出入相補分面積

“出入相補”四個字最早出現在三國時期魏國數學家劉徽的《九章算術注》一書中。劉徽在書中提及：半廣者，以盈補虛為直田也，亦可半正從以乘廣，按半廣乘從，以取中平之數，故廣從相乘為積步。

這里的“廣”指的是三角形的底邊，“正從”指的是高?！鞍霃V者，以盈補虛為直田也”指的是過三角形兩邊中點做底邊垂線，可將三角形割補成矩形（即直田），如圖1所示?！耙嗫砂胝龔囊猿藦V”則是另一種辦法：取高的一半，同樣可以割補成矩形，如圖2所示?！鞍窗霃V乘從，以取中平之數，故廣從相乘為積步”，就是說根據這個圖形可得三角形的面積為底乘高的一半！劉徽就這樣推導出了三角形的面積公式，而這種方法就是“出入相補”之術，即割補法。這個方法的精彩之處在于把三角形的問題轉化成四邊形來解決。

清代數學家李銳借助三個正方形，用“出入相補”的方法證明了勾股定理。如圖3所示，將△AFD移到△JGH處，將△FBM移到△DEN處，將△HIN移到△GJM處。這樣，兩個小正方形的面積之和就等于大正方形的面積，由此可證明勾股定理。

“出入相補”在平面幾何中有著廣泛的應用。我國數學家吳文俊院士通過研究，揭示了中國古代數學家在“出入相補”原理的引導下，將幾何問題轉化為代數方程求解的規律，從而發現了中國傳統數學中“幾何代數化”這一更為本質的特征，與希臘演繹幾何形成鮮明的對照。

（作者單位：江蘇省南京市鐘英中學）