動態平衡問題不再難

曹生旺

【摘要】物理在生活中的應用十分廣泛.通過對物體的不同時刻的受力情況進行分析，構造矢量三角形，得出最有利于問題解決的方法.本文聚焦力學中的動態平衡問題，闡述這一問題解決的不同思路，讓動態平衡不再成為物理學習的“攔路虎”.

【關鍵詞】高中物理；物體運動；動態平衡

高中物理中物體的受力不再像初中物理那么簡單.所謂“動態平衡”分為兩部分理解，一部分是“動態”，物體的受力情況發生改變，部分力的大小、方向均發生變化；另一部分則是“平衡”，物體處于受力平衡狀態，但在這一類問題里絕非指這一狀態是勻速或者靜止，而是指此時的物體運動緩慢，可認為合外力為0，所有力在此刻都能抵消.下面將重點闡述解決此類問題時的兩種方式［1］.

1 ?矢量三角形法

例1 有一質量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上.用水平向左的力F緩慢拉動繩的中點O，如圖1所示.用T表示繩子OA段的拉力大小，在O點向左移動的過程中（? ）

（A）F逐漸變大，T逐漸變大.

（B）F逐漸變大，T逐漸變小.

（C）F逐漸變小，T逐漸變大.

（D）F逐漸變小，T逐漸變小.

解析 觀察題目，首先需要明確對O點進行受力分析.其次，題目中O點受3個力，其中一個力大小方向均不變，即物體對O點的拉力，與其重力G相等；一個力的方向保持不變，但大小可能發生變化，即水平向左的拉力F；最后一個力則是繩子OA段的拉力T，大小、方向都發生改變.受力分析滿足使用矢量三角形法則的典型特征.針對這種類型，我們的解題思路為：第一步畫出O點受力分析圖，構造力學三角形，第二步找出方向不變但大小可變的力F，延長力的方向，根據完善的動態矢量三角形確定不同狀態下拉力T的大小及變化方向［2］.

解 對O點進行受力分析，總共受到三個力的作用，分別是T′，T，F，其中T′=G=mg，OA段繩子的拉力T以及水平向左的拉力F，三個力在緩慢拉動的過程中始終處于平衡狀態，由于重力G大小確定，故嘗試將其余兩個力合成，合力要與重力平衡，如圖2所示.

觀察受力分析圖可以發現力F水平向左，逐漸變大，OA段的拉力T為矢量三角形的斜邊，數值逐漸變大，故選（A）.

2 相似三角形法

例2 如圖3所示，將一勁度系數為k的輕彈簧一端固定在內壁光滑、半徑為R的半球形容器底部中心O′處（O為球心），彈簧的另一端與質量為m的小球A相連，小球靜止于P點，OP與水平方向間的夾角為θ=30°.若將小球A替換為質量為2m的小球B，小球B將靜止于M點（圖中未畫出），則（? ）

（A）彈簧對小球A的作用力大于對小球B的作用力.

（B）彈簧的原長為R+mgk.

（C）O′M的長度為mgR+2kR22mg+kR.

（D）不論所放小球的質量為多大，小球靜止時容器對其作用力總與其重力等大.

分析 對小球受力分析可知，本題是單體動態平衡問題.物體受到3個力.其中有兩個變力N，T，一個恒力G，受力分析圖中力學三角形與幾何結構三角形相似，這是典型的“相似三角形法則”的應用條件.此類問題中，需要畫出受力分析圖，判斷力學三角形與實際幾何結構在變化過程中，是否存在相似關系，再利用相似比例關系判斷力的變化［3］.

解 對小球受力分析，受到3個共點力而平衡，這3個力可以構成一個矢量三角形，如圖4.

觀察受力分析圖，可以發現矢量三角形與力學三角形△OO′P存在相似關系（∠OO′P=90°－30°=60°，三角形△OO′P為等邊三角形，長度為半徑R），依次列出不同小球下的相似比例關系，

mgR=N1R=T1R（小球A），

2mgOO′=N2OM=T2O′M（小球B）.

題中可知，彈力T是由彈簧的形變量提供，故設彈簧的原長為L0，第一次小球A運動靜止于P點，彈簧長度為L1=R，第二次在小球B的運動靜止時彈簧的長度O′M為L2，

則T1=kL0－R（小球A），

T2=kL0－L2（小球B），

將比例關系與彈簧彈力關系聯立可得（OO′=R，OM=R），

T1=mg，N1=mg，

L0=R+mgk，L2=mgR+kR22mg+kR，

N2=2mg，

T2=mg+mgkR2mg+kR>T1=mg.

由兩個彈力比較可知，彈簧對小球A的作用力小于對小球B的作用力，不論所放小球的質量為多大，小球靜止時容器對其作用力總與其重力等大.

故（A）（C）選項錯誤，（B）（D）選項正確.

3 結語

高中物理力學的動態平衡問題有許多解題方法，本文聚焦單體問題中的動態平衡解決思路，探索不同情況下各種方法的使用條件及解題思路，為之后的多物體內的動態平衡問題探索提供基礎.

參考文獻：

［1］杜穎.高中物理力學中動態平衡問題的解題探析［J］.數理化解題研究，2023（25）：107-109.

［2］程昕蕾.共點力作用下動態平衡模型的處理方法［J］.中學物理教學參考，2022，51（24）：60-62.

［3］孫輝.巧用三角形妙解物理題［J］.數理化解題研究，2022（22）：113-115.