍｅａｓｕｒｅｓｆｏｒｃｉｒｃｕｌａｒｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓａｎｄｔｈｅｉｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆＡｒｔｉｆｉｃｉａｌＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，２０２２，１１６：１０５４５５．

［７］ＢＯＲＡＮＦＥ，ＡＫＡＹＤ．Ａｂｉｐａｒａｍｅｔｒｉｃｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｍｅａｓｕｒｅｏｎｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓｗｉｔｈａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｐａｔｔｅｒｎｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅｓ，２０１４，２５５：４５-５７

［８］ＣＨＥＮＳＭ，ＣＨＡＮＧＣＨ．ＡｎｏｖｅｌｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｍｅａｓｕｒｅｂｅｔｗｅｅｎＡｔａｎａｓｓｏｖ’ｓｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓｂａｓｅｄｏｎｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｔｅｃｈ-ｎｉｑｕｅｓｗｉｔｈａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｐａｔｔｅｒｎｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅｓ，２０１５，２９１：９６-１１４．

［９］ＡＳＨＲＡＦＺ，ＫＨＡＮＭ Ｓ，ＬＯＨＡＮＩＱＭ Ｄ．ＮｅｗｂｏｕｎｄｅｄｖａｒｉａｔｉｏｎｂａｓｅｄｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｍｅａｓｕｒｅｓｂｅｔｗｅｅｎＡｔａｎａｓｓｏｖｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙｓｅｔｓｆｏｒｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇａｎｄｐａｔｔｅｒｎｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＳｏｆｔＣｏｍｐｕｔｉｎｇ，２０１９，８５：１０５５２９．

［１０］ＤＨＩＶＹＡＪ，ＳＲＩＤＥＶＩＢ．Ａｎｏｖｅｌｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｍｅａｓｕｒｅｂｅｔｗｅｅｎｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｍｉｄｐｏｉｎｔｓｏｆｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｔｒｉａｎｇｕｌａｒ ｆｕｚｚｙｎｕｍｂｅｒｓｗｉｔｈａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｐａｔｔｅｒｎｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎａｎｄｍｅｄｉｃａｌｄｉａｇｎｏｓｉｓ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１９，３４（２）：２２９-２５２．

［１１］ＤＵＢＥＹＹＫ，ＭＵＳＨＲＩＦＭＭ，ＭＩＴＲＡＫ．ＳｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｂｒａｉｎＭＲｉｍａｇｅｓｕｓｉｎｇｒｏｕｇｈｓｅｔｂａｓｅｄｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ［Ｊ］．Ｂｉｏｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ＆ＢｉｏｍｅｄｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１６，３６（２）：４１３-４２６．

［１２］ＥＳＭＡＥＩＬＩＭ，ＥＳＬＡＭＩＥ．Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｒｅａｓｏｎｉｎｇｕｓｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇｔｈｅｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｏｆｔｒｕｔｈｔａｂｌｅｓ［Ｊ］．Ｓｏｆｔ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，２０１９，２３（１８）：８７６５-８７７４．

［１３］ＨＵＮＧＷ Ｌ，ＹＡＮＧＭＳ．ＳｉｍｉｌａｒｉｔｙｍｅａｓｕｒｅｓｏｆｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓｂａｓｅｄｏｎＬｐｍｅｔｒｉｃ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｐｐｒｏｘ-ｉｍａｔｅＲｅａｓｏｎｉｎｇ，２００７，４６（１）：１２０-１３６．

［１４］ＤＵＷ Ｓ，ＨＵＢＱ．Ａｇｇｒｅｇａｔｉｏｎｄｉｓｔａｎｃｅｍｅａｓｕｒｅａｎｄｉｔｓｉｎｄｕｃｅｄｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｍｅａｓｕｒｅｂｅｔｗｅｅｎｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓ［Ｊ］．Ｐａｔｔｅｒｎ ＲｅｃｏｇｎｉｔＬｅｔｔ，２０１５，６０／６１：６５-７１．

［１５］ＧＡＲＧＨ，ＲＡＮＩＤ．Ｎｏｖｅｌｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｍｅａｓｕｒｅｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｒｉｇｈｔａｎｇｌｅｄｔｒｉａｎｇｌｅｓｂｅｔｗｅｅｎｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓａｎｄ ｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＣｏｇｎｉｔｉｖｅＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０２１，１３（２）：４４７-４６５．

［１６］ＨＯＵＷ Ｈ，ＷＡＮＧＹＴ，ＷＡＮＧＪＱ，ｅｔａｌ．Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｃｍｅａｎｓｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎａｎｏｖｅｌｗｅｉｇｈｔｅｄｐｒｏｘｉｍｉ-ｔｙｍｅａｓｕｒｅａｎｄｇｅｎｅｔｉｃａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｃｈｉｎｅＬｅａｒｎｉｎｇａｎｄＣｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ，２０２０，１２（３）：８５９-８７５．

［１７］ＢＥＬＩＡＫＯＶＧ，ＰＡＧＯＬＡＭ，ＷＩＬＫＩＮＴ．ＶｅｃｔｏｒｖａｌｕｅｄｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｍｅａｓｕｒｅｓｆｏｒＡｔａｎａｓｓｏｖ’ｓｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓ［Ｊ］．Ｉｎｆｏｒ-ｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅｓ，２０１４，２８０：３５２-３６７．

［１８］張洪美，徐澤水，陳琦．直覺(jué)模糊集的聚類方法研究［Ｊ］．控制與決策，２００７，２２（８）：８８２-８８８．

［１９］ＸＵＺＳ，ＹＡＧＥＲＲＲ．Ｓｏｍｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｇｇｒｅｇａｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒｓｂａｓｅｄｏｎｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｅｎ-ｅｒａｌＳｙｓｔｅｍｓ，２００６，３５（４）：４１７-４３３．

［２０］ＤＥＳＣＨＲＩＪＶＥＲＧ，ＣＯＲＮＥＬＩＳＣ，ＫＥＲＲＥＥＥ．Ｏｎｔｈｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｔ-ｎｏｒｍｓａｎｄｔ-ｃｏｎｏｒｍｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＦｕｚｚｙＳｙｓｔｅｍｓ，２００４，１２（１）：４５-６１．

［２１］周磊，吳志偉，張文修．直覺(jué)模糊集關(guān)系的截集性質(zhì)［Ｊ］．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，２００９，２３（２）：１１０-１１５．

［２２］陳曉明，姚澤清．基于集值統(tǒng)計(jì)的直覺(jué)模糊聚類［Ｊ］．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，２０１１，２５（３）：１００-１０８．

［２３］雷英杰．直覺(jué)模糊集理論及應(yīng)用［Ｍ］．北京：科學(xué)出版社，２０１４．

［２４］ＣＯＲＮＥＬＬＳＣ，ＤＥＳＣＨＲＩＪＶＥＲＧ，ＫＥＲＲＥＥＥ．Ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙａｎｄｉｎｔｅｒｖａｌｖａｌｕｅｄｆｕｚｚｙｓｅｔｔｈｅｏｒｙ：ｃｏｎ-ｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ，ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｅＲｅａｓｏｎｉｎｇ，２００４，３５（１）：５５-９５．

［２５］ＣＨＥＮＺＣ，ＬＩＵＰＨ．Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｖａｌｕｅｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｍｅａｓｕｒｅｓｆｏｒｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓ［Ｊ］．ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌａｎｄＡｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０２２，４１（１）：４５-６４．

［２６］ＬＩＵＪ，ＺＨＯＵＸ，ＨＵＡＮＧＢ，ｅｔａｌ．Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇｓｉｍｉｌａｒｉｔｙａｎｄｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｍｅａｓｕｒｅｓｆｏｒｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔａｎｄＦｕｚｚｙＳｙｓｔｅｍｓ，２０１９，３６（４）：３１９５-３２０９．

（編輯 余 毅）

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（６１３７２１８７）