考慮材料參數(shù)不確定性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

摘要

本文在考慮材料參數(shù)不確定性的條件下，對(duì)連續(xù)體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行研究。在使結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率最大化的同時(shí)，顯著減小其對(duì)材料性能不確定性的影響。基于非概率凸集模型，將材料參數(shù)的不確定性用有界區(qū)間變量表示；建立了能夠抑制頻率改變的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化模型，用單層優(yōu)化策略求解穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)材料參數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析，獲得了在材料性能不確定情形下結(jié)構(gòu)第一階固有頻率的二階泰勒展開式，并推導(dǎo)出了頻率對(duì)拓?fù)渥兞康囊浑A靈敏度顯性表達(dá)式?；谧兠芏确?，開展了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，并與確定性優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了用本文方法獲得的結(jié)構(gòu)第一階固有頻率穩(wěn)健性更高，受材料參數(shù)不確定性擾動(dòng)影響更小，展示了考慮材料參數(shù)不確定性的重要性。

關(guān)鍵詞

材料參數(shù)不確定性; 穩(wěn)健性動(dòng)力拓?fù)鋬?yōu)化; 結(jié)構(gòu)固有頻率; 有界區(qū)間變量

引 言

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化旨在滿足給定約束條件下，尋求使結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能達(dá)到最優(yōu)的材料布局設(shè)計(jì)［1］。在傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題中，人們通常假設(shè)與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)相關(guān)的各種參數(shù)都是確定的，不受環(huán)境變化和加載條件的影響。然而在實(shí)際工程中，不確定性因素卻是普遍存在和難以避免的，如材料的物理性能、結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、邊界約束條件、外載荷狀況等［2?4］。若在設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)這些不確定性因素不做適當(dāng)考慮，仍按確定性情形對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，則所得最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型在參數(shù)偶然變化情形下的有效性會(huì)大為降低，結(jié)構(gòu)性能對(duì)不確定性參數(shù)擾動(dòng)的影響極為敏感，甚至?xí)霈F(xiàn)結(jié)構(gòu)破壞現(xiàn)象［5］。為了有效提高結(jié)構(gòu)性能抵抗不確定性因素的能力，有必要在結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計(jì)階段就考慮這些設(shè)計(jì)參數(shù)的不確定性，并基于定量化的不確定性因素建立優(yōu)化模型，進(jìn)而改變相應(yīng)的設(shè)計(jì)優(yōu)化策略［3，5?7］。

工程結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷作用下的響應(yīng)很大程度上取決于結(jié)構(gòu)的固有特性，特別是結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率（基頻）及其相應(yīng)的振型［6， 8?10］。因此，增大結(jié)構(gòu)的基頻使之遠(yuǎn)離外激勵(lì)頻率，可顯著降低結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)水平［10］。眾所周知，結(jié)構(gòu)的固有頻率與所用材料的彈性模量、密度等參數(shù)密切相關(guān)，而實(shí)際工程中的材料參數(shù)受制造工藝和使用環(huán)境等因素的影響，其真實(shí)值往往與名義值存在一定的偏差［6，10?11］。然而，在當(dāng)前大多數(shù)有關(guān)固有頻率的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，并未充分考慮結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能抵抗材料參數(shù)擾動(dòng)的能力，難以滿足真實(shí)環(huán)境中對(duì)工程結(jié)構(gòu)性能的要求［11］，特別是航空航天工程對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率在復(fù)雜環(huán)境中的變化要求更嚴(yán)。因此在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中充分考慮材料參數(shù)的不確定性不僅具有現(xiàn)實(shí)的工程背景，還具有重要的理論意義［12?14］。

目前，對(duì)于結(jié)構(gòu)不確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的研究方法主要有基于可靠度的拓?fù)鋬?yōu)化方法（Reliability?Based Topology Optimization， RBTO）和基于穩(wěn)健性的拓?fù)鋬?yōu)化方法（Robust Topology Optimization， RTO）。這兩種方法均可通過(guò)概率或非概率模型量化不確定量的變化情況。而在結(jié)構(gòu)的實(shí)際工作環(huán)境中，通常難以將不確定性設(shè)計(jì)量的隨機(jī)性變化用精確的概率模型表示。而非概率區(qū)間分析方法可以通過(guò)指定區(qū)間模型的上、下界表示設(shè)計(jì)參數(shù)隨機(jī)變化的范圍，能在僅獲得有限的不確定性信息條件下，較為安全地得到結(jié)構(gòu)在不同工況下設(shè)計(jì)目標(biāo)的最大波動(dòng)狀況，最大限度地保證結(jié)構(gòu)在復(fù)雜環(huán)境中的可靠性，顯著增強(qiáng)結(jié)構(gòu)抵抗外界擾動(dòng)的能力［14?16］。在此情形下，人們已廣泛地開展了基于非概率區(qū)間理論的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究。Doltsinis等［3］通過(guò)綜合考慮設(shè)計(jì)目標(biāo)的概率統(tǒng)計(jì)特性，建立了結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并采用基于梯度的優(yōu)化算法進(jìn)行求解。Xu等［6］提出了一種基于不確定性材料參數(shù)的連續(xù)體結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化方法，優(yōu)化目標(biāo)是固有頻率可靠性指標(biāo)的最大化。王棟［5］將荷載作用位置偏移引起的結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度的變化用二階泰勒級(jí)數(shù)表示，并根據(jù)動(dòng)柔順度對(duì)不確定加載位置的最大靈敏度值提出了一種單循環(huán)優(yōu)化方法。Xia等［10］提出了基于性能度量分析的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化方法，克服了區(qū)間模型可靠性優(yōu)化過(guò)程中的收斂性問(wèn)題。許煥衛(wèi)等［17］分析了不確定性因素在某一區(qū)間變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)整體性能的影響，建立了基于靈敏度分析的區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計(jì)優(yōu)化模型。

本文采用區(qū)間模型描述材料性能（彈性模量和密度）的不確定性。利用二階泰勒展開式表示結(jié)構(gòu)基頻隨材料參數(shù)的變化情況，并提出一種表示結(jié)構(gòu)固有頻率波動(dòng)的穩(wěn)健性指標(biāo)。基于材料屬性的有理近似模型 （Rational Approximation of Material Properties， RAMP），建立了綜合考慮結(jié)構(gòu)基頻與其穩(wěn)健性的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型。以整體材料用量為約束條件，在優(yōu)化過(guò)程中采用單層循環(huán)策略，利用移動(dòng)漸近法（Method of Moving Asymptotes， MMA）［18］開展了連續(xù)體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究。最后用兩個(gè)典型優(yōu)化算例來(lái)驗(yàn)證本文所提方法的有效性，并與確定性條件下的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明了本文所得穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)材料性能的變化更加穩(wěn)定和可靠。

1 連續(xù)體結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化

1.1 不確定性參數(shù)的區(qū)間模型

本文僅考慮材料的性能參數(shù)—彈性模量E和體積密度ρ—具有不確定性，并利用區(qū)間模型描述其變化狀況［10］。此外在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)幾何尺寸的不均勻性，如薄板的厚度，也可以轉(zhuǎn)換成材料參數(shù)的不確定性。利用區(qū)間模型表示材料參數(shù)變化的形式為：

3 數(shù)值算例

3.1 算例1

圖2所示的懸臂板在右下端點(diǎn)處有一個(gè)集中質(zhì)量塊ML=20 kg。板的厚度是10 mm，材料的彈性模量名義值E0=210 GPa，密度名義值ρ0=7800 kg/m3，泊松比ν=0.3。假設(shè)由于材料制備過(guò)程的不確定性，其彈性模量和密度均可能有最大5%的相對(duì)變化量，即彈性模量實(shí)際取值區(qū)間EI=［0.95E0， 1.05E0］，密度取值區(qū)間ρI=［0.95ρ0，1.05ρ0］。將設(shè)計(jì)區(qū)域均勻劃分成80×60的有限元網(wǎng)格，并采用四結(jié)點(diǎn)平面應(yīng)力單元，僅考慮結(jié)構(gòu)在平面內(nèi)的變形。材料體積約束系數(shù)fv=0.5，優(yōu)化過(guò)程收斂條件為相鄰兩次迭代設(shè)計(jì)變量的最大改變量小于0.01。

首先對(duì)本文推導(dǎo)的固有頻率二階泰勒展開式及其靈敏度計(jì)算公式進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)于圖2所示的4個(gè)指定單元，當(dāng)材料的彈性模量與密度分別位于可變化區(qū)間的頂點(diǎn)時(shí)，結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率及其對(duì)各單元相對(duì)密度（設(shè)計(jì)變量）的靈敏度也將發(fā)生改變。兩種方法的計(jì)算結(jié)果如表1所示。經(jīng)過(guò)對(duì)比可知，用二階泰勒展開式能獲得非常精確的第一階固有頻率及其對(duì)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的靈敏度值。即無(wú)需利用有限元進(jìn)行特征值求解，僅用式（13）和式（22）即可得到材料參數(shù)不確定性情形下結(jié)構(gòu)的基頻及其靈敏度值。

由表1還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)材料的性能參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率也是一個(gè)區(qū)間變量，f1=（ω1/2π）∈［118.522，125.243］ Hz。而且第一階頻率名義值f10=121.913 Hz并不在區(qū)間的中點(diǎn)，這是因?yàn)楣逃蓄l率相對(duì)于材料參數(shù)的變化是非線性關(guān)系。第一階頻率變化幅值g1/（2π）=6.721 Hz，是名義值的5.51%。

此外，當(dāng)材料的彈性模量E取變化區(qū)間的上界值，而材料的密度ρ取變化區(qū)間的下界值時(shí)，結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率最大，見(jiàn)表1的第二行結(jié)果；反之，當(dāng)材料的彈性模量E取變化區(qū)間的下界值，而材料的密度ρ取變化區(qū)間的上界值時(shí)，結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率最小，見(jiàn)表1的第四行結(jié)果。這也驗(yàn)證了前面的分析結(jié)果。

分別取基頻穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)中的權(quán)重因子β=0.5，0.7和0.9，對(duì)懸臂板開展穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，并與確定性（β=0）優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖3分別示出了β取不同值時(shí)結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型，其材料布局存在比較顯著的差別。由于考慮了材料性能的不確定性，穩(wěn)健性結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型更加復(fù)雜，為集中質(zhì)量塊構(gòu)造的傳力路徑更加多元化。對(duì)結(jié)構(gòu)第一階固有頻率分散性控制愈嚴(yán)（β越大），穩(wěn)健性拓?fù)錁?gòu)型傳力分支路徑愈多，與確定性拓?fù)湓O(shè)計(jì)結(jié)果相差也愈大。而且在集中質(zhì)量附近的材料分布也會(huì)發(fā)生改變，構(gòu)造新的局部傳力路徑。

表2列出了不同設(shè)計(jì)策略下懸臂板的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值結(jié)果。與表1相比可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化后，結(jié)構(gòu)的基頻都有了明顯增大，同時(shí)基頻的波動(dòng)幅度g1也明顯增大了。確定性優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)第一階頻率對(duì)材料參數(shù)的不確定性比較敏感，相對(duì)波動(dòng)量r最大（5.67%）。而穩(wěn)健性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)基頻的相對(duì)波動(dòng)量r隨著權(quán)重因子β的增大而逐漸減小，即結(jié)構(gòu)的第一階頻率對(duì)材料參數(shù)的不確定性敏感性逐漸降低，其動(dòng)力性能的穩(wěn)健性逐漸提高。此外，穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的最大名義基頻比確定性優(yōu)化結(jié)果稍小一點(diǎn)，其原因是有一部分材料被用來(lái)構(gòu)造備用輔助的傳力路徑，以加強(qiáng)結(jié)構(gòu)性能的穩(wěn)健性。因此在相同的材料體積約束條件下，結(jié)構(gòu)的剛度會(huì)有一定的損失，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的固有頻率有所降低，以換取結(jié)構(gòu)抵抗材料參數(shù)擾動(dòng)能力的提高，但這種損失可以通過(guò)適當(dāng)增加材料體積得到補(bǔ)償［5，16］。

3.2 算例2

圖4所示的兩端固支深梁結(jié)構(gòu)在底邊中點(diǎn)處有一個(gè)集中質(zhì)量塊ML=10 kg。假設(shè)材料的彈性模量和密度均可能有最大10%的變化量，即彈性模量取值區(qū)間EI=［0.9E0，1.1E0］，密度取值區(qū)間ρI=［0.9ρ0，1.1ρ0］。其余參數(shù)與算例1相同。將設(shè)計(jì)區(qū)域均勻劃分為140×20的有限元網(wǎng)格，材料體積約束系數(shù)fv=0.5。

圖5分別示出了權(quán)重因子β=0，0.5，0.7和0.9時(shí)固支深梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型，它們?nèi)杂斜容^顯著的差別。由于考慮了材料性能的不確定性，隨著β值的增大，深梁中間兩根斜桿的尺寸在逐漸減小，但夾角卻在不斷增大。而且在附加集中質(zhì)量附近的材料用量也逐漸減少，分別向梁兩端聚集。造成這種材料分布的原因是經(jīng)過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化以后，結(jié)構(gòu)的第一階固有振型是反對(duì)稱扭轉(zhuǎn)變形，梁兩端的彎曲變形更加突出。圖6示出了優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的第一階振型。

表3列出了不同設(shè)計(jì)策略下兩端固支深梁的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值結(jié)果。雖然確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)第一階固有頻率名義值最大，但其波動(dòng)量也最大（12.46%），結(jié)構(gòu)第一階固有頻率的穩(wěn)健性相對(duì)較低。而穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)第一階固有頻率名義值比確定性優(yōu)化值稍小一些，但其相對(duì)波動(dòng)量隨著權(quán)重因子β的增大而逐漸減小，結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的穩(wěn)健性也在逐漸提高。

4 結(jié) 論

本文研究了在材料參數(shù)不確定性條件下， 以提高結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率并增強(qiáng)其穩(wěn)健性為目標(biāo)的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。運(yùn)用區(qū)間模型描述材料參數(shù)（彈性模量、密度）的不確定性。采用二階泰勒展開式，獲得了在材料參數(shù)不確定性情形下結(jié)構(gòu)固有頻率的顯性表達(dá)式及其對(duì)拓?fù)渥兞康撵`敏度計(jì)算公式。構(gòu)造了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并采用確定性優(yōu)化方法對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型進(jìn)行了設(shè)計(jì)。研究結(jié)果如下：

（1）考慮材料參數(shù)不確定性條件下得到的穩(wěn)健性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，其拓?fù)錁?gòu)型相對(duì)于確定性條件下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果有著明顯不同。不確定性條件下所得拓?fù)錁?gòu)型更加復(fù)雜，傳力路徑更加多元化，尤其表現(xiàn)在附加集中質(zhì)量處附近。

（2）經(jīng)過(guò)對(duì)固有頻率一階導(dǎo)數(shù)的分析發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)第一階固有頻率的最大值總是在彈性模量最大且密度最小的頂點(diǎn)上取得；反之，第一階固有頻率的最小值總是出現(xiàn)在彈性模量最小而密度最大的頂點(diǎn)上。

（3）當(dāng)材料參數(shù)具有不確定性時(shí)，雖然穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)第一階固有頻率名義值小于相應(yīng)的確定性優(yōu)化結(jié)果，但其波動(dòng)量也明顯低于確定性的結(jié)果。這對(duì)降低結(jié)構(gòu)在材料參數(shù)發(fā)生變化時(shí)可能出現(xiàn)的失效風(fēng)險(xiǎn)有極大的幫助。因此，在結(jié)構(gòu)初步設(shè)計(jì)階段考慮材料參數(shù)的不確定性是非常有必要的。

附錄

附錄： 固有振型對(duì)彈性模量的一階導(dǎo)數(shù)

考慮結(jié)構(gòu)的第一階振型對(duì)彈性模量的一階導(dǎo)數(shù)。對(duì)于一個(gè)線性結(jié)構(gòu)，根據(jù)振型的完備性，其第一階固有振型的一階導(dǎo)數(shù)可表示為［19］：

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