基于達朗貝爾原理的廢塑料薄膜耦合振動分選與參數優化設計

張啟鑠 張宗素 謝世龍 毛文杰 楊立勇 吳虎 楊先海

文章編號：1671-3559（2024）03-0376-07DOI：10.13349/j.cnki.jdxbn.20240312.001

摘要： 為了提高廢塑料薄膜的回收效率和利用價值， 提出一種廢塑料薄膜耦合振動分選方法； 基于達朗貝爾原理， 建立所提出方法的動力學方程， 分析分選效果的影響因素，確定分選效果的評價指標；確定廢塑料薄膜耦合振動分選設備的優化設計變量，建立優化目標函數，編寫優化程序，得到最優的廢塑料薄膜耦合振動分選設備參數；研制廢塑料薄膜耦合振動分選設備，對所建立動力學方程進行驗證實驗。結果表明：當振動床面振動角為48.63°，振動電機角速度為27.62π rad/s且振動床面橫、 縱向傾角分別為9.41°、 12°時，分選效果最好；驗證實驗的結果與優化程序的結果相近，驗證了所建立動力學方程的正確性；相對于傳統的風力振動分選方法，所提出方法在相同分選時間內的分選距離增加18.66%，分選效果更好，驗證了所提出方法的有效性。

關鍵詞： 機械優化設計； 耦合振動分選； 達朗貝爾原理； 動力學分析； 廢塑料薄膜； 正交實驗

中圖分類號： TH122

文獻標志碼： A

開放科學識別碼（OSID碼）：

Coupled Vibration Sorting of Waste Plastic Film Based on

DAlembert Principle and Parameter Optimization Design

ZHANG Qishuo1， ZHANG Zongsu1， XIE Shilong1， MAO Wenjie1， YANG Liyong2，

WU Hu1， YANG Xianhai1

（1. School of Mechanical Engineering， Shandong University of Technology， Zibo 255000， Shandong， China;

2. Shandong Wintech Technology Co.， Ltd.， Zibo 255130， Shandong， China）

Abstract： To improve recovery efficiency and utilization value of waste plastic film， a coupled vibration sorting method for waste plastic film was proposed. On the basis of dAlembert principle， kinetic equations of the proposed method was established to analyze influencing factors of sorting effects and determine evaluation indexes of sorting effects. Optimization design variables of waste plastic film coupled vibration sorting equipment were determined， an optimized objective function was established， and an optimization procedure was written to obtain the optimized parameters of the waste plastic film coupled vibratory sorting equipment. The waste plastic film coupled vibration sorting equipment was developed， and the proposed kinetic equations were verified. The results show that the best sorting effect is achieved when the vibration angle of vibration deck is 48.63°， the angular velocity of vibration motor is 27.62π rad/s， and the lateral and longitudinal inclination angles of vibration bed surface are respectively 9.41° and 12°. The results of the verification experiment are similar to those of the optimization procedure， which verifies correctness of the established kinetic equations. Compared with the traditional wind vibration sorting method， the proposed method increases the sorting distance by 18.66% in the same time， and the sorting effect is better， which verifies effectiveness of the proposed method.

Keywords： mechanical optimization design; coupled vibration sorting; dAlembert principle; kinetic analysis; waste plastic film; orthogonal experiment

收稿日期： 2023-03-24????????? 網絡首發時間：2024-03-12T20：12：25

基金項目： 國家自然科學基金項目（52075306）

第一作者簡介： 張啟鑠（1998—），男，山東濟寧人。碩士研究生，研究方向為機械優化設計。E-mail： zhangqishuo321@126.com。

通信作者簡介： 楊先海（1963—），男，山東淄博人。教授，博士，博士生導師，研究方向為機構學創新設計。E-mail： yxh@sdut.edu.cn。

網絡首發地址： https：//link.cnki.net/urlid/37.1378.N.20240312.1507.002

塑料薄膜常見于包裝、 農業等領域，常見的材料有聚乙烯（PE）、 聚丙烯（PP）、 聚氯乙烯（PVC）、 聚對苯二甲酸乙二醇酯（PET），以及聚苯乙烯（PS）等。2021年全國塑料薄膜生產總量為16 087.1 kt［1］，這些薄膜在1 a內的廢棄比例高達80%。目前對于廢棄塑料薄膜的處理方法主要有填埋、 焚燒、 高溫裂解、 再生造粒等［2］。填埋和焚燒對環境的污染較嚴重， 而高溫裂解和再生造粒對薄膜的純度要求較高，不同種類的塑料在熔化后的化學相容性低， 直接影響再生塑料的質量和性質， 因此為了高值化回收廢塑料薄膜， 必須先進行分選， 提高廢塑料薄膜的純度［3］。

當前較常見的分選技術可以分為干法分選和濕法分選， 具體有人工分選、 近紅外分選、 靜電分選、 顏色分選、 氣流分選、 密度分選， 以及浮力分選等。 Scott等［4-5］結合近紅外光譜與神經網絡提出了一種對不同塑料進行識別的方法， 該方法易于擴展到其他塑料的識別； Chen等［6］運用近紅外光譜技術將塑料分類精度從75%提高到97%以上； Dodbiba等［7］將摩擦靜電分離與空氣沉積分離相結合開發了一種新裝置， 廢塑料薄膜的回收率可達92.5%以上； Bezati等［8-9］在塑料中添加示蹤劑， 對塑料制品加以區分， 并測試了多種示蹤劑的效果； 郭瑩瑩［10］研究水平風選機內部的流場并建立氣固兩相流的控制方程，并據此提出一種新型的柱式水平氣流風選機模型；Yang等［11］研究旋風分離器的各項參數， 分析旋風分離器的分離原理并進行尺寸優化， 提高了分選效率。作為一種常見的送料方式， 振動送料也成為熱門研究課題。 宋宏斌等［12-13］對振動卸料機進行研究， 建立空間振動卸料機的力學模型和數學模型并進行了求解。 隨著振動送料理論的成熟， 振動分選理論被提出。 趙海星等［14-15］將風力分選與振動分選相結合， 提出風力振動復合分選技術， 設計分選樣機， 并推導塑料薄膜在樣機中的運動規律， 給出了塑料薄膜不同運動狀態的參數條件； 為了提高廢塑料薄膜的振動分選精度， Wang等［16］提出一種計算廢塑料薄膜變形的虛擬質點法， 研究廢塑料薄膜的變形規律， 為后續研究提供了一種準確、 快捷的分析方法。

上述研究對廢塑料薄膜的分選都作出了重要貢獻，許多研究成果已應用于現實生活，部分取代有損健康的人工分選勞動，提高了廢塑料薄膜分選行業的生產效率；但是缺點也很明顯，即依據上述研究設計的分選設備大多結構復雜，成本較高，維護不便，因此導致廢塑料薄膜的自動分選設備難以全面取代人工勞動。本文中提出一種廢塑料薄膜耦合振動分選方法（簡稱本文方法），基于達朗貝爾原理，建立本文方法的動力學方程，確定廢塑料薄膜耦合振動分選設備的優化設計變量并建立優化目標函數，研制耦合振動分選設備，實驗驗證所建立動力學方程的正確性和本文方法的有效性。

1? 本文方法

為了得到廢塑料薄膜耦合振動分選效果較優的設計參數，首先建立本文方法的動力學方程，研究不同參數對分選效果的影響。

圖1所示為廢塑料薄膜耦合振動分選動力學方程的坐標系。分別建立地面坐標系xyz、 受力坐標系uvw以及振動床面坐標系pvq，其中地面坐標系固定不動，而受力坐標系和振動床面坐標系隨振動床面角度的調節而變化。受力坐標系的u軸指向振動床面梯度下降的方向，v軸指向振動床面的法向，w軸分別與u、 v軸垂直，w軸始終與xOz水平面平行。振動床面與x、 z軸的夾角分別為振動床面橫、 縱向傾角α、 β。

1.1? 振動電機與振動床面的耦合振動分析

圖2所示為振動電機與振動床面耦合振動系統。在振動床面坐標系pvq中建立振動系統，包含4個彈簧、 1個振動床面和1個振動電機，其中每個彈簧可表示為橫向剛度、 橫向阻尼、 軸向剛度和軸向阻尼的集合。振動電機產生的激振力為固定方向的簡諧周期力，根據牛頓定律推導得出振動電機產生的激振力為

Fvib=eω2sin ωt ，（1）

式中： e為振動電機偏心轉子的質徑積； ω為振動電機角速度； t為振動電機轉動時間。Fvib與振動床

面的夾角θ稱為振動床面振動角， mb為振動床面質量。角度調節架等效為地面，振動床面由4個相同的彈簧并聯在地面上， kt、 ka分別為彈簧橫向、軸向剛度， ct、 ca分別為彈簧橫向、 軸向阻尼。

根據達朗貝爾原理，建立振動電機與振動床面耦合振動系統的振動微分方程，即

mbv··b+ctv·b+ktvb=Fvibsin ωt cos θ ，

mbp··b+cap·b+kapb=Fvibsin ωt sin θ ，

（2）

式中： vb、 v·b、 v··b分別為振動床面在v方向的位移、 速度、 加速度； pb、 p·b、 p··b分別為振動床面在p方向的位移、 速度、 加速度。

對方程（2）進行求解，得到振動床面的穩態響應，即

pb（t）=Fvibcos θ（kt-mbω2）2+c2tω2cos

ωt-arctanctωkt-mbω2，

vb（t）=Fvibsin θ（ka-mbω2）2+c2aω2cos

ωt-arctancaωka-mbω2

。（3）

1.2? 振動床面與廢塑料薄膜的耦合振動分析

1.2.1? 廢塑料薄膜的受力分析

圖3 所示為廢塑料薄膜的受力分析。

振動床面在振動過程中帶動振動床面附近的空氣產生垂向流動，廢塑料薄膜因質量較小且面積較大而極易受空氣作用影響。當振動床面向下運動時，振動床面上方的空氣也向下流動，廢塑料薄膜在氣流的作用下難以與振動床面分離，只會與振動床面間產生一個微小間隙。該間隙十分微小，而廢塑料薄膜在v方向的速度較大，因此可以忽略間隙距離，有

vf=vb ，

v·f=v·b ，

v··f=v··b ，（4）

（a）uOv平面

（b）vOw平面

uvw—振動坐標系； O—坐標原點； Fn—振動床面對廢塑料

薄膜的接觸壓力； Ff，u、 Ff，w—摩擦力在u、 w方向的分量；

Gu、 Gv—廢塑料薄膜所受重力在u、 v方向的分量；

Fa—廢塑料薄膜產生的氣流作用力；

Fc—廢塑料薄膜所受空氣阻力。

圖3? 廢塑料薄膜的受力分析

式中vf、 v·f、 v··f為廢塑料薄膜在v方向的位移、 速度、 加速度。由此，廢塑料薄膜產生的氣流作用力Fa由廢塑料薄膜在v方向的動力學公式反推計算得到，即

Fn-Fa=mv··b+Fc+Gv ，（5）

式中： Fn為振動床面對廢塑料薄膜的接觸壓力， Fn-Fa<0時Fn=0， Fn-Fa>0時Fa=0； Fc為廢塑料薄膜所受空氣阻力； Gv為廢塑料薄膜所受重力在v方向的分量。

Fc的計算公式［17］為

Fc=12CρAv·2f，? v·f>0 ，

0，v·f≤0 ，（6）

式中： C為空氣阻力系數，與迎風面形狀有關，迎風面為平板形時通常取為1； ρ為空氣密度，通常取為1.293 g/L； A為迎風面積。當v·f≤0時，廢塑料薄膜不受空氣阻力的作用，Fc=0。

1.2.2? 本文方法的動力學方程建立

對于運動過程中的任一時刻，根據達朗貝爾原理，建立本文方法的動力學方程為

mu··f=Gu-Ff，u ，

v··f=v··b ，

mw··f=-Ff，w ，（7）

式中： u··f、 w··f分別為廢塑料薄膜在u、 w方向的加速度； Gu為廢塑料薄膜所受重力在u方向的分量； Ff，u、 Ff，w分別為摩擦力在u、 w方向的分量。

對于一般動力學問題，分析摩擦力時常采用庫侖摩擦模型［18］進行求解。當2個物體的相對速度和相對切向加速度均為0時，接觸點處于靜摩擦狀態，此時摩擦力的取值是一個范圍，具體取值取決于外力的大小。

摩擦力的方向與摩擦狀態有關： 當2個物體處于動摩擦狀態時， 摩擦力的方向指向相對運動方向的反方向； 而當處于靜摩擦狀態時， 摩擦力為驅動力，與其他力的合力指向物體加速度的方向。 根據摩擦力的影響規律， 結合牛頓第二、 第三定律， 推導廢塑料薄膜在動、 靜摩擦狀態下所受的摩擦力分別為

Ffk=μFn ，

Ffk，u=-u·r1/（u·2r+w·2r）Ffk ，

Ffk，w=-w·r1/（u·2r+w·2r）Ffk ，（8）

Ffs，u=mu··f-Gu ，

Ffs，w=mw··f ，

Ffs=F2fsu+F2fsw ，（9）

式中： Ffk為動摩擦力， Ffk，u、 Ffk，w分別為動摩擦力在u、 w方向的分力； Ffs為靜摩擦力； Ffs，u、 Ffs，w分別為靜摩擦力在u、 w方向的分力；u·r=u·f-v·b為廢塑料薄膜在u方向相對于振動床面運動的速度，其中u·f、 u·b分別為廢塑料薄膜、 振動床面在u方向的速度； w·r=w·f-w·b為廢塑料薄膜在w方向相對于振動床面運動的速度，其中w·f、 w·b分別為廢塑料薄膜、振動床面在w方向的速度。

求得任一時刻u、 w方向的摩擦力后，代入式（7），即可得到廢塑料薄膜在該時刻的加速度。

1.2.3? 本文方法的動力學方程求解

廢塑料薄膜在運動過程中的摩擦狀態不斷變化，在計算過程中無法恒定地使用式（8）或式（9）進行摩擦力求解，使得所建立動力學方程（7）的解析解難以給出，因此使用計算機進行數值求解成為最佳選擇。

將求解時間段劃分為若干微元時間Δt，并給出u、 w方向的位移和速度初始條件：

u（0）=u0， u·（0）=u·0 ，

w（0）=w0， w·（0）=w·0 。（10）

在微元時間內進行所建立動力學方程的求解，解出該微元時間廢塑料薄膜在u、 w方向的末位移和末速度作為下次計算的初始條件，如此循環即可完成整個設定時間段的計算。使用數值方法求解，可以實時計算摩擦狀態并根據摩擦狀態選擇式（8）或式（9）進行摩擦力求解。

2? 廢塑料薄膜耦合振動分選設備參數優化設計

2.1? 優化設計變量的確定

對單一廢塑料薄膜的軌跡進行求解后，代入不同廢塑料薄膜的摩擦系數μ和密度等參數，即可得到該廢塑料薄膜的末位置S。對2種不同的廢塑料薄膜進行求解，得到每種廢塑料薄膜的末位置，分別記為S1和S2。每種廢塑料薄膜的末位置Sk （k=1， 2， …， n， n為正整數）可在振動床面坐標系pvq中沿p、 q軸分解為Skp、 Skq，分別表示廢塑料薄膜末位置的p、 q坐標。令S1p=S2p=Sp，求解此時的ΔSq=S1q-S2q。當振動床面p方向長度為Sp時，2個廢塑料薄膜滑落的q方向位移差為ΔSq，即分選距離。分選距離ΔSq越大，則分選效果越好。

根據式（7）可知，直接影響廢塑料薄膜運動的作用力為重力在u方向的分量和摩擦力。重力在u方向的分量受振動床面傾斜角度的影響，而振動床面傾斜角度由α、 β共同決定。

影響摩擦力的因素較復雜，首先需要確定摩擦力的狀態，再根據式（8）、 （9）確定摩擦力。廢塑料薄膜所受摩擦力與Fn、 μ有關，還與廢塑料薄膜和振動床面間的相對運動狀態有關。結合式（4）、 （5）、 （6）可知，Fn主要受振動床面v方向加速度的影響。由此可知，摩擦力的影響因素主要是μ和振動床面運動狀態，而振動床面運動狀態即為式（3）中的振動床面穩態響應，影響因素包括Fvib、 θ、 ω、 mb、 kt、 ka、 ct、 ca。同時，振動床面的p方向長度Xp限制了廢塑料薄膜的p方向位移。由此可知，廢塑料薄膜分選效果的影響因素即為α、 β、 μ、 e、 θ、 ω、 mb、 kt、 ka、 ct、 ca、 Xp。

2.2? 優化目標函數的建立

根據確定的優化設計變量， 研制廢塑料薄膜耦合振動分選設備， 實物圖如圖4所示， 其中振動床面用于分選廢塑料薄膜， 側擋板用于防止廢塑料薄膜過早滑落， 控制箱用于控制ω、 α、 β的中樞。 該設備通過電動推桿的伸縮調節α、 β， 通過振動電機調速器調節ω， 通過連接振動電機的振角調節器調節θ。

表1所示為廢塑料薄膜耦合振動分選設備參數，其中僅θ、 ω、 α、 β為可調節的參數。由于Xp、 振動床面的q方向長度Xq、 kt、 ka、 ct、 ca、 mb、 e都是設備中不可調節的參數， 因此均不作為優化設計變量。

將動力學分析流程編寫為MATLAB函數，記作ΔSq（θ， ω， α， β）。以分選距離ΔSq最大化為優化目標，以實驗平臺的各參數可調范圍為約束條件，建立優化目標函數為

min -ΔSq（θ， ω， α， β） ，（11）

滿足0°≤θ≤90° ， 0≤ω≤100π ， 0°≤α≤12° ， 0°≤β≤12° 。

利用MATLAB軟件編寫優化程序，對優化目標函數（11）進行計算，得到耦合振動分選設備的參數優化設計結果，如表2所示。

3? 實驗驗證

3.1? 實驗參數設置

利用正交實驗法研究θ、 ω、 α、 β對分選距離的影響。影響分選距離的可變參數個數為4，因此采用四因素三水平的正交實驗。按照等間距原則，各變量在調節范圍內均勻取值，廢塑料薄膜耦合振動分選正交實驗的因素水平如表3所示。表4所示

為廢塑料薄膜耦合振動分選正交實驗的分組。

待分選的廢塑料薄膜材料使用生活中常見的PVC和PP，長度、 寬度、 厚度均為60、 60、 0.3 mm， 密度分別為1 380、 900 kg/m3，摩擦系分別為0.5、0.2。 由于動、 靜摩擦系數相近， 因此統一取值進行近似處理。 每組實驗的參數設置過程如下： 1）計算α、 β對應的電動推桿伸長量； 2）控制步進電機， 將電動推桿伸長到相應位置， 調節α、 β； 3）撥動振動角調節桿， 通過控制振動角調節桿伸長和縮短對θ進行調節； 4）通過電機調速器旋鈕將ω調節到實驗值； 5）電機通電， 振動床面振動； 6）振動床面振動達到穩態后， 將廢塑料薄膜平穩放置在振動床面的初始點位； 7）廢塑料薄膜滑落后， 記錄落點的位置。

3.2? 實驗結果與分析

表5所示為廢塑料薄膜耦合振動分選正交實驗的結果。從表中可以看出，當θ=60°， ω=33π rad/s，α=8°， β=12°時， 第4組廢塑料薄膜的分選距離最大。 為了進一步細化數據， 再進行一次細化的正交實驗， 在第4組參數的附近取值， 表6所示為細化正交實驗的因素水平。 重復上述實驗步驟， 記錄細化正交實驗的結果， 如表7所示。 由表可知， 細化正交實驗所得的最佳參數組合為第4組， 即θ=50°，ω=27π rad/s， α=9°， β=12°， 此時廢塑料薄膜的分選距離最大， 為478.3 mm。 此結果與表2中的參數優化設計結果相近， 驗證了所建立的本文方法的動力學方程的正確性和參數優化設計結果的正確性。

3.3? 本文方法的有效性驗證

傳統的風力振動分選方法［19］優化設計后所得PVC薄膜的平均推進速度為15.63 mm/s，PP薄膜的

平均推進速度為28.85 mm/s，兩者之差13.22 mm/s即為平均分選速度。利用本文方法進行分選，分選時間為31.34 s。在相同分選時間內對比2種方法的分選距離，結果如圖5所示。由圖可知，在相同分選時間內，本文方法的分選距離為491.6 mm，傳統的風力振動分選方法的分選距離為414.3 mm，相對于傳統的風力振動分選方法，本文方法的分選距離增加18.66%，分選效果更好。

本文方法—廢塑料薄膜耦合振動分選方法。

圖5? 傳統的風力振動分選方法與本文方法的分選距離對比

4? 結論

本文中提出了一種廢塑料薄膜耦合振動分選方法，基于達朗貝爾原理，建立本文方法的動力學方程，分析分選效果的評價指標；通過確定優化設計變量和建立優化目標函數，研制廢塑料薄膜耦合振動分選設備并進行實驗驗證，得到以下主要結論：

1）當振動床面振動角為48.63°，振動電機角速度為 27.62π rad/s，振動床面橫、 縱向傾角分別為9.41°、 12°時，廢塑料薄膜的分選距離最大，分選效果最好。

2）采用正交實驗法設計的驗證實驗結果與理論計算結果相近，驗證了所建立本文方法的動力學方程的正確性。

3）與傳統的風力振動分選方法對比，本文方法在相同分選時間內的分選距離增加了18.66%，分選效果更好，驗證了本文方法的有效性。

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（責任編輯：王? 耘）