利用勾股定理求立體圖形的最短問題

王愛玲

空間幾何體中的最短路線問題，往往是先轉化為平面內的最短路線問題，可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對于幾何題內問題的關鍵是將立體圖形轉化為平面問題求解，然后構造直角三角形，利用勾股定理求解。

方法總結。1.解決立體圖形中最短距離問題的關鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條線展開，轉化為平面問題后，借助“兩點之間，線段最短”或“垂線段最短”，進而構造直角三角形，借助勾股定理求解。

2.平面圖形的最短路徑通常是作軸對稱變換，轉化為“兩點之間線段最短”的模型來解決問題。常見的有圓柱體的展開、長方體的展開、樓梯的展開、繞繩的展開等等，下面我們就通過一些典型的例題對這些問題逐一講解。

題型一 用展開圖求長方體中的最短問題

例1 （2022秋·南關區校級期末）如圖，一長方體木塊長AB=6，寬BC=5，高BB1=2.一只螞蟻從木塊點A處，沿木塊表面爬行到點C1位置最短路徑的長度為（）

A.[89] B.[85] C.[125] D.[80]

【分析】連接AC1，求出AC1的長即可，分為三種情況：畫出圖形，根據勾股定理求出每種情況時AC1的長，再找出最短的即可。

【解答】解：展開成平面后，連接AC1，則AC1的長就是繩子最短時的長度，如圖1，由勾股定理得：AC1=[85]（cm）；如圖2，由勾股定理得：AC1=5[5]（cm）；如圖3，同法可求AC1=[89]（cm）。∵[85]＜[89]＜5[5]，∴最短路徑的長度為[85]cm。

題型二 用展開圖求圓柱體的最短問題

例2 （2022秋·惠濟區校級期末）一只螞蟻從圓柱體的下底面A點沿著側面爬到上底面B點，已知圓柱的底面周長為12cm，高為8cm，則螞蟻所走過的最短路徑是? ? ? ? cm．

【分析】將圓柱體展開，利用勾股定理進行求解即可。

【解答】解：如圖，線段AB即為所求，由題意得：∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB=10（cm）。即螞蟻走過的最短路徑為：10cm。故答案為：10。

【點評】本題考查了平面展開——最短路線問題，勾股定理的應用。圓柱的側面展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決。

學會把幾何體表面展開成平面圖形，找到最短路徑。通過展開圖形，構建直角三角形，運用勾股定理求出最短路徑。過程與方法：通過動手操作，找到最短路徑；畫出展開后的平面圖形，把實際問題轉化成用勾股定理能解決的數學問題。情感態度與價值觀：能靈活運用數形結合的思想，提高運用勾股定理解決實際問題的能力，培養歸納總結規律的能力。