融合直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教學(xué)

王其泉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要重視學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)的形成，處理好直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系。其中，直接經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生通過(guò)親身實(shí)踐、動(dòng)手操作所獲得的經(jīng)驗(yàn)，間接經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生從書(shū)本或他人的經(jīng)驗(yàn)中獲得的經(jīng)驗(yàn)，兩者相輔相成，能夠豐富學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的完整過(guò)程，促進(jìn)他們不斷思考，深入理解知識(shí)內(nèi)容，進(jìn)而培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng)。

在日常的數(shù)學(xué)課堂上，筆者發(fā)現(xiàn)部分教師往往過(guò)于依賴教材的設(shè)計(jì)，習(xí)慣引導(dǎo)學(xué)生按照既定的步驟進(jìn)行操作，忽略了讓他們“走彎路”的重要性。這樣的教學(xué)方式看似高效，卻不利于幫助學(xué)生獲得寶貴的直接經(jīng)驗(yàn)，久而久之，容易使其養(yǎng)成惰性思維。本文中，筆者以部編版五年級(jí)上冊(cè)第六單元《三角形的面積》一課為例，具體說(shuō)明數(shù)學(xué)教師應(yīng)如何幫助學(xué)生吸納直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)。

利用間接經(jīng)驗(yàn)，保障探究活動(dòng)嚴(yán)謹(jǐn)性

學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)積累，是他們理解和掌握新知識(shí)的重要基石。因此，筆者在教學(xué)《三角形的面積》一課前，首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧了之前學(xué)過(guò)的面積推導(dǎo)方法。例如，在探究長(zhǎng)方形面積的過(guò)程中教授的數(shù)方格法，即將不滿格的面積單位轉(zhuǎn)化為滿格的標(biāo)準(zhǔn)面積單位，這樣，通過(guò)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)面積單位的數(shù)量即可算得長(zhǎng)方形面積。又如，在推導(dǎo)平行四邊形面積時(shí)教授的轉(zhuǎn)化法（割補(bǔ)法），學(xué)生通過(guò)觀察，最終發(fā)現(xiàn)可沿著三角形兩邊中點(diǎn)的連線進(jìn)行分割，即可將其拼成一個(gè)平行四邊形。復(fù)習(xí)已學(xué)圖形的推導(dǎo)方法，不僅可以讓他們對(duì)計(jì)算公式和其中滲透的轉(zhuǎn)化思想理解得更深刻，也有利于他們后續(xù)推導(dǎo)三角形的面積公式。

此外，在學(xué)習(xí)《三角形的認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，學(xué)生們已對(duì)三角形的分類有了清晰的認(rèn)識(shí)。他們知道，根據(jù)角的大小，將三角形分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。這些從教材中習(xí)得的間接經(jīng)驗(yàn)，成為他們探究三角形面積公式的重要參考。基于上述經(jīng)驗(yàn)積累，筆者鼓勵(lì)學(xué)生分門別類進(jìn)行研究，根據(jù)不同圖形的特點(diǎn)選擇合適的計(jì)算策略，以保障探究活動(dòng)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

利用直接經(jīng)驗(yàn)，思考新問(wèn)題的解答路徑

依照思維的慣性，有部分學(xué)生立刻提出想嘗試?yán)酶钛a(bǔ)法求取三角形的面積。他們認(rèn)為，這種方法可以快速規(guī)整圖形，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。于是，筆者引導(dǎo)他們進(jìn)行小組討論，共同探討這一方法是否可行。

學(xué)生將不同類型的三角形沿高剪開(kāi)，再改變它們的相對(duì)位置，將其拼接在一起。幾次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，這種方法適用于等腰三角形面積的計(jì)算，但不適用于計(jì)算其他類型的三角形的面積。這讓他們意識(shí)到，割補(bǔ)法并不是萬(wàn)能的，于是開(kāi)始思考不同類型的三角形應(yīng)采用的策略。在此過(guò)程中，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，于是想到是否可以先計(jì)算平行四邊形的面積，再將計(jì)算結(jié)果除以2來(lái)獲得答案。

這次嘗試不僅使學(xué)生進(jìn)一步了解了拼合法的“由來(lái)”，還讓他們體驗(yàn)了思考新問(wèn)題的方法路徑，學(xué)會(huì)了如何分析已有經(jīng)驗(yàn)，篩選恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ蝗绾卧诔醪絿L試后進(jìn)行反思和總結(jié)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)調(diào)整方向；如何再次進(jìn)行操作驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律。這一系列過(guò)程不僅鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和實(shí)踐能力，也為他們未來(lái)的學(xué)習(xí)和生活奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

允許學(xué)生“走彎路”，加深引領(lǐng)深度思考

美國(guó)著名教育學(xué)家拉爾夫·泰勒在其著作《課程與教學(xué)的基本原理》中提出，數(shù)學(xué)教學(xué)中存在一個(gè)普遍現(xiàn)象，即教師常常將學(xué)習(xí)所需的所有事實(shí)直接傳授給學(xué)生，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)按模式運(yùn)算。然而，當(dāng)這些學(xué)生需要自己探索某些事實(shí)時(shí)，往往就會(huì)感到迷茫，不知道需要哪些事實(shí)，以及從哪里可以找到這些事實(shí)。相關(guān)實(shí)驗(yàn)還表明，那些曾在怎樣確定所需事實(shí)以及如何獲取這些事實(shí)方面接受過(guò)專門訓(xùn)練的學(xué)生，在解決問(wèn)題時(shí)往往能有更好的表現(xiàn)。

在本節(jié)課中，盡管學(xué)生們對(duì)于既有方法經(jīng)驗(yàn)的探索，并未直接幫助他們得出三角形面積的計(jì)算方法，但筆者認(rèn)為，這一探究過(guò)程具有不可忽視的價(jià)值。“走彎路”的教學(xué)設(shè)計(jì)并不是在浪費(fèi)課堂時(shí)間，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不單能進(jìn)一步思考面積計(jì)算的本質(zhì)，也可以加深對(duì)于面積公式推理與計(jì)算的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，這也能夠使他們認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決往往需要經(jīng)歷一段曲折的探索過(guò)程。

此外，在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用割補(bǔ)法求解答案的同時(shí)，筆者還向他們介紹了古代數(shù)學(xué)家劉徽總結(jié)的“出入相補(bǔ)”法，為他們提供了新的思考角度，帶來(lái)了新的啟發(fā)。

為了加深學(xué)生對(duì)于本課內(nèi)容的思考，筆者帶領(lǐng)他們開(kāi)展了多輪交流匯報(bào)。在第一輪交流匯報(bào)中，筆者鼓勵(lì)他們思考是否所有類型的三角形都符合“兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形”的規(guī)律，隨后帶領(lǐng)他們利用手中不同類型的三角形進(jìn)行第二輪探究，嘗試各種不同的拼接方式，而后開(kāi)展第二輪交流匯報(bào)，最終總結(jié)出三角形面積的計(jì)算方法。學(xué)生欣喜地發(fā)現(xiàn)，計(jì)算底和高的乘積再除以2，可以得到任何類型三角形的面積。

設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，檢驗(yàn)掌握情況

教學(xué)成果的檢驗(yàn)是衡量教學(xué)成效的重要手段，也是提高教育質(zhì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為了進(jìn)一步檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)三角形面積計(jì)算方法的掌握情況，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究興趣，筆者設(shè)計(jì)了一次小組探究活動(dòng)，引導(dǎo)他們探究梯形面積的計(jì)算方法。

在這次活動(dòng)中，筆者僅給學(xué)生提供了幾張方格紙，讓他們通過(guò)繪制草圖、涂色、裁剪等操作進(jìn)行自主探究，旨在讓他們?cè)谟H身實(shí)踐的過(guò)程中獲得直接經(jīng)驗(yàn)。他們?cè)诮M內(nèi)互相交流思路，嘗試運(yùn)用不同的探究方法。有的小組發(fā)現(xiàn)，可以將梯形圖紙沿兩腰中點(diǎn)連線剪開(kāi)，再將其拼合成熟悉的平行四邊形，進(jìn)而求取梯形的面積；還有小組提出，可以沿著梯形的某條對(duì)角線將其剪為兩個(gè)三角形，然后分別計(jì)算這兩個(gè)三角形的面積并相加。

在這樣的探究過(guò)程中，學(xué)生們不僅學(xué)會(huì)了如何運(yùn)用既有方法求解梯形面積，還深入理解了梯形與之前所得圖形之間的聯(lián)系。

總而言之，數(shù)學(xué)教學(xué)需要讓學(xué)生在親身體驗(yàn)中轉(zhuǎn)化直接經(jīng)驗(yàn)，并在學(xué)習(xí)與討論中汲取間接經(jīng)驗(yàn)。作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和教學(xué)內(nèi)容需要，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓他們?cè)讷@得直接經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，也能夠充分領(lǐng)會(huì)間接經(jīng)驗(yàn)。只有這樣，才能夠真正促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，讓他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上越走越穩(wěn)。與此同時(shí)，我們也應(yīng)不斷反思并改進(jìn)自己的教學(xué)方法，以適應(yīng)隨時(shí)代發(fā)展變化的教育需要和學(xué)生需求，為學(xué)生的全面發(fā)展提供有力的支持。