例析特殊平行四邊形中線段最值問(wèn)題

高藝萌 (安徽省蕪湖市萬(wàn)春中學(xué)906班 241060)

指導(dǎo)教師 武咸保 (安徽省蕪湖市萬(wàn)春中學(xué) 241060)

特殊平行四邊形中線段最值問(wèn)題是幾何學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn),也是常考內(nèi)容．

1 根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”求最值

圖1

分析 先找出動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡,再找出PA+PB的值最小時(shí)點(diǎn)P的位置即可解決問(wèn)題．

圖2

總結(jié)解決有關(guān)PA+PB的最小值問(wèn)題時(shí),常借助對(duì)稱將線段之和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”的問(wèn)題來(lái)求解,其中確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是關(guān)鍵點(diǎn)．

圖3

分析EF為定值,故求△AEF周長(zhǎng)的最小值只需求出AE+AF的最小值即可．但E,F都是動(dòng)點(diǎn),我們可以利用平移思想將動(dòng)點(diǎn)E,F平移到一起研究．

總結(jié)兩動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)問(wèn)題一般利用平移思想將兩動(dòng)點(diǎn)平移到一起,構(gòu)造出一個(gè)平行四邊形,轉(zhuǎn)化為PA+PB的最小值問(wèn)題．

2 根據(jù)“垂線段最短”求最值

例3如圖5,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=9,AC=12,D是斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,G為四邊形DEAF對(duì)角線的交點(diǎn),則線段GF的最小值為．

圖5

圖6

總結(jié)本題要求最值的線段GF的兩個(gè)端點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn),無(wú)法確定最小值位置,但GF是矩形對(duì)角線的一半,利用矩形對(duì)角線相等的性質(zhì)將求GF的最小值轉(zhuǎn)化為求AD的最小值．而線段AD的端點(diǎn)A是定點(diǎn),D是BC上一動(dòng)點(diǎn),故依據(jù)“垂線段最短”可知當(dāng)AD⊥BC時(shí)AD最短.最后利用勾股定理和面積法求出此時(shí)AD的長(zhǎng)度,從而解決問(wèn)題．

3 根據(jù)“三角形三邊關(guān)系”求最值

圖7

分析 利用軸對(duì)稱作出點(diǎn)N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N′,連接PN′(圖8),則PM-PN=PM-PN′．再連接MN′構(gòu)造出一個(gè)三角形,利用“三角形三邊關(guān)系”求解．

解作點(diǎn)N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N′,連接PN′,MN′．在△PMN′中,由“三角形三邊關(guān)系”得PM-PN′

總結(jié)利用“三角形三邊關(guān)系”解決兩點(diǎn)之間距離的最值問(wèn)題時(shí),一般利用軸對(duì)稱先構(gòu)造一個(gè)三角形,利用“兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的軌跡,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值或最小值．

例5如圖9,在正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)E,F分別從點(diǎn)D,C同時(shí)出發(fā),以相同速度沿邊DC,CB移動(dòng),連接AE和DF交于點(diǎn)P,連接CP,由于點(diǎn)E,F的移動(dòng),使得點(diǎn)P也隨之移動(dòng)．若AD=2,則線段CP的最小值是( )．

圖9

分析 關(guān)鍵是確定點(diǎn)P的軌跡,由已知條件可知點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠APD=90°不變,所以點(diǎn)P在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),構(gòu)造△CPG(圖10),利用三角形三邊的關(guān)系解決問(wèn)題．

圖10

總結(jié)若動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓(或弧),且圓外一定點(diǎn)與圓上一動(dòng)點(diǎn)位于圓心同側(cè),則當(dāng)圓心、圓上動(dòng)點(diǎn)和圓外定點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí),該動(dòng)點(diǎn)到圓外定點(diǎn)的距離最短．

4 結(jié)束語(yǔ)

解決特殊平行四邊形中線段最值問(wèn)題,不僅涉及動(dòng)點(diǎn)軌跡的尋找,還需要結(jié)合圖形性質(zhì)去解決問(wèn)題．特殊平行四邊形本身的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)就多,因此在求解與之相關(guān)的線段最值問(wèn)題時(shí),首先要理清題中涉及的特殊圖形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),再結(jié)合已知條件確定最值位置,此外,在最值線段的求解中一般還會(huì)用到勾股定理．

指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)本文詳細(xì)闡述了特殊平行四邊形中線段最值問(wèn)題的求解方法和技巧．從線段最值的特征出發(fā),對(duì)最值類(lèi)型進(jìn)行歸類(lèi)．通過(guò)對(duì)具體例題的分析展示了如何分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,將未知轉(zhuǎn)化為已知．通過(guò)模型的歸納為特殊平行四邊形中線段最值問(wèn)題的解決提供了方向,破解了難點(diǎn),讓學(xué)習(xí)變得不再困難．