基于建模過程的小學數學課堂教學分析
——以植樹問題為例

張玲玲

(上海師范大學教育學院,上海,200030)

一、問題提出

模型思想是四大數學思想之一,也是數學學科核心素養之一。《義務教育數學課程標準(2022年版)》明確指出,在小學階段,模型意識是學生核心素養的表現之一,學生需在小學階段知道數學模型能夠解決的問題,能有意識地用數學的概念和方法解釋生活中的諸多問題。[1]建模教學要求教師在教學過程中應適當滲透模型思想,其教學思路是將數學模型原型作為教學資源,啟發、引導學生建立數學模型思想解決問題。[2-3]然而我國建模教學尚處于起步階段。盡管高中數學建模教學已有二十多年的經驗,積累了大量的、豐富的資源,但小學數學建模教學并未全面開展,缺乏相關經驗,更缺少可操作性較強的小學數學建模教學資源。[4]課堂作為培養學生模型意識、拓展學生能力的主陣地,可操作性較強、創新性較高的建模教學課堂的特點值得廣大教育者的學習。本文旨在分析一些特級教師的數學建模課堂,梳理特級教師在課堂中滲透模型思想的教學過程,以期總結相關經驗,提高建模教學在小學課堂中的可操作性。

二、概念明晰

(一)數學模型及分類

數學模型是針對或參照某種事物系統的特征或數量相依關系,采用形式化的數學符號和語言概括地表達的一種數學結構。[5]從廣義上說,數學模型是利用數學思想語言模擬現實問題的模型,通過對問題原型的抽象、假設、概括,運用適當的數學工具得到的數學結構是完全形式化和符號化的模型。從狹義來講,只有反應特定問題或特定的具體事物系統和數學關系的結構可稱為數學模型[6],如平均分物品的數學模型—分數、植樹問題、雞兔同籠等數學模型,以及“總價=單價×數量”的數量關系模型等。

在小學數學教材中,劉明祥認為有四種重要的數學模型:公式模型、方程模型、集合模型和函數模型。[5]史寧中將小學階段的數學模型分為總量模型、路程模型、植樹模型和工程模型。[7]按照這種分類,植樹問題這一課時涉及了植樹模型和公式模型。植樹模型的問題主要有兩種:一種是詢問種樹的棵數,另一種是給出樹的棵數,讓學生思考用什么樣的方式種樹才能符合要求。設定的條件一般是在一條直線上種樹,兩端都栽、只栽一端或者兩端都不栽。公式模型則是總結間隔數、棵數之間的關系。

(二)數學建模過程

作為連接數學世界和現實世界的橋梁,教學建模過程有四個典型階段:數學化、數學解決、解釋和驗證過程,即現實問題數學化后成為數學模型、對數學模型進行解答、用模型的解釋回答現實問題、再用答案驗證現實問題。[8]布魯姆修訂后提出了七階段建模流程框架,如圖1所示。[9]該框架中,數學建模過程包含六個狀態和七個環節,包括構建,簡化問題、構造模型,數學化,數學運算,解釋,驗證,表達。

圖1 七階段建模流程框架

我國一線教師更多地從教學角度提出自己的觀點。其中,持四階段觀點的教師認為數學建模一般要經歷“模型準備—模型假設—模型建構—模型應用”。[2]也有教師從實踐與理論關系出發,將建立數學模型的過程描述為“表述歸納現實信息—建立數學模型—求解演繹模型—解答現實問題”,蘊含著“實踐—理論—實踐”這一循環。[10-11]此外,也有教師從圖形的角度將滲透建模意識的教學流程總結為:建立直觀數學模型;操作圖形,形成抽象數學模型;應用數學模型;總結完善發展模型體系。[12]持五階段觀點的教師,將數學建模的教學過程分為“實際情境—提出問題—建立模型—求解模型—檢驗結果”。[13]許衛兵用“磨”“模”“魔”三個字總結建模教學的一般程序,即教師先行琢磨,學生在體會和感悟建模中為之著魔。[14]王亞輝對數學建模的研究較為深入,提出數學建模共有五個階段,即模型準備、假設、解答、分析和檢驗。[15]姜啟源等人對其做了補充,提出對模型進行檢驗后,還有一個環節不可忽視,就是學生要學會運用。[16]盡管不同學者對數學建模過程的觀點不同,但基本上都強調模型與現實生活的聯系和應用。因此,本研究將數學建模教學過程概括為以下四個環節:根據情境,找到問題;提出假設,建立模型;求解模型,檢驗模型;回歸生活,應用模型。

基于以上分析,本研究選取來自南京的兩位數學特級教師俞正強2019年和張齊華2021年(以下簡稱教師Y與教師Z)執教的“植樹問題”同課異構進行分析,以數學建模教學的四個主要環節作為評價依據對兩節課進行比較分析,以期為培養小學生模型意識提供啟示。

三、研究內容與方法

(一)研究內容

植樹問題這一教學內容選自人教版五年級上冊第七單元數學廣角“植樹問題”這一課時,在蘇教版教材中這一知識點出現在三年級上冊第五單元“間隔排列”這一課時。植樹問題之所以出現在人教版教材中“數學廣角”這一特色板塊,是因為這一部分內容相對獨立且強調數學思考。[17]從數學廣角不同內容包含的數學思想方法來看,植樹問題首次涉及了模型思想,具有承上啟下的作用。因此,這節課在培養學生模型意識方面具有一定的代表性。

(二)研究方法

研究主要采取間接觀察法、案例分析法。

間接觀察法主要用于對兩節課內容的分析。通過觀看課堂教學視頻獲得一手資料,進而分析兩位教師在培養學生模型意識方式上的異同。

案例分析法主要用于對兩節課進行比較分析,即通過建模教學的四個環節“根據情境找到問題—提出假設建立模型—求解檢驗模型—回歸生活應用模型”對兩節課進行分析與比較。

四、研究結果與分析

(一)根據情境,找到問題

從生活情境中提出問題是形成數學建模的開端。在教學環節中,問題情境的引入是激發學生學習興趣的重要一環。對于同一個情境,不同的學生由于自身學習經驗的多樣化,可能會提出不同的問題。這些問題正是激發學生模型意識的首要環節。[18]植樹問題的問題是按照一定要求,解決一段路上要求植樹的棵數。表1呈現了兩位教師在此環節中在課堂中的教學表現。

表1 兩位教師情境創設的課堂教學表現

由于植樹問題在給定的問題情境中呈現了明確的數量問題,不涉及學生二次簡化問題情境從而得到問題的學習思路,因而兩位教師都選擇直接將問題呈現給學生,但又有所不同。教師Y使用簡潔的話語呈現兩道問題,將第一道題目作為喚起學生以往知識的橋梁,先復習除法的意義,通過平均分的模型,引出了植樹問題的教學。教師Z則是將學習單作為學生課前預習的材料,不僅讓學生嘗試解決問題,還要求學生在預習后提出自己的疑問。

(二)提出假設,建立模型

數學建模過程中的“假設”,《數學建模教學與評估指南》闡述為在現實世界的問題中選擇一些看上去比較重要的“對象”,識別它們之間的關系,并決定保留還是忽視那些對象或者它們之間的關系,結果得到的一個初始問題的理想化版本。[4]這一環節學生將聯系以往的知識經驗,不斷探索求解方法,最后將方法總結為一個數學化的公式,這個數學化的公式就是模型。表2是兩位教師關于作出假設、建立模型的教學案例。

表2 兩位教師的假設引導

由表2可知,兩位教師在這一環節的教學思路都是先引導學生發散思維,使學生主動思考解決問題的方法,讓學生闡述自己的見解,進一步加深對問題的理解。之后,教師進行總結,將具體的方法抽象為數學公式,即數學模型。但兩位教師總結的模型有所不同:教師Y先引導學生復習平均分模型,再通過對比兩道題的異同,引出點與段的不同,總結出點段關系模型;教師Z則通過線段與樹之間的對應關系,總結三種情形下間隔數與棵數的關系,最后形成數學模型。

(三)求解模型,檢驗模型

完成數學建模后,需要將其在現實生活中檢驗,檢驗數學模型與現實問題的契合程度,用實際現象、數據檢驗模型的合理性。只有結果符合實際時,模型才是可以使用的。[18]在植樹問題這一課中,兩位教師在課前畫出的線段圖是檢驗模型正確性的重要提示,不僅有助于幫助學生建立數形結合的意識,也能更直觀地展示模型建立的關鍵信息。表3是兩位教師展示的不同線段示意圖。

表3 兩位教師的線段示意圖

(四)回歸生活,應用模型

建立模型的最終的目的是回歸生活并應用于生活,形式越是抽象的數學模型在應用上就更加廣泛。模型的應用能幫助學生體會數學與日常生活的聯系,領會數學應用價值的重要途徑。這樣的過程有利于學生更加主動地了解和關心生活,捕捉數學與日常生活及其他相關學科間的緊密聯系,能夠在一定程度上避免對數學產生枯燥乏味、機械刻板的不良印象,真正體驗到數學學習的樂趣,感受數學的廣泛應用價值。[19]表4是兩位教師引導學生應用模型的案例。

表4 兩位教師引導學生回歸生活的對比

在應用模型方面,兩位教師都引導學生思考生活中的植樹問題。這其實是在引導學生思考運用植樹模型的不同問題情境。由于學生學習形式的不同,教師Y采取的方式是“引導學生變換問題情境—模擬植樹問題—應用模型的改變”,教師Z采取的方式是“解決小組合作學習后產生的問題—引出植樹問題的應用—解決具體的封閉圓形中種樹的問題—引導學生思考生活中與植樹問題類似的問題情境—向學生介紹了模型思想的概念”。

五、經驗總結

第一,在“尋找情境,給定問題”這一環節,植樹問題并不涉及建構情境模型。因為根據教師給定的問題建立的模型是固定的,不存在由于考慮不同的因素而建立不同模型的情況。因此,在實際教學時,教師應給出真實問題的同時盡量為學生創設一個更加具有挑戰性的情境,進而激發學生思考更多的問題解決策略。

第二,在“提出假設,建立模型”環節,兩位教師均在學生對自己的假設做出合理解釋后進行引導總結進而得到模型。但兩位教師由于課堂組織形式的不同,建立模型的過程不同。教師Y通過對比新舊知識間的聯系建立點段模型,教師Z通過學生小組討論得到的問題讓學生展開討論,得到“孤獨”的數和“孤獨”的間隔,建立間隔數與棵數之間的關系從而得到模型。這是教師指導下教學與學生合作下學習的不同效果。在實際應用時,應注意教師指導和學生獨立完成之間要保持一定的平衡性。[9]

第三,在“求解模型,檢驗模型”“回歸生活,應用模型”環節中,兩位教師教學的思路大致相同,都是通過引導學生思考與模型相關的其他問題情境,促進學生的知識遷移。在實際教學中,教師應注意在學生學習完課本內容后,引導其將數學領域的知識與現實情境進行轉化,使學生意識到兩者之間的關系。

六、研究展望

本研究主要采取間接觀察法、案例分析法分析了兩位特級教師的教學課堂,梳理了數學建模的課堂實踐,總結了相關經驗,具有一定的現實意義。然而,研究存在不足之處。首先,缺乏定量數據的支撐,缺乏對教師的訪談和對學生學習效果的分析。其次,研究選取的是兩位教師的公開課,這種教學形式可能會對分析結果產生一定的影響。最后,培養學生的模型意識不是一蹴而就的,從識別問題到建立模型、應用模型,這中間仍有很大的空間留給教師發掘和探究。例如建模教學中生活性、相似性及挑戰性等多重教學情境之間的轉化。[20]這些問題值得研究者進行更深入的思考或研究。