２０２４年普通高等學校招生全國統一考試模擬試卷數學(全國甲卷)

巨小鵬

（本試卷滿分１５０分，考試用時１２０分鐘）

１８．如圖所示，在四棱錐PＧABCD 中，PD ＝２AD ，PD ⊥DA ，PD ⊥DC，底面ABCD 為正方形，M ，N 分別為AD ，PD 的中點．

（１）求證：PA ∥平面MNC;

（２）求直線PB 與平面MNC 所成角的正弦值．

１９．某村從事以紫長茄為主的蔬菜種植．受種植條件、管理水平、市場等因素影響，每年紫長茄的平均畝產量和統一收購價格會有波動，畝產量與收購價格互不影響．根據以往資料預測，該村紫長茄今年的平均畝產量X （單位：噸）的分布列如下表所示．

紫長茄今年的平均統一收購價格Y（單位：萬元/噸）的分布列如下表所示．

（１）某農戶種植三個大棚紫長茄，每個大棚１畝，每個大棚產量相互獨立，求這三個大棚今年總產量不低于３４噸的概率;

（２）紫長茄今年每畝種植成本約１５萬元，設Z 表示該村紫長茄今年平均每畝的利潤（單位：萬元），求Z 的分布列和數學期望．

２０．已知拋物線C 的頂點在原點，焦點在坐標軸上，點A（１，２）為拋物線C 上一點．

（１）求C 的方程;

（２）若點B（１，－２）在C 上，過B 作C 的兩弦BP 與BQ，若kBP kBQ ＝－２，求證：直線PQ 過定點．

２１．已知函數f（x）＝ex －e－x ，g（x）＝ax，其中a∈R．

（１）試討論函數F（x）＝f（x）－g（x）的單調性．

（２）當a＝２時，記函數f（x），g（x）的圖像分別為曲線C１，C２．在C２ 上取點Pn（xn ，yn）作x 軸的垂線交C１于Qn ，再過點Qn 作y 軸的垂線交C２ 于Pn＋１（xn＋１，yn＋１）（n∈N? ），且x１＝１．

（ⅰ）用xn 表示xn＋１;

（ⅱ）設數列{xn}和{lnxn}的前n 項和分別為Sn ，Tn ，求證：Sn －Tn＋１＞nln２．