幾何最值中巧用隱形圓解題

付波勇

在初中數(shù)學(xué)題型中，有一類涉及到動(dòng)點(diǎn)與最值的幾何題型，題目中并沒有圓，但是動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形成了圓，從而轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的最值問題，我們把這種類型稱為最值問題的隱形圓模型。這里對(duì)此進(jìn)行探究，以找出它們共有的特征，總結(jié)出解題方法。

實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師可先復(fù)習(xí)圓外一點(diǎn)到圓上的最長距離與最短距離的求解方法。

【復(fù)習(xí)】已知點(diǎn)P為圓O外一點(diǎn)， 則 P 到圓O 上一點(diǎn)的最小距離和最大距離為______。

解答：連PO并延長，分別交圓于點(diǎn)M′和M，則P到圓 O 上的最小距離和最大距離分別為PM′和PM。

【探究】如圖，邊BC為定值，它所對(duì)的角度數(shù)不變（也就是定長對(duì)定角），那么以BC為邊能畫出幾個(gè)這樣的角？

由圓周角定理可知，等弧所對(duì)的圓周角相等，能畫出這樣的角有無數(shù)個(gè)，查看這些頂點(diǎn)A經(jīng)過的軌跡，得出定長對(duì)定角，角的頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)軌跡在以定長BC為弦的圓上。

由此可以得出結(jié)論：定長對(duì)定角，則定角頂點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)軌跡是以定長為弦的圓。如上題ΔABC中，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是以BC為弦的圓。

再引導(dǎo)學(xué)生嘗試用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)來解決動(dòng)點(diǎn)與最值問題。

例1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE⊥BE，則線段CE的最大值為多少？

【分析】AB=4，∠AEB＝90°定長對(duì)定角，動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB為弦的圓。求CE的最大值，就轉(zhuǎn)化成了求圓外一點(diǎn)到圓上的最長距離。

【解答】解：∵∠AEB＝90°，

∴點(diǎn)E在以AB為直徑的圓上，如圖所示，設(shè)圓心為O，

∵AB＝4，AB是⊙O的直徑，

∴OE＝2，

在Rt△OBC中，OC=[OB2+BC2]=[22+62]=2[10]，

∴連接CO并延長，交⊙O于點(diǎn)E′，則CE′為最大值，

∴CE′＝OE+OC＝2+2[10]，

∴CE的最大值＝2+2[10]．

【小結(jié)】找出隱形圓，把求線段的最大值轉(zhuǎn)換成求圓外一點(diǎn)到圓上的最長距離來解題。

例2.? ? 如圖，邊長為 3 的等邊ΔABC ， D、E 分別為邊 BC、AC 上的點(diǎn)，且∠AP B = 120?， AD、BE交于 P 點(diǎn)，求CP 的最小值為______ 。

【分析】 本題和例1共同點(diǎn)都是定長對(duì)定角，所以動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓。它們的區(qū)別，在于本題中∠APB不是直角，所以定長AB也不是直徑。點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB為弦，包含120°的圓周角的弧。連接OC交⊙O于N，這樣就轉(zhuǎn)化成求圓外一點(diǎn)到圓上的最短距離，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)，CP的值最小。

【解答】解：由垂徑定理可知，圓心O在弦AB的垂直平分線上，如圖，

∵∠APB＝120°，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是在以O(shè)為圓心，OA為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，

此時(shí)∠AOB＝120°，∠AOC=[12] ∠AOB= 60°? ? ? OA=[3]，

∵∠ACO＝[12] ∠ACB= 30°

∴∠OAC＝90°

∴OC＝2OA＝2[3]，

連接OC交⊙O于N，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與N重合時(shí)，CP的值最小，

最小值＝OC-ON＝2[3]-[3]=[3]．

故答案為：[3]。

【小結(jié)】定長對(duì)定角，可以找出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即隱形圓。如果定角不是直角，那么定長就只是圓的弦，需要在弦的垂直平分線是確定圓心。

【方法總結(jié)】定長對(duì)定角，那么定角頂點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)軌跡是以定長為弦的圓，找出隱形圓后，轉(zhuǎn)化成圓外一點(diǎn)到圓上的最長距離與最短距離來求線段的最值。