統籌·路徑·階梯：“倍的認識”單元教學設計與實踐研究

虞歡歡

［摘 要］“倍的認識”是小學數學中學習比率關系的起始單元，是后續數學知識學習的重要基礎單元，具有承上啟下的作用。文章根據教材分析、學情分析以及教學實踐，從“合理規劃倍的課時內容”“清晰規劃倍的概念建構路徑”“階梯推進學生核心素養提升”三個方面制訂完善本單元教學的路徑與策略，促進學生知識結構的形成和核心素養的養成。

［關鍵詞］合理統籌；路徑建構；階梯推進

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）11-0033-05

“倍的認識”是人教版教材三年級上冊第五單元的內容，內涵豐富，是促進后續數學知識學習的重要基礎。“倍的認識”也是學生對兩個量關系認識從“相差關系”到“比率關系”的一次“質變”。

一、“倍”單元的教材研讀及編排分析

（一）教材研讀，倍的關聯知識豐富

“倍”表示的是兩數關系，而三年級上冊“倍的認識”是比較兩個數量關系的第四個階段。此前其實也有涉及兩個量關系的學習，但只局限于相差關系，教材從三年級“倍的認識”單元開始討論兩個量的“比率關系”。筆者對人教版教材兩數關系的學習內容進行了整理。

兩個數量的關系從“比多少”開始，到形成兩個數量之間的特殊關系“倍”，再到五、六年級用“小數”“分數”“百分數”“比”來表示兩個數量的倍比關系。整個概念體系的建構是按照“整數—分數—小數—比”的順序依次進行的。

（二）編排分析，倍的課例安排不足

三年級上冊“倍的認識”這一單元的編排順序為引入概念、建立概念、應用概念。筆者通過實踐發現本單元教材存在兩個不足。

1.知識分散、重復、不全，不利于學生形成知識結構

知識單向重復多，不利于學生整體思考。“倍的認識”實質上就是對 “倍數”“標準量”和“比較量”三者之間關系的認識，教材通過3個例題，采用小步子漸進的教學安排。這樣的教學會有明顯的分散性和重復性，同時缺乏挑戰性。

2.編排缺少后續關聯，不利于學生形成知識結構

內容編排缺乏關聯性，不利于學生形成知識結構。“倍”是數量之間的一種特殊關系，在學習“倍”之前我們已經在用“比多少”表示兩個量之間的關系，后續還會學習“不到1倍時用一個數是另一個數的幾分之幾或百分之幾來表示”。教材編排中缺乏這樣的知識關聯，學生只是孤立地認識“倍”，不能很好地實現知識遷移，難以形成知識結構。

二、“倍”單元的學情調查及教學現狀

（一）學情分析，收集學生學情

為了更好地進行單元教學，筆者在研究“倍的認識”前對學生進行了前測（略）并分析了結果。

1.學生對倍的理解，因相差關系產生一定的負遷移

前測第1題中沒有出現有關“倍”的字眼，學生習慣性用學過的“比多少”來描述兩個量的關系，很少有學生用“倍”來描述兩個數量之間的關系。筆者還發現，有些學生把3倍理解成了“相差3”，還有學生把3倍理解成了“多3倍”。對此，教師教學時要考慮“相差關系”的負遷移，引導學生從“相差關系”的概念中轉變過來。

2.學生對倍有一定的認知基礎，但缺乏本質理解

學生對“倍”的概念有豐富的生活經驗和一定的認識基礎，但缺乏本質的理解。前測中，有43.6%的學生畫出的關系圖中，蘋果的數量是香蕉的3倍，但畫的時候仍會把蘋果放在香蕉的前面，這說明學生缺乏以香蕉為標準量的概念。另外，還有學生認為2的1倍是4，說明學生沒有明白“比較量”的概念。這樣的現象說明學生對“倍”的理解層次不一，對“標準量”“比較量”和“倍數”三者之間的關系是模糊的，沒有真正明白倍數關系。

（二）教學分析，收集教學問題

除了學生對“倍的認識”這一學習內容存在一定困惑，教師在教學時也有許多的問題。教學中常見的問題收集如下。

1.概念教學集中于起始課，忽略概念的建構需要過程

學生一看到倍就用乘法，說明教師教學時并沒有落實“對倍概念本質屬性的認識”，其主要原因是教師在教學這個單元時只關注答題，忽視了對倍的理解。

2.學生的核心素養停留于關注，缺少素養提升的系統性規劃

這個單元指向的核心素養主要是“幾何直觀”，具體表現在用圖來表征倍的能力、用圖來解決問題的能力和數形結合意識。在實際的教學中，教師對學生學習畫圖方法缺少進階性指導，缺少由易到難的進階規劃，對學生幾何直觀的培養缺少系統性的規劃。

三、倍的單元統籌教學實踐及思考

（一）統籌安排：規劃倍的課時結構及內容

1.整合與劃分單元課時，統籌規劃課時結構

基于以上整理和分析，筆者對“倍的認識”單元的課時結構進行了重新規劃設計，規劃后的課時安排如圖1所示。

本單元內容由原來的4課時變為5課時，分別是操作認識倍、應用認識倍、對比認識倍、整理認識倍、拓展認識倍。原來的課時安排缺乏結構性以及倍知識的完整性。而規劃后的5課時，先通過操作比較，把抽象的新知識“倍”與學生已經掌握的“幾個幾”建立聯系，讓學生初步認識倍的概念。再通過大量比較兩個量的倍數關系，幫助學生建立倍的直觀模型，使學生在解決問題的過程中表達出倍的本質特征，抽象概括出基本數量關系。最后，倍的復習和拓展促使學生整體地理解“標準量”“比較量”和“倍數”三者的關系，進而能夠應用倍的意義去解決問題。教學內容涵蓋了教材原來缺失的部分，并且建立了與后續知識的關聯。

2.概念要素分解與重組，合理規劃課時內容

倍的概念的內涵與外延非常豐富，這也是造成許多教師在教學中顧此失彼的原因。每個課時的教學內容要做合理的安排，避免有些課時內容過多、過難，有些課時過于簡單。筆者認為概念要素的分解與重組是一個非常好的策略。

本單元內容分為四個一級要素，包括“倍的意義”“倍數”“標準量”“比較量”。這四個一級要素又可以分解成多個二級小要素（見表1）。

具體要素分布如圖2所示。

合理分解要素是為了把大概念拆分成一個個小概念，然后合理地分配到每個課時中。這樣一方面能使教師明確單元設計中要落實的具體內容，為后面課時做好鋪墊，避免要素過多導致重復和遺漏；另一方面，有利于引導學生有梯度、有增量、有系統、有結構地進行學習。

（二）路徑建構：厘清倍概念的建構路徑

要想建構正確的概念，首先要讓學生經歷從“差比”到“率比”的討論過程，從而規避知識的負遷移。

1.經歷從“相差”到“比率”的辨析過程，消除知識經驗的負遷移

在第1課時的教學中，筆者用前測第1題中四名學生的作品作為活動一的材料，其中三人的作品是相差關系，一人的作品是比率關系，也就是倍數關系（如圖3）。

筆者讓學生用分類、對比的方式對這四幅圖進行學習，感知“倍”也是兩數關系的一種，且與比大小有所不同。

2.經歷從“具象”到“抽象”的概括過程，剔除非本質因素的干擾

在第1課時中，學生在認識到倍是一種新的兩個數量之間關系后，聚焦圖3的第3幅作品深入討論“什么是倍？”。

在第1課時活動二教學過程中，聚焦第3幅作品，圍繞為什么說“蘋果是香蕉的3倍”開展討論。教師在此時為學生提供操作支架“圈一圈”，以及語言支架，即“香蕉有（）根，蘋果有（）個（），所以（）的數量是（）的數量的（）倍”，幫助學生清晰、準確地建立“倍”的具象概念。

接著，筆者出示前測中學生的其他四幅作品（圖略）。筆者先帶領學生圍繞“這些數量是不是3倍關系？”“怎么看出3倍關系？”兩個問題進行辨析、討論、思考，重點引導學生用圈一圈的方式來清晰表達3倍關系，接著讓學生圍繞“這四幅圖都表示3倍關系，它們有什么共同點？”進行討論。通過隱去圈內的圖形，啟發學生逐步發現3倍關系的特征（如圖4）。

最后讓學生重點圍繞圖3的第4幅作品進行討論。這幅圖中，香蕉和蘋果可能有幾個？通過討論明確香蕉與蘋果的個數有無數種可能，從而剔除非本質因素的干擾，逐漸將“倍”的具象概念過渡為“倍”的抽象概念。

3.經歷從“認識”到“運用”的關系建構，認識倍中的三者關系

本單元第2課時活動一和活動二的具體設計結構如圖5所示。

在第2課時的活動一中，學生圍繞同一題材，提出三個不同的求倍數問題，經歷數量由少變多的過程，體驗將數量圖轉化為線段圖的過程，用語言、畫圖、算式表示求倍數就是“求比較量里面有多少個標準量”。橫向對比三個問題的求解過程，總結比較量和標準量的關系。

活動二則通過改變已知條件，引出求比較量和求標準量的兩種應用。其中，求比較量被作為重點內容進行探究，通過語言、畫圖、算式等方式體驗求比較量就是求幾個標準量是多少。在滲透求標準量的過程中，逐步完善“倍”的概念中三個數量之間的關系建構。

4.經歷從“一般”到“特殊”的演變過程，了解倍的內涵與外延

第3課時的安排是在整倍數應用的基礎上，對“比較量的數量”進行調整。學生的學習順序是從“香蕉是蘋果的3倍”到“香蕉比蘋果的2倍多4個”或者“香蕉是蘋果的3倍少2個”，即當數量不是整倍的時候，可以用幾倍多幾或者幾倍少幾來表示關系。這樣，學生對“倍”的認識就有了新的突破。具體設計如圖6所示。

5.經歷從“零散”到“結構”的關聯過程，促進倍的概念結構形成

在經歷了多次比較、擴充概念學習活動后，學生對“倍”的認識雖是連續的，但不夠系統。因此在第4課時設計復習課，以進行溝通和整理。本課時活動一設計如圖7所示。

在活動二中，教師列舉了4種不同情境下成倍數的數量關系，旨在讓學生活用“倍”的概念解決問題，體驗不同情境中倍的表征。雖然在第2課時中學生對“倍”的三類應用已經有了比較全面的學習，但第4課時不僅對倍的應用進行了鞏固，還和生活中其他倍的應用進行了統整與聯系。這不僅豐富了倍的概念的應用，還完善了學生的學習建構體系，使學生達到觸類旁通的效果。

（三）階梯推進：有序促進學生核心素養提升

在本單元的學習中，從用圈一圈來理解倍，到用簡單的符號畫數量圖來解決倍的問題，再到用線段圖來解決倍數問題，培養學生的圖文轉化能力和用畫圖的方法來幫助思考的意識。整條線層層推進，逐步深入，最終指向核心素養“幾何直觀”的培養。具體推進路線如圖8所示。

1.關注標準量：細化畫圖方法的指導

這個單元指向的核心素養主要是“幾何直觀”，具體表現為用圖來表征倍的能力、用圖來培養解決問題的能力和數形結合意識。在前測中，筆者發現利用圖形表征能夠明顯幫助學生更好地理解兩數之間的關系，從而解決問題。

先定標準量的指導。在第1課時中主要指導學生用圈的方法表示倍，引導學生先圈標準量，再圈比較量，有幾個這樣的標準量就是幾倍。在圈畫過程中，學生理解了“倍”的概念，建立了“倍”的模型，感受了“倍”與圖形之間的聯系。

數量圖到線段圖的指導。在第2課時中，主要落實從數量圖到線段圖的指導。對于比較小的數量之間的關系，學生習慣于用數量圖的方式呈現其關系。但是數量一旦增大，學生會自然而然地運用線段圖代替數量圖。在后續的3個課時中，也持續用線段圖表示兩數之間的關系，便于更清晰地表達倍的關系，更快地建立“倍”的模型。

2.正逆結合：加強圖文轉化的訓練

在前面的課時中比較側重對文字轉化成圖形的指導，即指導學生學會怎么畫圖。在第3課時，則側重對圖形轉化成文字的指導，讓學生看圖說意思、看圖解決問題、看圖編題等。

3.變式運用：新問題中培養畫圖意識

筆者在教學第4、第5課時側重指導學生用畫圖解決新問題。當學生遇到新問題而束手無策的時候，畫圖能成為突破問題、厘清數量關系的重要抓手。學生通過畫圖建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路，有助于把握問題的本質、明確思維。

教學中，教師要對教材進行整體把握，形成抓本質教學的能力，統籌安排，建構路徑，階梯推進，始終以核心素養的培養為目標促進數學教學的實施。

［ 參 考 文 獻 ］

［1］ 崔允漷.指向學科核心素養的教學即讓學科教育“回家”［J］.基礎教育課程，2019（Z1）：5-9.

［2］ 斯苗兒.整合與拓展課例精選［M］.上海：文匯出版社，2020.

［3］ 許衛兵.小學數學整體建構教學［M］.上海：上海教育出版社，2021.

［4］ 劉月霞.指向“深度學習”的教學改進：讓學習真實發生［J］.中小學管理，2021（5）：13-17.

（責編 吳美玲）