含參非線性擾動系統的閉軌分叉分析*

郭碧垚 周艷,2? 張偉 劉宇

(1. 內蒙古師范大學 數學科學學院, 呼和浩特 010022)

(2. 內蒙古師范大學 應用數學中心, 呼和浩特 010022)

(3. 廣西大學 土木工程建筑學院, 南寧 530000)

引言

在微分方程定性理論中,關于極限環的研究是一個既有趣又困難的部分. 研究極限環與解決微分方程積分曲線族的全局結構問題之間有密切的聯系[1,2],為了確定一個確定的系統是否存在極限環,龐卡萊首先提出了后繼函數法[3]、小參數法和環域定理等重要理論. 其中,后繼函數法在研究一些非線性動力系統的極限環的存在性、穩定性以及重次等性質時具有重要的作用,這一理論也進一步推動了非線性系統分叉問題的深入研究[4],如閉軌分叉,龐卡萊分叉等[5,6]. 近些年來,閉軌分叉問題是動力系統的分叉現象研究的一個熱點問題[7-9],它既是一種局部分叉,又是動態分叉[10].當前,已有研究者對各類不同的動力系統進行極限環及閉軌分叉分析,得到了相關的結論[11-14].

由于大多數系統是無法具體求解的,使用后繼函數法研究其閉軌分叉問題并不容易[15-19]. 對于一個確定的非線性系統而言,如何確定后繼函數的具體表達式是非常困難的,另一方面,即使已經獲得系統后繼函數的表達形式,而具體計算其零點的個數也是很難做到的. 但是后繼函數法依然是分叉理論研究的不可或缺的重要方法.本文通過給出一個非線性動力系統,借助于后繼函數法對其閉軌分叉問題進行了有效的理……