探析核心素養考查,明確高考命題方向

羅丹　龍成芳

在新高考、新課標和新教材的“三新”背景下，數學明確了六大核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，這六大核心素養是育人價值的集中體現，也是數學課程目標的集中體現．本文以數列為研究對象，通過對高考題、教材的例題和習題的分析，探究六大核心素養的考查情況，旨在明確高考命題方向．

例２ （２０２０ 年全國Ⅲ 卷理１７，節選）設數列{an}滿足a１ ＝３，an＋１ ＝３an －４n．計算a２，a３，猜想{an}的通項公式并加以證明．

解析

因為a１ ＝３，an＋１ ＝３an －４n，所以a２ ＝５，a３＝７，由此猜想an ＝２n＋１．下面用數學歸納法給出證明．

當n＝１時，a１＝２×１＋１＝３，成立．假設當n＝k時，ak ＝２k ＋１ 成立，則當n ＝k ＋１ 時，由an＋１ ＝３an －４n，得ak＋１＝３ak －４k，又因為ak ＝２k＋１，所以ak＋１＝３（２k＋１）－４k＝２k＋３＝２（k＋１）＋１，則假設成立，故數列{an}的通項公式an ＝２n＋１．

點評

該題是由已知計算出a２，a３，然后通過對數列前三項的分析尋找規律，由規律猜想數列的通項公式，這是由特殊到一般的推理過程，屬于歸納推理，這就是對數學核心素養邏輯推理的考查．該題的結構特征比較明顯，解題的一般思路：首先根據數列的遞推公式和首項計算出從第二項起的前幾項，至于計算多少項，需要看題目有沒有要求，有要求，則按照要求做，沒有要求，則計算到規律呈現為止;其次根據計算的前幾項（包括首項）的數據進行分析，得到其變化規律;再次根據規律猜想數列的通項公式;最后證明猜想成立即可．凡是告知遞推公式的數列，求通項公式均可按照這種思路進行嘗試．

拓展練習 （２０２２ 年北京卷２１）已知Q：a１，a２，…，ak 為有窮整數數列．給定正整數m ，若對任意的n∈{１，２，…，m }，在Q 中存在ai，ai＋１，ai＋２，…，ai＋j（j≥０），使得ai ＋ai＋１＋ai＋２＋…＋ai＋j ＝n，則稱Q 為mＧ連續可表數列．

（１）判斷Q：２，１，４是否為５Ｇ連續可表數列？ 是否為６Ｇ連續可表數列？ 說明理由;

（２）若Q：a１，a２，…，ak 為８Ｇ連續可表數列，求證：k 的最小值為４;

（３）若Q：a１，a２，…，ak 為２０Ｇ連續可表數列，且a１＋a２＋…＋ak ＜２０，求證：k≥７．

解析

（１）若m ＝５，則對于任意n∈{１，２，３，４，５}，有a２ ＝１，a１ ＝２，a１ ＋a２ ＝３，a３ ＝４，a２ ＋a３＝５，所以Q 是５Ｇ連續可表數列．又在Q 中無法找到連續若干項之和相加為６，所以Q 不是６Ｇ連續可表數列．

（２）反證法：假設k 的值為３，則a１，a２，a３ 最多能表示a１，a２，a３，a１＋a２，a２＋a３，a１＋a２＋a３，共６個數，與Q 為８Ｇ連續可表數列矛盾，故k≥４．現構造Q：４，２，１，５，可以表達出１，２，３，４，５，６，７，８這８個數，即存在k＝４滿足題意，故k 的最小值為４．

（３）先證明k≥６．從５個正整數中，取一個數只能表示自身，最多可表示５個數，取連續兩個數最多能表示４個數，取連續三個數最多能表示３個數，取連續四個數最多能表示２個數，取連續五個數最多能表示１個數，所以對任意給定的５個整數，最多可以表示５＋４＋３＋２＋１＝１５個正整數，不能表示２０個正整數，即k≥６．若k＝６，最多可以表示６＋５＋４＋３＋２＋１＝２１個正整數，由于Q 為２０Ｇ連續可表數列，且a１＋a２＋…＋ak ＜２０，所以至少有一項為負數，既然任意５個正整數都不可能為２０Ｇ連續可表數列，那么中間若插入一個負數項，更不能連續表示１～２０的正整數，所以至少要有６個正整數才能連續表示１～２０的正整數，則Q 中至少包含６個正整數和１個負數，故k≥７．

３ 數學建模

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型并解決問題的素養．數學建模的主要表現：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題．數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題．

例３ （人教A 版普通高中教科書數學選擇性必修第二冊３１頁例４）用１００００元購買某個理財產品一年．

（１）若以月利率０.４００％的復利計息，１２個月能獲得多少利息（精確到１元）？

（２）若以季度復利計息，存４個季度，則當每季度利率為多少時，按季結算的利息不少于按月結算的利息（精確到１０－５）？

解析

（１）由已知，以月利率０.４００％的復利計息，每月后本息形成一個以１０ ０００（１＋０.４００％）為首項、１＋０．４００％為公比的等比數列，所以１２個月的本息為１００００（１＋０.４００％）１２ ≈１０４９０.７，故１２個月后的利息為１０４９０.７－１００００≈４９１元．

（２）設每季度利率為p，則第n 季度以后的本利和構成一個以１００００（１＋p）為首項、１＋p 為公比的等比數列，設其為{bn }，則b４＝１００００（１＋p）４，所以以季度復利計息，存４ 個季度后的利息為１００００（１＋p）４－１００００元．要使以季度復利計息，存４個季度，按季結算的利息不少于按月結算的利息，即１００００（１＋p）４－１００００≥４９１，解得p ≥１.２０６％，故當每季度利率不小于１.２０６％時，按季結算的利息不少于按月結算的利息．