Gronwall Bellman不等式及其 在雙時滯微分系統中的運用

陳范彬妍 宋芷璇

摘?要：本文運用推廣的GronwallBellman不等式研究分數階雙時滯微分系統的有限時間穩定性.首先，通過適當的積分變換將GronwallBellman不等式在整數階雙時滯積分系統中進行推廣.其次，利用所得結論，并結合Hlder不等式、Minkowski不等式、Jensen不等式以及換元法等方法將GronwallBellman不等式推廣到分數階雙時滯的積分系統中.最后，運用上述所得結論，研究分數階雙時滯微分系統的有限時間穩定性.

關鍵詞：GronwallBellman不等式；分數階RiemannLiouville積分方程；時滯；有限時間穩定性

中圖分類號：O175.13

自1919年Gronwall積分不等式誕生以來，Gronwall積分不等式在常微分方程、偏微分方程解的研究及估計上起著極其重要的作用［1］.

時滯系統在實際生活中的應用范圍非常廣泛.一方面，它在建筑結構、神經網絡、工業水處理、冶金工業等系統中都十分常見.另一方面，在網絡系統下，處理數據以及傳送數據也能引發系統中時滯的產生［24］.此外，穩定性問題也是分數階微分方程的研究中一個重要的問題［57］.

為了使Gronwall不等式更好地運用于實際問題，本文將GronwallBellman不等式與時間延遲聯系起來，以便解決多時滯的積分不等式相關問題.

1?預備知識

為了方便，記區間J=［t0，T］，0t0

定義1［8］：（有限時間穩定性）對于帶有時滯的Caputo分數階微分系統cDαtx（t）=f（t，x（t），x（t-τ）），t∈J，x（t）=φ（t），t0-τtt0.若滿足ε>0，δ∈（0，ε），當‖φ‖=supt0-τtt0‖φ（t）‖δ時，有‖x（t）‖ε，t∈［t0-τ，T］，則稱上述系統對于{δ，ε，T}是有限時間穩定的.

引理1［8］：（推廣的GronwallBellman不等式）假設f，g∈C（J，R），且u∈C1（J，R），滿足u′（t）f（t）u（t）+g（t），t∈J，u（t0）u0.

則u（t）u0e∫tt0f（s）ds+∫tt0g（s）e∫tsf（r）drds，t∈J.

引理2［8］：（Minkowski不等式）令1

引理3［8］：（Jensen不等式）令k∈，且x1，x2……xk是非負的實數，那么∑kj=1xjqkq-1∑kj=1xjq，q>1.

2?GronwallBellman不等式在整數階雙時滯積分不等式中的推廣

假設f（t）、g（t）、k1（t）、k2（t）、h（t）、u（t）是定義在J上的連續非負函數，φ（t）是定義在［t0-τ2，t0］上的連續非負函數，τ2>τ1>0.令m（t）=h（t）g（t）+k1（t）g（t-τ1），n（t）=h（t）g（t）+k1（t）g（t-τ1）+k2（t）g（t-τ2），p（t）=h（t）f（t）+k1（t）f（t-τ1）+k2（t）φ（t-τ2），q（t）=h（t）f（t）+k1（t）f（t-τ1）+k2（t）f（t-τ2），M（t）=h（t）g（t），N（t）=h（t）f（t）+k1（t）φ（t-τ1）+k2（t）φ（t-τ2）.

定理1：若對上述函數滿足u（t）f（t）+g（t）∫tt0h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）ds，t∈J，u（t）φ（t），t∈［t0-τ2，t0］.

則當t∈［t0，t0+τ1］時，u（t）f（t）+g（t）∫tt0N（s）e∫tsM（r）drds；（1）

當t∈［t0+τ1，t0+τ2］時，u（t）f（t）+g（t）e∫tt0+τ1m（s）ds∫t0+τ1t0N（s）e∫t0+τ1sM（r）drds+∫tt0+τ1p（s）e∫tsm（r）drds；（2）

當t∈［t0+τ2，T］時，

u（t）f（t）+g（t）e∫tt0+τ2n（s）dse∫t0+τ2t0+τ1m（s）ds∫t0+τ1t0N（s）e∫t0+τ1sM（r）drds+∫t0+τ2t0+τ1p（s）e∫t0+τ2sm（r）drds+∫tt0+τ2q（s）e∫tsn（r）drds.（3）

注：具體證明可通過對t進行分類討論，并結合引理1直接得出，在此不多贅述。

定理2：若滿足定理1的條件，f（t）、g（t）、φ（t）都是遞增函數，?f（t0）φ（t0），則u（t）f（t）e∫tt0g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr，t∈J.

證明：當t∈［t0，t0+τ1］時，由f（t）、g（t）、φ（t）是遞增函數且f（t0）φ（t0），可得g（t）∫tt0N（s）e∫tsM（r）drdsf（t）∫tt0g（t）［k1（s）+k2（s）+h（s）］eg（t）∫ts［h（r）+k1（r）+k2（r）］drds.因此，u（t）f（t）e∫tt0g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr.當t∈［t0+τ1，t0+τ2］時，由f（t）、g（t）、φ（t）是遞增函數且f（t0）φ（t0），可得f（t）+g（t）∫tt0+τ1p（s）e∫tsM（r）drdsf（t）e∫tt0+τ1g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr.

則u（t）f（t）e∫tt0+τ1g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr+g（t）e∫tt0+τ1m（s）ds∫t0+τ1t0N（s）e∫t0+τ1sM（r）drds

f（t）e∫tt0+τ1g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr

1+∫t0+τ1t0g（t）［h（s）+k1（s）+k2（s）］e∫t0+τ1sg（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］drds

f（t）e∫tt0+τ1g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr

e∫t0+τ1t0g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr=f（t）e∫tt0g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr.

同理可得，當t∈［t0+τ2，T］時，u（t）f（t）e∫tt0g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr.證畢.

3?GronwallBellman不等式在分數階雙時滯積分不等式中的推廣

假設a（t）、b（t）、k1（t）、k2（t）、h（t）、u（t）是定義在J上的連續非負函數，φ（t）是定義在［t0-τ2，t0］上的連續非負函數，0<τ1<τ2，0<α<1，令q>1α，則存在p，使得1p+1q=1.在本節中，為了方便計算，記G（t）=4q-1bq（t）（t-t0）qα-1Γq（α）（pα-p+1）qp.

定理3：若對上述函數滿足u（t）a（t）+b（t）Γ（α）∫tt0（t-s）α-1h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）ds，t∈J，u（t）φ（t），t∈［t0-τ2，t0］.

當a（t）、b（t）、φ（t）都是遞增函數且a（t0）41q-1φ（t0）時，u（t）41-1qa（t）e1q∫tt0G（t）hq（r）+k1q（r）+k2q（r）dr，t∈J.（4）

證明：根據Hlder不等式可知，當t∈J時，∫tt0（t-s）α-1h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）ds

∫tt0（t-s）p（α-1）ds1p∫tt0h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）qds1q，結合引理2可得，

u（t）a（t）+b（t）Γ（α）∫tt0（t-s）p（α-1）ds1p∫tt0h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）qds1q

a（t）+b（t）（t-t0）pα-p+1pΓ（α）（pα-p+1）1p∫tt0［h（s）u（s）］qds1q+

∫tt0k1（s）u（s-τ1）qds1q

+∫tt0k2（s）u（s-τ2）qds1q

運用引理3，可得uq（t）4q-1aq（t）+b（t）Γ（α）（pα-p+1）1p（t-t0）pα-p+1pq∫tt0h（s）u（s）qds

+∫tt0k1（s）u（s-τ1）qds

+∫tt0k2（s）u（s-τ2）qds}，滿足定理2的條件，則根據定理2可知，式（4）成立.證畢.

4?分數階雙時滯微分系統的有限時間穩定性

根據上述所得的結論，我們探索下述分數階雙時滯微分系統的有限時間穩定性.

cDαtx（t）=-Dx（t）+Af（x（t））+Bg（x（t-τ1））+Cg（x（t-τ2））+I（t），0tT，xi（t）=（t），-τ2t0.（5）

其中0<τ1<τ2，0<α<1，令q>1α，則存在p，使得1p+1q=1.存在M>0，‖I（t）‖M，‖‖=supt∈［-τ2，0］‖（t）‖.

在下文，總認為以下條件成立：（H1）存在F>0，使得‖f（w）-f（u）‖F‖w-u‖，其中w，u∈Rn；（H2）存在W>0，使得‖g（w）-g（u）‖W‖w-u‖，其中w，u∈Rn.

由上述條件可得系統（5）的解x是存在的，且滿足

x（t）=x（0）+∫t0（t-r）α-1Γ（α）［-Dx（r）+Af（x（r））+Bg（x（r-τ1））+Cg（r（t-τ2））+I（r）］dr，0tT，x（t）=（t），-τ2t0.（6）

在下文，令G（t）=4q-1tqαΓq（α）（pα-p+1）qp，為了方便，不妨設f（0）=g（0）=0，當非0情形，也有相同的穩定性條件.

定理4：若滿足條件（H1）（H2），41-1qδ+TαMΓ（α+1）eG（T）q［（‖D‖+‖A‖F）q+（‖B‖W）q+（‖C‖W）q］ε，則系統（5）有限時間穩定.

證明：ε>0，由方程組式（6）可得，‖x（t）‖‖‖+∫t0（t-r）α-1Γ（α）［（‖D‖+‖A‖F）‖x（r）‖+‖B‖W‖x（r-τ1）‖+‖C‖W‖x（r-τ2）‖+M］dr

‖‖+tαMΓ（α+1）+∫t0（t-r）α-1Γ（α）［（‖D‖+‖A‖F）‖x（r）‖+‖B‖W‖x（r-τ1）‖+‖C‖W‖x（r-τ2）‖］dr.

令u（t）=‖x（t）‖，a（t）=‖‖+tαMΓ（α+1），b（t）=1，h（t）=‖D‖+‖A‖F，k1（t）=‖B‖W，k2（t）=‖C‖W，φ（t）=‖‖，則u（t）a（t）+b（t）Γ（α）∫tt0（t-s）α-1h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）ds，t∈［0，T］，u（t）φ（t），t∈［-τ2，0］.

顯然a（t）、b（t）、φ（t）都是遞增函數且a（0）41q-1φ（0）.結合定理3可知，如果‖‖δ，則‖x（t）‖41-1q‖‖+tαMΓ（α+1）e1qG（t）（‖D‖+‖A‖F）q+（‖B‖W）q+（‖C‖W）q，即‖x（t）‖ε.根據定義3可知，該Caputo分數階雙時滯微分系統滿足有限時間穩定性.證畢.

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基金項目：江蘇省大學生創新創業訓練計劃（批準號：202211117078Y）

作者簡介：陳范彬妍（2002—?），女，漢族，江蘇常熟人，本科在讀，研究方向：應用數學。