例談選函數(shù)圖像常用的方法

公衍錄

選擇符合題意的函數(shù)圖像一直是高考考查的熱點(diǎn)問題之一，下面結(jié)合實(shí)例介紹選函數(shù)圖像常用的幾種方法，供同學(xué)們參考。

一、根據(jù)函數(shù)表達(dá)式選擇函數(shù)圖像

先根據(jù)題意和物理規(guī)律，推導(dǎo)出圖像縱、橫坐標(biāo)軸代表的物理量滿足的關(guān)系式———函數(shù)表達(dá)式，再依據(jù)“函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖像相對(duì)應(yīng)”選出符合題意的圖像。例如，若函數(shù)表達(dá)式形如y=kx+b，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像為直線;若函數(shù)表達(dá)式形如y=ax2+bx+c（a≠0），則對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像為拋物線。

例1 在t=0時(shí)刻，將一物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）豎直向上拋出，忽略空氣阻力。以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、豎直向上為正方向，如圖1所示的四個(gè)選項(xiàng)中能正確反映該物體的動(dòng)量p隨時(shí)間t 變化、動(dòng)能Ek 隨位移x 變化的圖像是（ ）。

解析：設(shè)物體的初速度為v0，則t 時(shí)刻物體的速度v=v0-gt，動(dòng)量p=mv，解得p=mv0-mgt，因此物體的動(dòng)量p 與時(shí)間t 是一次函數(shù)關(guān)系，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像是一條直線，且直線的斜率k=-mg，選項(xiàng)A 正確，B錯(cuò)誤。根據(jù)速度與位移的關(guān)系式v2-v20=-2gx，動(dòng)能Ek=1/2mv2，解得Ek=1/2mv20-mgx，因此物體的動(dòng)能Ek 與位移x 是一次函數(shù)關(guān)系，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像是一條直線，且直線的斜率k=-mg，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。

答案：A

例2 滑沙是人們喜愛的一項(xiàng)游樂活動(dòng)。如圖2所示為滑沙場地的一段，人和滑車從斜面頂端A 點(diǎn)由靜止下滑，斜面的傾角為θ，取沿斜面向下為正方向，如圖3所示的四個(gè)選項(xiàng)分別是人和滑車沿斜面向下運(yùn)動(dòng)過程中的加速度a 與時(shí)間t、速度v 與位移x、重力的瞬時(shí)功率P重與時(shí)間t、動(dòng)能Ek 與位移x 的關(guān)系圖像，其中正確的是（ ）。

解析：選由人和滑車組成的整體為研究對(duì)象，在整體沿斜面下滑的過程中，根據(jù)牛頓第二定律得mgsin θ-f =ma，解得a =gsin θ-f/m ，因此a-t 圖像是一條平行于t 軸的直線，選項(xiàng)A 錯(cuò)誤。根據(jù)速度與位移的關(guān)系式v2=2ax，解得v=根號(hào)下2ax ，因此v-x 圖像是一條過原點(diǎn)且開口向右的拋物線的一部分，選項(xiàng)B 錯(cuò)誤。整體在t 時(shí)刻的瞬時(shí)速度v=at，重力的瞬時(shí)功率P重=mgvsin θ，解得P重=mgasin θ·t，因此P重-t 圖像是一條過原點(diǎn)的傾斜直線，選項(xiàng)C 錯(cuò)誤。在整體沿斜面下滑位移x 的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得Ek=（mgsin θ-μmgcos θ）x，因此Ek-x 圖像是一條過原點(diǎn)的傾斜直線，選項(xiàng)D正確。

答案：D

例3 如圖4所示，足夠長光滑斜面傾角為θ，在沿斜面向上的恒力F 作用下，物體從斜面底端由靜止開始向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體滑動(dòng)到某一高度處時(shí)撤去恒力F。以地面為零勢能面，設(shè)物體的重力勢能為Ep，機(jī)械能為E，則在物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，如圖5所示的Ep 和E 隨時(shí)間t變化的圖像正確的是（ ）。

汽車的加速度逐漸減小至0，汽車做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，因此v-t圖像的斜率先保持不變，再逐漸減小。當(dāng)汽車的加速度減小為0時(shí)，汽車做勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大值，且最大值等于v1，以后汽車以速度v1 做勻速運(yùn)動(dòng)，因此v-t 圖像是一條平行于t 軸的直線。

答案：C

例5 如圖7所示，均勻帶正電的金屬圓環(huán)豎直放置，A、B 兩點(diǎn)是其軸線上關(guān)于圓心對(duì)稱的兩點(diǎn)。某時(shí)刻一個(gè)電子僅在靜電力作用下從A 點(diǎn)沿軸線向右運(yùn)動(dòng)至B 點(diǎn)，在此運(yùn)動(dòng)過程中，電子的v-t 圖像可能是（ ）。

解析：均勻帶正電的金屬圓環(huán)圓心處場強(qiáng)為0，軸線上無窮遠(yuǎn)處場強(qiáng)也為0，故在圓心與無窮遠(yuǎn)之間軸線上某點(diǎn)的場強(qiáng)存在最大值。若A 點(diǎn)在場強(qiáng)最大點(diǎn)左側(cè)，根據(jù)eE =ma 可知，電子僅在靜電力作用下由A 點(diǎn)沿軸線運(yùn)動(dòng)至B 點(diǎn)的過程中，電子的加速度先增大，后減小到0，再反向增大，然后反向減小。根據(jù)v-t 圖像的斜率表示加速度可知，圖像斜率先正的增大，后正的減小到0，再負(fù)的絕對(duì)值增大，然后負(fù)的絕對(duì)值減小，選項(xiàng)A正確。若A 點(diǎn)在場強(qiáng)最大點(diǎn)右側(cè)，則電子僅在靜電力作用下由A 點(diǎn)沿軸線運(yùn)動(dòng)至B 點(diǎn)的過程中，電子的加速度先減小到0再反向增大，因此v-t 圖像的斜率先正的減小到0，后負(fù)的絕對(duì)值增大，選項(xiàng)B、C正確，D錯(cuò)誤。

答案：ABC

三、通過分析函數(shù)圖像特殊點(diǎn)的情況選擇函數(shù)圖像

先分析函數(shù)圖像上的某些特殊點(diǎn)，再根據(jù)這些特殊點(diǎn)的情況可選出符合題意的圖像。例如，選質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的圖像，如果能夠判斷出做簡諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)刻的振動(dòng)情況，那么就能選出該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像。

例6 如圖9甲所示，一列簡諧橫波以速度v=1 m/s沿繩子由A 點(diǎn)向B 點(diǎn)傳播，質(zhì)點(diǎn)A、B 間的水平距離x=3 m。若t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A 正從平衡位置向上振動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖9乙所示，規(guī)定向上為正方向，則t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)B 的振動(dòng)圖像是如圖10所示四個(gè)選項(xiàng)中的（ ）。

解析：根據(jù)圖9乙可知，質(zhì)點(diǎn)A 做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期T=4 s，則波長λ=vT=4 m，A、B 兩質(zhì)點(diǎn)間的水平距離x=3 m=34λ。t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A 正從平衡位置向上振動(dòng)，波由A 點(diǎn)向B 點(diǎn)（向右）傳播，因此可畫出如圖11所示t=0 時(shí)刻的波形圖。t=0 時(shí)刻，x =3 m 處的質(zhì)點(diǎn)B正好位于波峰，與圖10中選項(xiàng)D的圖像相對(duì)應(yīng)。

答案：D

四、通過定性或半定量分析選擇函數(shù)圖像

定性或半定量分析法是一種粗略地確定研究對(duì)象是否具有某種性質(zhì)，或確定某一物理量變化范圍的研究方法。遇到不好找出函數(shù)表達(dá)式的選函數(shù)圖像問題，合理應(yīng)用這種方法能避免陷入對(duì)細(xì)枝末節(jié)的過度分析。

例7 如圖12所示，ACB 是一段豎直放置的光滑圓弧軌道，A、B兩點(diǎn)等高，相距為0.62 m，距軌道最低點(diǎn)C 的豎直高度為0.01 m。一小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A 點(diǎn)由靜止釋放并開始計(jì)時(shí)，其速率v 隨時(shí)間t 變化的圖像可能是如圖13所示四個(gè)選項(xiàng)中的（ ）。

解析：設(shè)圓弧軌道AC 對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，圓弧軌道半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系得R2-（R -h）2 =（x/2）2，其中h =0.01 m，x =0.62 m，解得R =4.81 m，則sin θ=0.31/4.81=0.064。因此圓弧軌道AC（或CB）對(duì)應(yīng)的圓心角很小，小滑塊在圓弧軌道上的往復(fù)運(yùn)動(dòng)可視為簡諧運(yùn)動(dòng)（屬于單擺模型），其周期T=2π根號(hào)下（R/g）=4.4 s，小滑塊從A 點(diǎn)由靜止釋放后，在0～2.2 s（前半個(gè)周期）內(nèi)，小滑塊的速率先增大后減小，在2.2 s～4.4 s（后半個(gè)周期）內(nèi)，小滑塊的速率仍然是先增大后減小，與圖13中選項(xiàng)A 的圖像相對(duì)應(yīng)。

答案：A

總之，求解選函數(shù)圖像問題，可以根據(jù)函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖像相對(duì)應(yīng)選擇，也可以根據(jù)函數(shù)圖像斜率表示的物理量，結(jié)合圖像斜率的變化選擇，還可以根據(jù)函數(shù)圖像特殊點(diǎn)的情況或利用定性與半定量分析法選擇。

（責(zé)任編輯 張 巧）