勾股定理與其逆定理

田載今

直角三角形的三邊之間具有一種特殊 的數(shù)量關(guān)系，即兩條直角邊的平方和等于斜 邊的平方.由此產(chǎn)生了關(guān)于直角三角形的一 個(gè)重要定理——勾股定理.由于三邊之間的 這種關(guān)系為直角三角形獨(dú)有，銳角三角形和 鈍角三角形都不具備，所以它又成為判定直 角三角形的依據(jù).由此又產(chǎn)生了關(guān)于直角三 角形的另一個(gè)重要定理——勾股定理的逆 定理.

一、勾股定理——直角三角形的性質(zhì)定 理

中國(guó)古人稱(chēng)直角三角形的兩條直角邊 分別為“勾”和“股”，稱(chēng)斜邊為“弦”.在中國(guó)古 代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，記載了周朝人商 高發(fā)現(xiàn)有一種直角三角形的三邊滿足“勾三，股四，弦五”（即三角形三邊長(zhǎng)度之比為3：4： 5）.3，4，5這三個(gè)數(shù)滿足32+42=52，這表明這 種直角三角形的勾與股的平方和等于弦的 平方.《周髀算經(jīng)》中還記載了周朝人陳子在 討論測(cè)量問(wèn)題時(shí)，提出對(duì)直角三角形可用 “勾股各自乘，并以開(kāi)方除之”的方式計(jì)算 弦，其意即“弦=√勾2+股2”.陳子所說(shuō)的已 不限于“勾三，股四，弦五”這種特殊的直角 三角形了，而是說(shuō)一般的直角三角形都滿足 “勾2+股2=弦2”.