在數(shù)量、位置的變化中領(lǐng)悟平面直角坐標(biāo)系

領(lǐng) "銜 "人：王金坤

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校

函數(shù)是初中“數(shù)與代數(shù)”的核心內(nèi)容之一，“平面直角坐標(biāo)系”是我們學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)和工具。在本章，我們將學(xué)習(xí)如何用變化的數(shù)據(jù)描述變化的位置，體會(huì)有序數(shù)對(duì)可以確定物體的位置，認(rèn)識(shí)到表示平面內(nèi)點(diǎn)的位置需要兩條數(shù)軸形成一個(gè)坐標(biāo)系。在一個(gè)個(gè)“數(shù)對(duì)”和一個(gè)個(gè)“點(diǎn)”的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，我們將不斷感受“數(shù)形結(jié)合”思想，發(fā)展空間觀念。

一、用數(shù)量變化確定位置變化

我們知道，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣就建立了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。那么，我們能不能用一個(gè)實(shí)數(shù)表示平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)呢？比如，看電影，按照電影票上顯示的第4排5號(hào)，我們就能準(zhǔn)確地找到自己的座位。如果只告訴你座位是第4排或者5號(hào)，這樣的位置就不確定了，也就是說(shuō)，一個(gè)實(shí)數(shù)不能描述電影院里某個(gè)座位的位置。如果把第4排5號(hào)記為（4，5），其中前一個(gè)數(shù)表示排數(shù)，后一個(gè)數(shù)表示座位號(hào)，這樣我們就可以用（4，5）來(lái)表示電影院第4排5號(hào)的座位。同樣，我們可以用經(jīng)度、緯度兩個(gè)數(shù)據(jù)確定地球上某個(gè)點(diǎn)的位置，比如東經(jīng)130.7°、北緯19.6°，確定的是東經(jīng)130.7°線、北緯19.6°線的交點(diǎn)。

類似的實(shí)際問(wèn)題有很多，如某一天港口的潮水高度y（cm）和時(shí)間x（h）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

觀察表格中的數(shù)據(jù)，這一天11h港口的潮水高度189cm，12h港口的潮水高度137cm……潮水高度y（cm）和時(shí)間x（h）的變化是“數(shù)量的變化”，我們發(fā)現(xiàn)可以用“數(shù)量變化”來(lái)描述“位置的變化”。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，通過(guò)描點(diǎn)、連線（光滑曲線），得到圖1。

這樣，又可以用“位置的變化”來(lái)描述“數(shù)量的變化”，使“數(shù)量的變化”更加直觀。

二、建立平面直角坐標(biāo)系，描述點(diǎn)的位置

平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置需用兩個(gè)實(shí)數(shù)才能確定，而這兩個(gè)實(shí)數(shù)顯然不能是同一條數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)，那么是不是需要兩條數(shù)軸呢？

例如，圖2是貴陽(yáng)市城市軌道交通運(yùn)營(yíng)部分示意圖。我們?cè)鯓用枋鲑F陽(yáng)北站等地的位置呢？

為了表示平面內(nèi)點(diǎn)的位置，我們通常畫(huà)兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。平面直角坐標(biāo)系的建立，關(guān)鍵是選取一個(gè)適當(dāng)?shù)脑c(diǎn)。建立了平面直角坐標(biāo)系后，平面內(nèi)的點(diǎn)就可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)表示，這樣的有序數(shù)對(duì)稱為點(diǎn)的坐標(biāo)。

在平面直角坐標(biāo)系中，一對(duì)有序?qū)崝?shù)可以確定一個(gè)點(diǎn)的位置；反過(guò)來(lái)，任意一點(diǎn)的位置都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)表示。就像“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)”一樣，平面上任意一點(diǎn)P和唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）是一一對(duì)應(yīng)的，其中a是橫坐標(biāo)，b是縱坐標(biāo)。

三、在圖形運(yùn)動(dòng)中探索點(diǎn)的坐標(biāo)

將一些簡(jiǎn)單的圖形置于平面直角坐標(biāo)系中，進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)描述運(yùn)動(dòng)后圖形的位置，我們就可以探索原來(lái)的點(diǎn)與位置變化后所得的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系。

如圖3，已知點(diǎn)A（1，0）、B（4，3），將線段AB先向左平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到線段CD，那么我們?cè)鯓用枋鼍€段CD的位置呢？此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-2，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，4）。我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)比點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小3，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)比點(diǎn)A的縱坐標(biāo)大1；點(diǎn)D與點(diǎn)B的坐標(biāo)也有同樣的關(guān)系。如果點(diǎn)P（m，n）在線段AB上，那么，當(dāng)線段AB平移到CD后，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是（m-3，n+1）。

在上述探索過(guò)程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)后的圖形與原來(lái)的圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間存在一定的關(guān)系。一個(gè)圖形沿x軸平移，圖形上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)改變；一個(gè)圖形沿y軸平移，圖形上點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)改變。同樣，一個(gè)圖形沿x軸翻折時(shí)，圖形上點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)；一個(gè)圖形沿y軸翻折時(shí)，圖形上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)。一個(gè)圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都會(huì)改變。

學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系后，我們進(jìn)一步體會(huì)到借助平面直角坐標(biāo)系可以刻畫(huà)物體的位置，它讓數(shù)與形之間建立了更加緊密的聯(lián)系。

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校）