多角度思考 多方法解題

蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第73頁有這樣一道題：

如圖1，在[?]ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，G、H分別是OB、OD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交BC、AD于點(diǎn)E、F。求證：四邊形GEHF是平行四邊形。

要證明一個(gè)四邊形是平行四邊形，我們可以從平行四邊形的判定方法入手。我們已經(jīng)知道平行四邊形的判定方法有：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。因此，我們可以從不同的角度進(jìn)行思考，尋求解決本題的方法。

證法一：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO，BO=DO，AD∥BC。

∴∠DAO=∠BCO。

又∵∠AOF=∠COE，

∴△AOF≌△COE（ASA）。

∴OE=OF。

∵G、H分別是OB、OD的中點(diǎn)，

∴OG=[12]OB，OH=[12]OD。

∴OG=OH。

∴四邊形GEHF是平行四邊形。

對(duì)于證法一，我根據(jù)四邊形GEHF的對(duì)角線GH與四邊形ABCD的對(duì)角線BD共線這一特征，選擇從對(duì)角線的角度思考解題方法。

證法二：同證法一，可得AD=CB，AD∥BC，BO=DO，△AOF≌△COE。

∴AF=CE。

∴AD-AF=BC-CE，即DF=BE。

∵ G、H分別是OB、OD的中點(diǎn)，

∴ OG=[12]OB，OH=[12]OD。

∴OG=OH。

∴OD+OG=BO+OH，即DG=BH。

∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO。

∴△DGF≌△BHE（SAS）。

∴GF=HE。

同理，可得△DHF≌△BGE，

∴HF=GE。

∴四邊形GEHF是平行四邊形。

對(duì)于證法二，我找出隱藏在圖形中的全等三角形，證得四邊形兩組對(duì)邊分別相等，從而解決問題。

證法三：同證法二，可得△DGF≌△BHE，

∴GF=HE，∠DGF=∠BHE。

∴GF∥HE。

∴四邊形GEHF是平行四邊形。

對(duì)于證法三，我在證法二的基礎(chǔ)上，根據(jù)圖形中的全等三角形，證得四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，從而解決問題。

對(duì)于此題，雖然從不同的角度出發(fā)，可以選擇不同的解題方法，但是比較上面的3種證明方法，我覺得證法一更為簡(jiǎn)捷。

教師點(diǎn)評(píng)

謝同學(xué)能夠依據(jù)所學(xué)知識(shí)，從多個(gè)角度思考問題，積極尋求不同的解題策略，拓寬解題思路，不斷發(fā)展自己的思維能力。這種勇于思考、不斷探索的精神值得大家學(xué)習(xí)。

（指導(dǎo)教師：謝射紅）