如何基于平均分理解分數與除法的關系

吳荻

在教學五年級“分數與除法的關系”一課時，應重視學生對“a÷b=[ab]（b≠0）”這一關系本質的理解，而非僅僅讓學生進行形式記憶。如何幫助學生基于平均分從本質上理解分數與除法的關系？具體可以設計如下教學過程。

一、平均分餅回顧數量關系

1.教師出示問題：在圖1中，4個同學分月餅，平均每人分到幾個月餅？

讓學生根據圖1分別列式計算。

2.分一分，比較異同。

引導學生發現圖1中的數量關系為：月餅總個數÷人數=每人分到的月餅個數。

根據圖式分別得到：8÷4=2（個）；4÷4=1（個）；1÷4=[14]（個）。

3.回顧梳理：1÷4表示什么意思？得到1÷4表示把1個月餅平均分成4份，每份是這個月餅的[14]，也就是[14]個月餅。

二、動手操作感知不同分法

1.教師呈現學習任務一：把3個月餅平均分給4個人，每人分到多少個月餅？先用圓形紙片代替月餅，用手折一折，再畫一畫分的過程和結果。

2.學生先獨立思考操作，再全班交流反饋。

（1）呈現分法①（如圖2）。

思考：為什么要把每個月餅平均分成4份？

（2）呈現分法②（如圖3）。

思考：分法②和分法①有什么不同？

交流討論后發現：分法①是將月餅一個一個地分，分法②是將3個月餅疊起來一起分。

（3）呈現分法③（如圖4）。

思考：這種分法可以嗎？每人得到多少個月餅？分得的結果一樣嗎？

交流討論后發現：分法③是分兩步分，先將2個月餅看作一個整體平均分成4份，每份[12]個；再將剩下的1個月餅平均分成4份，每份[14]個；最后將[12]個月餅和[14]個月餅合起來，得到每份是[34]個月餅。

3.比較三種不同分法，思考：有什么異同？

學生發現：分法①是按單個分，分法②是按整體分，方法③是分步分。無論怎樣分，都可以得到3÷4=[34]（個）。

三、想象操作建立分數模型

1.教師呈現學習任務二：5個月餅平均分給4個人，每人得到多少個月餅？

（1）猜想：5÷4可能是多少？

（2）思考：想象分的過程與結果。

（3）操作：驗證結果是否正確。

2.交流反饋。學生用按單個分、整體分、分步分等分法都可以得到：5÷4=[54]（個）或5÷4=（4+1）÷4=1+[14]=1[14]（個）。

3.建立模型。

（1）教師出示算式：7÷4= 、9÷4= 、11÷5= 、a÷b= 。

提出要求：先想象平均分的過程，再嘗試用分數表示計算結果，最后說一說你是怎樣想的。

（2）全班交流。

預設：7÷4就是把7個月餅平均分成4份，求每份是多少個月餅。具體而言，可以將每個月餅平均分成4份，每份是[14]個，分7次，每份就是7個[14]，也就是[74]個月餅；也可以把7個月餅疊起來平均分成4份，每份有7個[14]，就是[74]個月餅。

由此，學生依次得到：7÷4=[74][、]9÷4=[94][、]11÷5=[115][、]a÷b=[ab]。

（3）解釋：為什么a÷b=[ab]？對a和b有什么要求？

預設：a÷b表示“把a個月餅平均分成b份，求每份是多少個月餅”。具體而言，可以把每個月餅平均分成b份，每份是一個月餅的[1b]，分a個月餅后每份就是a個[1b]，也就是[ab]個月餅；也可以把a個月餅疊起來平均分成b份，每份有a個[1b]，就是[ab]個月餅。因為b是除數，也就是分母，所以b≠0。

（4）總結分數與除法的關系：a÷b=[ab]（b≠0）。

以上教學過程充分抓住平均分的意義，通過從實踐操作到想象操作的逐步引導，幫助學生更好地建立分數與除法的關系，從本質上理解a÷b=[ab]（b≠0）。

（杭州師范大學第一附屬小學）