阿羅的“不可能定理”

于洪濤

當(dāng)我們面臨抉擇的時(shí)候，投票是常見(jiàn)的決策辦法。但你有沒(méi)有思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題：同樣的候選人，同樣的投票人，只是投票規(guī)則不同，投票結(jié)果可能完全不一樣！

如果選用不同的投票規(guī)則會(huì)得到不同的結(jié)果，那哪種投票規(guī)則才是最好的呢？經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅經(jīng)過(guò)思考后給出了一個(gè)悲觀的結(jié)論：沒(méi)有任何一種投票規(guī)則是完美的。

幸運(yùn)的是，阿羅的學(xué)生馬斯金證明了在大多數(shù)情況下，簡(jiǎn)單過(guò)半數(shù)規(guī)則是更為靠譜兒的投票方式。

星際班長(zhǎng)花落誰(shuí)家

大聰明和小問(wèn)號(hào)因?yàn)橥婆e星際班長(zhǎng)的事發(fā)生了分歧。兩個(gè)人心儀的人選不一樣，爭(zhēng)來(lái)爭(zhēng)去也沒(méi)個(gè)定論。于是，他們來(lái)找酷博士，看看他有沒(méi)有什么好辦法。

酷博士聽(tīng)完大聰明和小問(wèn)號(hào)的“匯報(bào)”，終于搞明白了。原來(lái)星際班長(zhǎng)要在A、B和C之間選一個(gè)，大聰明喜歡A，而小問(wèn)號(hào)喜歡B。

其實(shí)，大聰明和小問(wèn)號(hào)心儀的人選不一樣是很正常的，俗話(huà)說(shuō)“蘿卜白菜，各有所愛(ài)”嘛！但究竟讓誰(shuí)擔(dān)任星際班長(zhǎng)不能只由他們說(shuō)了算，最好是大家集體投票選出來(lái)，這樣才能反映整體偏好。

多數(shù)規(guī)則PK簡(jiǎn)單過(guò)半數(shù)規(guī)則

大聰明提出的方法是投票常用的多數(shù)規(guī)則，也就是我們常說(shuō)的“得票多者勝”。

假設(shè)有三個(gè)候選人X、Y、Z，他們的得票率分別為40%、35%、25%，那么X勝出，因?yàn)樗闷弊疃唷?/p>

假設(shè)還是這三位候選人，X、Y、Z。

在選民中，有40%的人最喜歡X，然后是Y，最后是Z；

有35%的人最喜歡Y，然后是Z，最后是X；

有25%的人最喜歡Z，然后是Y，最后是X。

那么，按照簡(jiǎn)單過(guò)半數(shù)規(guī)則，Y是勝出者。因?yàn)閷?duì)比X和Y，有35%+25%=60%的投票人喜歡Y勝于X，超過(guò)了半數(shù)；同樣，對(duì)比Z和Y，有40%+35%=75%的投票人喜歡Y勝于Z，也超過(guò)了半數(shù)。

通過(guò)這個(gè)例子我們可以發(fā)現(xiàn)，候選人沒(méi)有變，投票人也沒(méi)有變，只是投票規(guī)則改變了，最后的勝出者就換了人。

想要解決這個(gè)問(wèn)題，我們就需要先知道好的投票應(yīng)滿(mǎn)足哪些條件，再比較哪種投票規(guī)則能夠滿(mǎn)足這些要求。

投票的“四大條件”

經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅認(rèn)為，一個(gè)好的投票應(yīng)滿(mǎn)足四個(gè)條件：

1. 可決定性。投票要投出結(jié)果。

2. 滿(mǎn)足一致性。如果大家普遍認(rèn)為X好于Y，那么Y不會(huì)當(dāng)選。

3. 非獨(dú)裁性。沒(méi)有一個(gè)選民能主宰結(jié)果。

4. 選舉結(jié)果不會(huì)被攪局者干擾。

我來(lái)補(bǔ)充說(shuō)明一下！

假設(shè)有三位候選人，其中兩位是熱門(mén)候選人，第三位是絕不會(huì)當(dāng)選的攪局者。攪局者雖然不會(huì)當(dāng)選，但仍會(huì)獲得一些票數(shù)；假設(shè)沒(méi)有攪局者，這些票會(huì)投給其他兩位，那么有沒(méi)有攪局者可能會(huì)影響最終的投票結(jié)果。

孔多塞悖論

回顧剛才介紹過(guò)的兩種方法，多數(shù)規(guī)則不滿(mǎn)足第四個(gè)條件，即容易受到攪局者的影響；而簡(jiǎn)單過(guò)半數(shù)規(guī)則可能不滿(mǎn)足第一個(gè)條件。你知道是為什么嗎？

假設(shè)有三位投票人分別為X、Y、Z排序，并出現(xiàn)了X、Y、Z，Y、Z、X和Z、X、Y三種情況，那么我們將無(wú)法從X、Y、Z中選出結(jié)果，因?yàn)槿说耐镀苯Y(jié)果都超過(guò)了半數(shù)，觸發(fā)了“孔多塞悖論”。

不單是這兩種方法，阿羅最終發(fā)現(xiàn)，任何一種投票規(guī)則都不會(huì)滿(mǎn)足所有的條件，這就是阿羅的“不可能定理”。

不過(guò)，后來(lái)馬斯金用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)計(jì)算證明了簡(jiǎn)單過(guò)半數(shù)規(guī)則只有在很小的概率下才會(huì)觸發(fā)孔多塞悖論。粗淺來(lái)看，簡(jiǎn)單過(guò)半數(shù)規(guī)則基本能滿(mǎn)足四個(gè)投票條件。

你們要在A、B和C中選出星際班長(zhǎng)，和我們討論的問(wèn)題非常相似。我建議你們向星際委員會(huì)反映一下，這樣就能選出那個(gè)讓大家更滿(mǎn)意的人選！