高中數學課堂案例研究

賴琰媛 曹小燕

摘要：本文通過研究一個高中數學課堂案例，探討了“教-學-評”一體化模式在數學教育中的應用.

關鍵詞：高中數學；教-學-評一體化；學習成果；深度學習

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0005-03

教育是社會進步和個體成長的關鍵環節，而數學教育作為其中的一部分，一直備受關注.在過去，許多數學教學過于側重“教”和“學”，忽視了“評”的重要性.因此，教學效果經常被低估，學生的學習成果難以有效衡量[1].為了改善這一狀況，近年來，“教-學-評”一體化模式在課堂改革領域嶄露頭角.

1 “教-學-評”一體化模式的概念

“教-學-評”一體化模式是一種教育教學方法，旨在將教學過程和教學評價相結合，使評價與教學環節相互交織，相互促進.該模式的核心思想是將評價作為一個連續、動態的過程，與教學相互滲透.它不僅關注學生在最終評估中的表現，還注重評價教師的教學能力和課堂實施.這一模式強調學生的學習成果、深度學習、主動參與和反饋調整，有潛力提高教育的質量和公平性[2].

2 案例分析：一個高中數學課堂

我們將深入研究一個典型的高中數學課堂案例，以探討如何將高中數學的各種知識點應用于實際教學中.這個案例將涵蓋高中數學學習內容的多個主題，包括函數、三角函數、空間幾何以及解決實際問題的能力[3].

2.1 課堂背景

這個案例發生在一所高中的高二年級數學課堂上，主要目標是教授學生如何解決與三角函數和空間幾何相關的問題.

2.2 教學目標

（1）幫助學生理解如何應用三角函數來解決實際問題，特別是在空間幾何中.

（2）培養學生的問題解決和建模能力，使他們能夠將數學知識應用于解決復雜問題.

（3）強調數學與實際問題的聯系，激發學生對數學的興趣.

2.3 課堂活動和內容

2.3.1 案例介紹

教師向學生提出了一個實際問題，引發他們的興趣.問題是這樣的：在城市中，一棟高樓上的一個窗戶需要設計得確保陽光每天都能照亮這個窗戶，但又不能被其他高樓建筑物的阻擋.高樓的高度是60米，而周圍的建筑物高度各不相同，范圍在20米到40米之間.此外，教師提供了城市的緯度和季節信息，以及太陽在不同時間的仰角數據.

這個問題的引入不僅吸引了學生的興趣，還明確了本次課堂的目標.學生在解決這個問題的過程中將運用數學知識，包括三角函數和幾何學的概念，將抽象的數學理論與實際問題相結合，展現了數學在解決實際問題中的實際應用能力.

2.3.2 數學建模

在引人入勝的案例問題引發了學生的好奇心之后，教師引導他們開始考慮如何建立數學模型來解決這個復雜的實際問題.學生開始積極參與，討論并列出了與問題相關的各種因素，將問題逐步抽象成一個數學模型.

首先，學生和教師一起討論并列出了問題的各種因素，這些因素如下：

（1）高樓的高度：高樓的高度是60米；

（2）周圍建筑物的高度：周圍的建筑物高度各不相同，范圍在20米到40米之間；

（3）城市的緯度：城市的緯度對太陽的仰角產生影響.假設城市的緯度是40°N；

（4）季節：不同季節太陽的仰角也會變化.假設考慮夏季和冬季兩個季節；

（5）太陽的仰角數據：教師提供了太陽在不同時間的仰角數據，以度（°）為單位，如夏至正午：75°，冬至正午：25°.

這些因素在建立數學模型時都需要被考慮，因為它們對窗戶的最佳位置產生直接影響.

接著，教師引導學生了解到，為了解決這個問題，他們需要運用三角函數，特別是正切函數.教師指導他們思考如何使用正切函數來表示太陽的高度角與窗戶的高度之間的關系.

學生根據討論的問題因素和已知數據，建立了一個數學模型.設太陽的高度角為θ，窗戶的高度為h，以及高樓的高度為H.根據三角函數的性質，學生們建立了以下等式：

tan（θ）=hH

這一過程中，學生們逐漸將抽象的問題映射到數學模型上，理解了如何將實際問題轉化為數學問題，并為下一步的數學分析和解決問題奠定了基礎.這也強調了數學在解決實際問題中的關鍵作用.

2.3.3 角度與三角函數

在建立數學模型的基礎上，教師在一開始詳細介紹了如何使用角度與三角函數來解決這一實際問題.這一部分的內容讓學生更深入地理解了太陽的高度角與窗戶的高度之間的關系，以及如何使用正切函數來表示這一關系.

接著，教師解釋了太陽的高度角是指太陽在天空中的位置，通常以度數來表示.學生們意識到太陽的高度角在不同時間和不同位置會發生變化.教師提供了夏至正午時，太陽的高度角為75°，冬至正午時，太陽的高度角為25°，以便學生在后續計算中使用.這些數據成為數學模型中的重要參數，幫助學生計算太陽的高度角.

然后，教師引導學生認識到正切函數的價值，尤其是在處理與角度和長度之間的關系時.具體來說，他們了解到：

（1）太陽的高度角： 老師解釋了太陽的高度角是指太陽在天空中相對于水平面的仰角，通常以度數來表示；

（2）夏至和冬至的高度角數據： 為了讓學生更好地應用模型，教師提供了夏至正午時太陽的高度角為75°，冬至正午時太陽的高度角為25°；

（3）正切函數的應用：教師強調了正切函數在處理與角度和長度之間的關系時的價值.具體來說，學生了解到正切函數的定義是角的正切值等于對邊長度與鄰邊長度的比值.

2.3.4 空間幾何應用

在深入了解了角度與三角函數之后，學生開始探討如何將這些數學概念應用到空間幾何中，以解決確定窗戶位置的問題.

教師首先介紹了一個重要的幾何概念，即交點.學生了解到，當一條線與一個平面相交時，它們通常會在某一點相交，這一點被稱為交點.這個概念對于確定窗戶的位置至關重要，因為他們需要找到太陽光線與建筑物平面的交點.

接著，學生開始考慮如何使用正切函數中得到的太陽高度角和高樓的高度來計算太陽光線與建筑物的交點.他們了解到，這個問題可以轉化為一個幾何問題，其中包括一個垂直于地面的建筑物平面和射向太陽的光線.

然后，教師提供了示意圖和數據，包括高樓的高度（60米）、太陽高度角（75°夏至正午）和建筑物平面的位置.學生明白，他們需要使用幾何原理來計算光線與平面的交點，從而確定窗戶的位置.在這一部分，學生開始運用空間幾何的知識來計算光線與建筑物平面的交點坐標.他們利用正切函數得到的太陽高度角，以及高樓的高度，計算出光線與平面的交點坐標.

教師指導他們使用以下方程來計算交點的水平坐標（x）和垂直坐標（y）：

x=高樓高度tan（太陽高度角）

2.3.5 實際計算

在經過角度與三角函數以及空間幾何的學習后，學生迎來了實際計算的階段，以確定窗戶的最佳位置.他們將之前學到的數學知識與具體的數值數據相結合，以解決這個實際問題.

學生首先利用他們在角度與三角函數部分學到的知識，計算太陽在特定時間的高度角.教師提供了太陽高度角數據，以模擬不同時間段太陽的仰角變化.例如，在夏至正午時太陽的高度角為75°.學生使用以下正切函數來計算太陽高度角：

太陽高度=arctan（高樓高度太陽陽距離高樓的水平離）

他們將高樓的高度（60米）和之前計算的太陽距離高樓的水平距離代入公式中，并計算得到太陽高度角.

獲得太陽高度角后，學生繼續計算光線與建筑物平面的交點坐標.他們使用以下公式：

x=高樓高度tan（太陽高度角）

通過代入太陽高度角，得到水平坐標（x）.然后，他們使用之前了解的光線與平面的交點概念，考慮建筑物平面的位置，以計算垂直坐標（y）.學生在計算得到交點坐標后，將這些坐標轉化為窗戶的位置.他們理解到窗戶的位置是相對于高樓的坐標，因此可以用這些坐標來確定窗戶的位置.

最后，教師帶領學生計算并確定了不同時間段窗戶的位置，以確保陽光能夠照亮窗戶，同時避免其他建筑物的阻擋.這個過程需要學生將數學計算與實際問題相結合，展現了他們在建立數學模型和應用數學知識方面的能力.

2.3.6 測量與評估

在這堂數學課的教學過程中，測量與評估是不可或缺的環節，以確保學生對所學知識的掌握程度和能力發展.

（1）測量方法： 為了測量學生對案例所涉及的數學知識的理解，教師采用了多種測量方法，包括課堂參與度的觀察、學生在小組討論中的表現以及書面或口頭的測驗.

（2）問題解決能力評估：教師設計了一系列問題，旨在考查學生的問題解決能力，包括要求學生解釋他們選擇特定數學方法的理由，或者讓他們通過實際計算驗證窗戶位置的正確性.通過這些問題，教師能夠評估學生將數學知識應用于解決實際問題的能力.

（3）團隊合作評估： 由于學生在小組中共同討論和建模，教師也對團隊合作進行了評估，包括評估學生在小組中的貢獻程度、合作精神以及他們在解決問題時的協作能力.通過這一方面的評估，教師能夠了解學生在團隊環境中的表現.

（4）實際計算準確性： 學生進行的實際計算是整個案例解決過程的核心.教師對學生的計算準確性進行評估，確保他們正確地應用了角度與三角函數的概念，以及空間幾何的知識.

（5）總結與反思： 在總結與討論環節，鼓勵學生分享他們的學習體驗和理解.教師通過學生的總結，評估他們對數學知識的深刻理解以及對解決實際問題的應用能力.

3 結束語

通過上述案例分析，可以看出“教-學-評”一體化模式在高中數學教育中的應用是非常有效的.它有助于提高學生學習成果和參與度、促進深度學習、提供實時反饋和調整以及提高教育公平性.

參考文獻：

[1] 羅憲英.基于“教、學、評”一體化理念的高中數學教學策略[J].數理天地（高中版），2023（9）：66-68.

[2] 陳利章.“教學評”一體化視域下高中數學大單元教學實踐[J].新課程，2023（10）：112-114.

[3] 王勇.“教學評”一體化視域下的高中數學大單元教學實踐探討[J].中學生數理化（高中版），2023（14）：7-8.

［責任編輯：李璟］