深入思考 化難為易

最近，我遇到了一道習題，經過深入思考，應用所學的知識順利解決。現將思考過程與同學們一起分享。

問題 如圖1，菱形ABCD的邊長為4，BD=4[3]，點E、F分別是邊BC、CD上的動點（包含端點），且BE+DF=4，則線段EF長的取值范圍為" " " " " " " 。

乍一看，我懵了！要求線段EF長的取值范圍，可真是難呀！我該怎么入手呢？線段的兩個端點E、F分別是邊BC、CD上的動點，我想，如果是只包含一個動點的線段，那么可以利用“直線外一點到直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”。看樣子，我需要轉化點E、F中的一個點。怎么轉化呢？

我分析條件后發現，菱形ABCD的邊長為4，BE+DF=4且BE+EC=4，可得EC=DF。組成幾何圖形的元素有邊和角，那么圖形中還存在角的關系嗎？根據對角線BD=4[3]，我想到試試連接對角線AC。如圖2，根據菱形的性質，可以得到BO=[12]BD=2[3]，且AC⊥BD，再應用勾股定理，求得AO的長為2，則AC=4。這樣可以得到△ABC是等邊三角形，那么隱含在圖形中的角的條件就顯現出來了，即∠ACB=∠ADF=60°。因此，我們能得到△AEC≌△AFD，進而可得AE=AF、∠EAC=∠FAD和∠EAF=60°，即△AEF也是等邊三角形，所以EF=AF。此時，我們只需將動點F轉化為定點A，則待求的線段EF長的取值范圍就轉化為求線段AE長的取值范圍。因此，當AE⊥BC時（如圖3），線段EF的長最短；當點E與點B或點C重合時，線段EF的長最長。

具體解答過程如下：

如圖2，連接AC，交BD于點O，

∵四邊形ABCD是菱形，AB=4，

∴BO=[12]BD=2[3]，AO=[12]AC，且

AC⊥BD。

在Rt△ABO中，∠AOB=90°，

∴AO=[AB2-BO2]=[16-12]=2。

∴AC=2AO=4，AB=BC=AC=AD。

∴△ABC是等邊三角形。

同理，△ADC為等邊三角形。

∴∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°。

又∵BE+DF=4，BE+CE=4，

∴EC=DF。

在△AEC與△AFD中，

[EC=FD，∠ACE=∠ADFAC=AD。]，

∴△AEC≌△AFD（SAS）。

∴∠EAC=∠FAD，AE=AF。

∴∠EAF=∠EAC+∠FAC

=∠FAD+∠FAC=∠CAD=60°。

∴△AEF是等邊三角形。

∴EF=AE。

∴當AE⊥BC時（如圖3），線段EF的長最短，即BE=[12]BC=2。

∴AE=[AB2-BE2]=[16-4]=2[3]。

當點E與點B或點C重合時，線段EF的長最長，為4。

因此，線段EF長的取值范圍為2[3]≤EF≤4。

學習過程中，我們難免會遇到一些一時無法解決的問題。這時，我們需要進行深入思考，力求明白其中的道理，從而掌握其中的數學思想和方法。

教師點評

戴同學平時喜歡對自己有疑問的地方“打破砂鍋問到底”，在問題解決的過程中有一股專勁，能夠借助基本性質和方法，靈活地將問題逐步轉化，并大膽嘗試、猜想，探其緣由，從中感悟探究問題的策略、方法，領悟思想，促進數學素養的提升，這種精神值得同學們學習、借鑒。

（指導教師：凌海峰）