集約束下的變分不等式：像空間分析法

孫怡 賀越 劉丹陽

摘要：變分不等式是一種數學模型，屬于平衡問題的一類，常應用于交通均衡問題、經濟均衡問題以及生態產業鏈問題。像空間分析法（ISA）是研究最優問題與平衡問題非常重要的工具之一。為了豐富ISA在變分不等式問題上的研究，在集約束的假設下，利用ISA研究了在歐氏空間中經典變分不等式問題。首先，驗證了問題的線性分離性。然后，通過拉格朗日型函數得到了拉格朗日型鞍點條件。最后，給出了變分不等式的最優性條件。

關鍵詞：集約束；變分不等式；像空間分析法；線性分離性；鞍點；最優性條件

中圖分類號：O224文獻標志碼：A文章編號：16735072（2024）03025407變分不等式問題（VI） 在優化問題、均衡問題、經濟學中有著廣泛的應用。錐約束VI廣泛應用于交通網絡均衡問題、經濟平衡均衡問題、電力交通耦合網絡均衡狀態。Hartman和Stampacchia提出有限維VI［1］，Kinderlehrer和Stampacchia提出了無窮維VI［2］。VI豐富了非線性分析和光滑凸規劃問題的最優性條件理論，有利于這些應用中算法的發展。

像空間分析法（Image Space Analysic，ISA）由Giannessi ［3］正式提出，該方法如今已經被廣泛用于研究VI［410］、約束極值問題［11］和優化問題［12］的線性分離性、鞍點定理、拉格朗日型最優性條件［1314］。這些問題的任何含參系統不可行形式可退化表示為ISA中兩個適當子集不相交。通過證明這兩個不相交子集位于某個分離泛函的兩個子水平集中就可以得到該系統的不可能性。如果分離泛函是線性的，則這兩個子集是線性分離的。

本文利用ISA研究集約束下的VI。首先回顧了一些本文所需要的基礎知識，再描述了在集約束下VI的ISA，接著討論了VI的線性分離性，最后證明了拉格朗日型鞍點條件和拉格朗日型最優性條件。