新時代高等數學“金課”建設新思路設計與研究

楊娜娜 孟新友 馬成業

摘?要：隨著科技的發展、時代的進步，偏向于理論推導的“高等數學”課程傳統教學模式已無法滿足這個時代社會對人才的需求，而“金課”是知識、能力和素養的融合，不僅讓學生獲得知識、掌握技能，更重要的是培養其創造性思維和解決復雜問題的綜合能力。本文將開展基于“金課”的“高等數學”教學研究工作，為進一步構建本科數學類金課課程提供積極探索，并以數列極限概念為例闡釋其在高等數學“金課”探索中的應用。

關鍵詞：金課建設；高等數學；數列極限

中圖分類號：G642??文獻標識碼：A

Design?and?Research?of?New?Ideas?for?the?Construction

of?"Golden?Course"?of?Higher?Mathematics?in?the?New?Era

—Take?the?Concept?of?Series?Limits?as?an?Example

Yang?Nana?Meng?Xinyou?Ma?Chengye

Lanzhou?University?of?Technology，School?Science?of?Technology?GansuLanzhou?730050

Abstract：With?the?developments?of?technologies?and?progresses?of?times，the?traditional?teaching?mode?of《Higher?Mathematics》which?is?biased?towards?theoretical?derivation?can?no?longer?meet?the?social?demand?for?talents?in?this?era，the?"golden?course"?is?the?integration?of?knowledge，ability?and?accomplishment，which?not?only?enables?students?to?acquire?knowledge?and?master?skills，but?more?importantly，cultivates?their?creative?thinking?and?comprehensive?ability?to?solve?complex?problems.This?paper?will?carry?out?the?teaching?and?research?work?of?"Higher?Mathematics"?based?on?"golden?course"，and?provide?active?exploration?for?the?further?construction?of?undergraduate?mathematics?golden?courses，as?well?as?explain?its?application?in?the?exploration?of?"golden?course"?of?higher?mathematics?by?taking?the?concept?of?series?limit?as?an?example.

Keywords：Gold?Course；Higher?Mathematics；Series?Limit

高等數學是大學數學類課程乃至其他專業課程學習的一門非常重要的基礎理論課程，覆蓋面廣、學時多、影響面寬、在人才培養中發揮著舉足輕重的作用［1］。與此同時，因其對學習專業知識和發展創新能力起著重要的作用，對培養學生的數學和創新能力、應用和探索精神有很大的幫助，對促進學生的個性與可持續發展能力具有文化教育和技術教育的功能。

同時，隨著社會不斷發展要求培育更多的高等教育人才，數學的學習與應用日益顯現，與其他學科的交叉和融合也越來越緊密。然而，由于“高等數學”課程課堂知識點多、抽象性強、課時數有限，導致“教師難教，學生難學”的局面，特別是讓大多數學生望而卻步，嚴重影響教學效果。傳統的教學方式（黑板+粉筆）已不能滿足新時代打造“金課”的要求。如何建設高質量課程，提高學生的學習興趣和課程教學質量，是打造“金課”的重中之重。本文以數列極限概念為例，探索新時代高等數學“金課”建設新思路。

一、“金課”建設背景

2018年8月，教育部正式印發了《關于狠抓新時代全國高等學校本科教育工作會議精神落實的通知》，將“消滅水課，打造金課”首次寫入文件。從那時起，為了貫徹全國高等學校本科教育會議及相關文件的精神，各大高校積極動員教師參與“金課”的建設，圍繞“金課”展開了一系列的討論。2018年11月，原教育部高等教育司司長吳巖在“第十一屆大學教育論壇”上，將“金課”歸結為“兩性一度”：高階性、創新性、挑戰度［2］。2019年10月，教育部正式發布了《關于一流本科課程建設的實施意見》，明確了“金課”的建設內容，闡述了“兩性一度”的金課建設標準，即提升高階性（課程目標堅持知識、能力、素質的有機融合，培養學生解決復雜問題的綜合能力和高級思維）、突出創新性（教學內容體現前沿性與時代性，及時將學術研究、科技發展前沿成果引入課程，大力推進現代信息技術與教學深度融合）、增加挑戰度（課程設計增加研究性、創新性、綜合性內容，讓學生體驗“跳一跳才能夠得著”的學習挑戰，嚴格考核考試評價）。

進而，如何理解“兩性一度”將成為高校課程建設“金課”的關鍵，針對不同學科、不同課程所具有的特點，“金課”的標準也應有所不同。而當前“高等數學”課程教學問題諸多，需要我們繼續研究。基于“金課”的理念和思路，對于“高等數學”這門大學新生入校就會學習的基礎又非常重要的科目來說，打造“金課”的意義是深遠的，成為今后長期高等數學學科建設的重要任務。不斷改革傳統的高等數學教學思想、教學目標、教學內容、教學方法、教學評價等，按照新時代“金課”的要求進行深入研究和實踐。

二、高等數學的教學存在的問題

（1）傳統的黑板+粉筆教學模式比較浪費時間，并且高等數學的授課內容本身就比較枯燥，學生的聽課狀態不佳，課堂的教學效果比較差，學生活躍的思維和強烈的好奇心受到抑制，個性的發揮受到阻礙，興趣得不到激發，難以調動學習的積極性。通過不斷深入學習以及提升知識點的難度，很多學生失去了學習的信心，滿意的教學質量和預期的教學目標無法實現。

（2）由于課堂知識點多，教師在實施教學進度時，容易忽視訓練學生的思維能力，學生被動地接受知識，整個教學過程中教師進行“填鴨式”的知識灌輸，沒有學生的真正參與。大多數的教學還是以“教師為中心”的授課方式，學生學習的主體作用并沒有得到最大限度的發揮。

（3）目前，“高等數學”課程要求教師講解概念、定義，推演定理、性質，以及介紹算法。在這樣的教學方式下，學生雖然掌握了一些數學知識，但還欠具備數學思維、應用以及創新的能力。如果遇到具體問題，依然有種無從下手的感覺，不能用學到的高等數學知識解決實際的問題［3］。

三、“金課”建設背景下探索高等數學教學新思路

在“金課”建設背景下，深入研究“高等數學”課程教學，努力提升作為高校一線教師的自身素質。通過引入數學文化、數學軟件及數學建模的思想，對學生在教學過程中的地位加以改變，讓具有被動學習狀態的學生積極主動地參與到學習和交流中，對學生思維啟發的同時，加強教師和學生、學生和學生之間的互動，以待提升教學的質量。

（一）引入數學文化、數學軟件，助攻枯燥無味的課堂教學，使學生產生學習興趣，提高對“高等數學”課程學習的積極性

課堂教學不再局限于數學知識的傳播，而通過插入人文知識（如一些數學理論知識的起源、人物傳記或數學家的成長故事），使看似冷冰冰的數學公式變得妙趣橫生。傳播這種文化底蘊可以提升學生品質，從中學習的不僅是數學書本知識，更是一種對研究的態度，將會受益終生。同時，利用數學軟件將抽象的數學概念、定理、嚴謹的證明過程以幾何直觀、數值分析等方式直觀地展示給學生，讓學生更容易理解和掌握。

（二）多模式教學，向“以學生為中心”轉變，提高教學質量和教學水平

“以學生為中心”這一新的教育教學理念，從本質上提高教學效率，盡量因材施教，整體提高我校的“高等數學”課程教學質量與水平。通過線上和線下的混合教學等模式，實現無縫隙的全方位教學，使學生的主體性得到充分發揮。

（三）注入數學建模的思想，讓學生學以致用

重視討論實際性問題，讓學生看到數學與自然、社會科學和哲學的相互促進與聯系，小到生活中的小事件，大到宇宙中的大奧秘，以及在其他學科領域呈現的多樣化，帶給學生嶄新的視角——數學就在我們身邊。“高等數學”課程教學中注入數學建模思想，不僅能拓展教學中知識面的深度和廣度，而且還能激發學生的學習興趣，推動他們去創造性地分析和解決實際問題，實現實際問題與數學模型，數學模型與解讀自然的交互模式，真正做到學以致用。

四、數列極限概念在“金課”建設新思路下的教學設計

極限是高等數學中基本且重要的概念，包含了極限思想、辯證思想。現今各類教材大多采用“ε—語言”定義，這種定義比高中數學的概念層次更復雜、符號更抽象，往往使得剛進入大學的新生感到不易理解，特別是用定義證明極限，有種無從下手的感覺，成為高等數學教學中的難點之一。數列極限作為函數極限的特殊情形，需要學生深刻理解該概念的內涵。如果還是采用傳統的教學模式，恐怕導致學生對極限概念理解模糊，難以掌握。因此，把握好極限這一概念的講解，特別是數列極限概念，對學生學習高等數學以及后續數學類課程具有重要而深遠的影響。本部分考慮到數列極限的重要性，結合“金課”背景，設計基于“金課”的數列極限概念教學。

（一）數學文化實例引入極限思想

在極限定義給出之前，事先引入極限思想。首先，提出我國古代戰國時期莊子的一句非常有名的話“一尺之錘，日取其半，萬事不竭”（截丈問題），讓學生猜測一下其中的含義。同時，手里拿著一根繩子演示，即將繩子對折再對折，提出：“這樣一直對折下去，大家會發現，它是永遠不會為0的，而對折之后的繩子形成一個數列，也就是12，122，…，12n，…。當n無限增大時，12n無限接近于0，但是不等于0，這就是萬世不竭。那么，這是極限思想的早期體現。”

其次，提出我國古代魏晉時期數學家劉徽在割圓術中的思想“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”此時，啟發學生自己理解該極限思想（以學生為中心），并展示動畫（數學軟件繪制），讓他們更深刻、直觀地體會這一思想，解釋：“想要得到圓的面積，按照割圓術的思想，將其進行分割，分割一次得正6邊形，分割兩次得正12邊形，分割n次得正6×2n-1邊形，這樣一直分割下去，正多邊形的面積形成一個數列。當n無限增大時，正多邊形的面積無限接近于該圓的面積，但不等于該圓的面積。這就是極限思想的深刻體現。”

最后，由前兩個實例在引入極限思想的同時，點明民族自豪感（毫不夸張地說，劉徽這一思想甚至可以與古希臘的同類思想相媲美，成為人類文明史中不朽的篇章。），以增強學生的文化自信，激發他們的愛國主義情懷。進而提出問題：“無限接近意味著什么？它的等價含義是xn與常數a要多接近有多接近。一般來說，兩個值之間的接近程度由它們之間的距離表示，也就是這個距離可以任意小，即xn-a任意小。對于截丈問題，12n-0任意小，這是一種描述性定義。”雖然描述性定義容易理解，但是缺乏精確性的定量定義。因此，教師在“金課”理念下潛移默化、深入淺出地指導，學生通過直觀感受對數列極限思想有了全面而初步的認識，這比教師直接給出定義使學生更容易深刻理解數列極限的概念。

（二）深層次挖掘數列極限的定義

定義［4］：設{xn}為一數列，如果存在常數a，對于任意給定的正數ε（不論多么小），總存在正整數N，當n>N時，不等式xn-a<ε都成立，則稱常數a是數列{xn}的極限，或稱數列{xn}收斂于a，記為limn→∞xn=a，或xn→a（n→∞）。若不存在這樣的常數a，則稱數列{xn}極限不存在或發散。

下面是與該概念相關的解釋：

（1）嚴密的ε-N語言定義：ε>0，N>0，當n>N時，xn-a<ε。

（2）幾何含義：當n>N時，所有的點都落在（a-ε，a+ε）區間內，只有有限個（至多只有N個）落在其外。

（3）ε是任意給定的正數，與N有關。

（4）N與前面的有限項無關，可以看作是確定的也是任意的，確定是因其可以按照人們的需求而確定；任意是因其的存在不唯一，例如對數列1n+2，ε=0.01時，N=99，100，…，在用定義證明極限時一般采用放縮的方法求解［5］。

（5）定義中包含著豐富的辯證思想，如常量和變量、過程和結果以及近似與精確等對立與統一的關系［6］。

（三）數列極限的思考

學生死記硬背概念，并不能表明從真正意義上理解該概念，需要對其進行探索、剖析。請思考以下說法說明了什么問題。

（1）ε>0，N>0，當n>N時，恒有xn-a<2ε。

（2）ε>0，都有無窮多項xn滿足不等式xn-a<ε。

（3）ε>0，都只有有限項xn滿足不等式xn-aε。

通過對上述說法的思考，可以加深理解數列極限的概念，從而真正把握此概念的本質，融會貫通地掌握知識。

參考文獻：

［1］王立冬，張春福，陳東海，等.高等數學教學中創新思維培養：問題與對策［J］.數學教育學報，2019，28（4）：8184.

［2］吳巖.建設中國“金課”［J］.中國大學教學，2018（12）：49.

［3］張利英.課程思政背景下應用型本科高校金課建設問題研究［J］.黑龍江教師發展學院學報，2022，41（5）：4547.

［4］同濟大學應用數學系.高等數學（上冊）（第6版）［M］.北京：高等教育出版社，2007：35.

［5］付夕聯，張玉峰.極限概念教學的系統分析［J］.數學教育學報，2013，22（1）：8388.

［6］王茜，袁伯園，楊永.課程思政對“金課”建設的引領助推作用［J］.教育教學論壇，2023，3：147150.

基金項目：蘭州理工大學2022年度高等教育研究項目“‘金課建設背景下高等數學課程教學改革探索”（GJ2022B2）成果；蘭州理工大學2022年度高等教育研究項目“線上線下混合式‘金課建設探索與實踐——以‘數學建模與數學實驗課程為例”（GJ2022B4）成果

作者簡介：楊娜娜（1986—?），女，漢族，甘肅人，博士研究生，副教授，研究方向：控制理論方向；孟新友（1980—?），男，漢族，江蘇新沂人，博士研究生，教授，研究方向：應用數學；馬成業（1972—?），男，回族，碩士研究生，副教授，研究方向：計算數學。