數(shù)形結(jié)合的“魅力”

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生有一首膾炙人口的詩：“數(shù)無形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”這表明了“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位。接下來，讓我們一起通過對一次函數(shù)與一元一次不等式的探究，來感受“數(shù)形結(jié)合”的魅力吧。

例題 如圖1，關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是______。

看到這道題，肯定有同學(xué)這樣想：用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式中的k、b，不難得到k=-1.5、b=3 ，再解不等式-1.5x+3＞0，得x＜2。

你還有其他思路嗎？我們可將“kx+b＞0”轉(zhuǎn)化為“y＞0”，則可看成直線y=kx+b上縱坐標為正的這部分圖像，直線x=2左側(cè)的函數(shù)圖像都在x軸上方（如圖2），即x＜2時，y＞0。這里，我們將“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題來解決，更加形象、直觀、便捷。

變式1 如圖3，關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是______。

從例題到變式1，條件變少，如果我們僅從數(shù)的角度考慮，則無法求出函數(shù)表達式。但從“形”的角度可知不等式的解集仍為x＜2，此時必須借助圖形求解。

變式2 如圖3，關(guān)于x的不等式kx-b≤0的解集是_______。

我發(fā)現(xiàn)，將圖3中函數(shù)y=kx+b的圖像向下平移2b個單位長度，可得函數(shù)y=kx-b的圖像。如圖4，由AAS或ASA可證△AOD≌△BOC，則A（-2，0）。觀察圖像，可得x≥-2。這里我們一定要注意，千萬不要忘記等號哦，數(shù)學(xué)可來不得半點馬虎！

變式3 如圖3，關(guān)于x的不等式kx+b≤2k的解集是_______。

觀察式子結(jié)構(gòu)，我發(fā)現(xiàn)，可將2k移到不等號左邊，得k（x-2）+b≤0。即將函數(shù)y=kx+b的圖像向右平移2個單位長度，得函數(shù)y=k（x-2）+b的圖像，則原圖像與x軸的交點（2，0）隨之平移得（4，0），畫出圖像，觀察可得x≥4。

一條看似簡單的直線，因“數(shù)”與“形”的結(jié)合，連接了不等式與函數(shù)圖像，在動與靜的轉(zhuǎn)化中，不斷突破思維局限。我思我快樂！

教師點評：

一元一次不等式側(cè)重“數(shù)”，而一次函數(shù)具有直觀的“形”，“數(shù)”的性質(zhì)和“形” 的特征緊密相連，兩者結(jié)合碰撞出新的火花。兩名同學(xué)善于觀察和思考，有很強的探究能力，在解決問題的過程中不斷提出新的問題，思維的廣度和深度都得到一定程度的提高，也體現(xiàn)了思維的靈活度。

（指導(dǎo)教師：封霞霖）