立足單元視角 強化代數推理
——“二次函數的圖象與性質”教學設計與思考*

鐘珍玖 (江蘇省江陰市第一初級中學 214400)

1 基本情況

1.1 學情分析

·知識技能分析

學生已經學習了二次函數的定義、形如y=ax2的函數圖象及其性質、通過平移得出y=ax2+k的圖象與性質.九年級學生具備較強的計算能力和邏輯推理能力．

·數學思想方法分析

九年級學生已經初步掌握數學思想方法,但是還沒有達到運用自如的程度．對于函數問題中的數形結合思想雖有了比較深刻的理解,但還需要進一步深化認識、強化應用．

·學習方法、習慣分析

經過初中階段的學習,學生已有類比學習的能力和一定的自學能力,對數學的學科特點有一些模糊的理解,但是自我探究的意識和能力還不強,需要在教學中進一步強化．

1.2 教材分析

本節課是在八年級學習了一次函數、反比例函數的圖象與性質的基礎上繼續研究二次函數的圖象和性質．在內容安排上,5.1節是二次函數的定義,5.2節是二次函數的圖象與性質,共4個學時:第1學時畫y=x2和y=-x2的圖象,引入拋物線、頂點、對稱軸等概念,第2學時歸納二次函數y=ax2的性質;第3學時通過圖形運動(平移)歸納y=ax2+k和y=a(x-h)2兩類函數的性質,第4學時探究y=a(x-h)2+k和y=ax2+bx+c的圖象與性質．

從教學實踐來看,第1學時內容比較簡單,學生已經有了畫一次函數和反比例函數圖象的經歷,學習內容略顯單薄;而第3學時圖象的平移內容較多,難度增大,特別是圖象的左右平移是學習的難點,學生較難掌握．鑒于此,實際教學中將 第3課時的內容進行分解,二次函數上下平移和左右平移各安排一個學時.這樣的安排更符合學情,突出了教材的難點,便于進行單元整體教學．

·教學目標

(1)會用代數推理的方法探索二次函數y=a(x-h)2的性質;(2)會從平移的視角理解y=a(x-h)2的圖象與y=ax2圖象的位置關系,并能根據圖象概括函數性質;(3)經歷由特殊到一般的研究方法,體驗數形結合的數學思想;(4)體驗圖象運動變化中“變”與“不變”的辯證關系及數學表達的內在一致性,體驗數學之美．

·教學重點

探索y=a(x-h)2的圖象位置及其性質．

·教學難點

從多個視角理解y=a(x-h)2的圖象與y=ax2的圖象的位置關系．

2 教學設計

問題1我們是如何研究二次函數y=ax2+k的圖象及其性質的?

設計意圖函數有三種表示方法,即列表法、圖象法、函數表達式法．這三種表達方式也是研究函數性質的三種方法,教材對函數y=ax2+k性質的研究采用列表法和圖象法,實際教學中也可以通過函數表達式進行研究,為圖象左右平移的代數推理方法提供可類比的“源”．問題的設置旨在引導學生從整體的視角,用一以貫之的方法來探究新的問題．

問題2二次函數y=ax2的圖象與y=ax2+k的圖象有怎么樣的位置關系,你是如何發現的?

設計意圖通過平移法或代數推理得出y=ax2與y=ax2+k的圖象之間的位置關系,體現數學問題研究方法的一致性,為學生探索、發現、猜想二次函數y=a(x-h)2的性質提供方法上的類比源,自主建構知識之間的聯系,形成整體化的知識體系和觀念架構．

問題3不畫圖象你能研究二次函數y=(x+3)2的性質嗎?

設計意圖引導學生用代數推理的方法找到二次函數的最小值、頂點坐標、對稱軸等性質,為探究函數y=(x+3)2與y=x2的圖象間的位置關系打下基礎,并且能夠初步了解二次函數y=(x+3)2的性質．

問題4二次函數y=(x+3)2的圖象與y=x2的圖象有怎樣的位置關系?你是如何探究的?

設計意圖讓學生體會從特殊到一般的研究規律,如對這兩個函數設y=4,求出對應自變量的值,寫出拋物線y=x2與直線y=4的交點坐標A(2,4),B(-2,4),拋物線y=(x+3)2與直線y=4的交點坐標A′(-1,4)和B′(-5,4),直觀感受圖象上對應點的位置關系．這是本節課的難點,要讓學生領會圖象左右平移的數學本質就是當函數值確定時,對應自變量的值的變化規律.用代數推理的方法研究函數的性質,并深刻領悟數形結合的思想．

問題5在同一平面直角坐標系中畫二次函數y=(x+3)2和y=x2的圖象,并說出函數y=(x+3)2的性質．

設計意圖通過畫函數的圖象,更加直觀地感受二次函數y=(x+3)2和y=x2的圖象位置的變化規律,從而深刻理解二次函數圖象左右平移的規律,分散本節課的難點;進一步理解數形結合的思想,體會用三種方法表示函數和研究函數性質的統一性和內在一致性．

問題6歸納二次函數y=a(x-h)2(a>0)的性質．

設計意圖遵循從具體到抽象、從特殊到一般的認識規律,將二次函數的表達式一般化,讓學生歸納出函數的性質,為學習y=a(x-h)2+k的圖象和性質打下堅實的基礎．

3 教學設計思考

3.1 教學設計理念

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)指出:課程目標以學生發展為本,以核心素養為導向,進一步強調學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗(簡稱“四基”),發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”),形成正確的情感、態度和價值觀．[1]2

隨著《課標2022》的頒布和實施,素養導向的課程育人目標將成為教學的主旋律,所以教學設計和實施要立意高遠,要把培養學生的核心素養作為教學的根本任務．本節課不僅讓學生通過描點法畫出二次函數y=a(x-h)2的圖象,由圖象說出函數的性質,而且要求學生通過已知自變量的值計算函數值、已知函數值求自變量的值,培養計算的速度和準確性．還要用代數推理的方法探索函數y=(x+3)2和y=x2的圖象的位置關系,培養代數推理意識和能力．這些數學核心素養的習得,都要落實到課堂教學的每一個問題、每一個教學環節．

另外,本節課從三個不同的視角探索、發現、歸納二次函數y=a(x-h)2的性質,體現數形結合的數學思想方法及圖象直觀意識的形成和應用．

3.2 教學目標的確定

在教學設計的相關因素中,教學目標的確定是非常重要的環節,決定了教學內容和教學方法的選擇,也決定了教學實施中教學過程的走向．素養視域下教學目標的確定一定是指向人的發展,指向學生數學核心素養的形成和發展,實現數學學科的育人價值和育人功能．

一節課的教學目標的確定依賴于學情和教學內容.本節課以前學生已經學習過一次函數的平移和y=ax2與y=ax2+k的圖象之間的平移規律,學生可以類比學習,教師可從單元整體視角設計和實施教學．問題1和問題2的提出就遵循這樣的原則,讓學生在類比的基礎上自主建構知識體系,自主探索y=a(x-h)2的性質．而本節課的教學內容是圖象的左右平移,學生較難自己想到探究方法.為了突破難點,設置問題3～5,讓學生從不同視角研究二次函數性質,把數學思想方法融入到教學內容中,實現素養導向的課堂教學目標．

3.3 教學內容的整合

根據教學目標和教學內容的特點,對教學內容進行整合,把三類函數圖象及性質分3個課時,都通過圖象的運動(平移)來研究,體現了單元整體的研究視角.這樣的整體性包括知識呈現的網絡化、思維集成化、方法統一化,從單元教學的整體目標出發,統攬全局,將教學活動的每一步、每一個環節都放到教學活動的大系統中考量,而不是片面地突出或者強調某一點[2]．

本節課教材并沒有要求學生畫y=(x+3)2和y=x2的函數圖象,筆者設計問題5的目的同樣體現了整體的思想.一次函數、反比例函數、二次函數都通過圖象來直觀闡述函數的性質,而且通過列表(表1)可以深化學生對圖象左右平移的理解,分散本節課的教學難點．

表1

通過對教學內容的整合,實現了本節課的教學目標,讓學生體驗數形結合的數學思想,感悟圖象運動變化中“變”與“不變”的辯證關系及數學表達的內在一致性,體驗數學之美,實現學科育人．

3.4 教學設計的再思考

(1)教學設計應有對教材“設計”的意識

對教材的理解和分析是教學設計中非常重要的環節,對教材內容的靈活處理是教師必備的基本功.分析教材可以幫助教者從整體上把握教學的內容,厘清知識的來龍去脈,這些知識之間是如何聯系的?教材先教什么?后教什么?知識和方法應該教到怎樣的深度和廣度?這些問題就要求教師要深刻理解教材和教材體系,才能在教學設計時做到有的放矢．教師的教學設計首先是要對教材內容進行增加或刪減,可以根據教學的需要調整例題和習題;其次是對教材內容的整合,可以是一節課內容順序的調整,甚至是一章或者整個學段內容的整合;最后,對教材的設計可以是跨學科內容的整合．

(2)代數推理應適度,不必矯枉過正

《課標2022》在7～9年級的內容要求中指出,了解代數推理[1]56,在課程內容組織上強調代數推理和幾何直觀[1]93;《課標2022》也只有這兩個地方提到了代數推理．長期以來,廣大一線教師對在平面幾何教學中培養學生的邏輯推理能力非常重視,以至于逐步形成了平面幾何就是邏輯推理的代名詞、忽視或者淡化代數教學中培養學生推理能力的現象．在初中代數教學中適當加強代數推理教學是必要的,但也不必矯枉過正.有的地區就堂而皇之地把高中內容下放到中考試卷中,如帶參數的二次函數的根的分布問題,這種下放值得商榷.筆者認為,教學中適度強化代數推理教學,讓學生能更好地適應高中的數學學習,是應該且必要的．如本節課,若將問題一般化,當y=y0時,求出y=a(x-h)2和y=ax2對應自變量的值,然后得出平移的規律,這樣處理需要解含有字母系數的一元二次方程.這是明確超綱的內容,但代數推理在義務教育階段確實需要強化,只不過應該把握適當的度．

(3)教學設計要挖掘學科特點,實現學科育人

要實現學科育人,在課堂教學中落實學生的核心素養,就必須要深刻理解和認識學科特點與學科內容的特點,在教學中設計出符合學生認知規律、提高核心素養的問題．數學中的具體與抽象、類比與猜想、特殊性與一般性、多樣性與統一性在這節課中就有很好的體現:二次函數y=a(x-h)2的圖象與性質的得出就遵循了從具體到抽象、從特殊到一般的探究規律和認識規律;把函數的三種表示方法的內在統一性有機融入課堂教學的各個問題中,體現了數學表達的多樣性,借助多種語言表達的相互轉化,促進對數學思想方法和數學本質的深刻理解．