鐿原子超精細誘導5d6s3D1,3→6s21S0 E2 躍遷及超精細常數的精確計算*

趙國棟 曹進 梁婷 馮敏 盧本全 常宏?

1) (中國科學院國家授時中心,西安 710600)

2) (時間基準及應用重點實驗室,西安 710600)

3) (中國科學院大學天文與空間科學學院,北京 101408)

4) (合肥國家實驗室,合肥 230026)

在鐿原子中,利用5d6s3D1 →6s21S0 躍遷探索宇稱破缺效應已經得到了深入的研究.但是5d6s3D1 態與基態6s21S0 之間的M1 躍遷和超精細誘導E2 躍遷很大程度上影響了宇稱破缺信號的探測.因此,很有必要精確計算5d6s3D1 態與基態6s21S0 之間的M1 躍遷和超精細誘導E2 躍遷的躍遷概率.本文利用多組態Dirac-Hartree-Fock 理論精確計算了5d6s3D1 →6s21S0 M1 躍遷和超精細誘導5d6s3D1,3 →6s21S0 E2 躍遷的躍遷概率.計算時詳細分析了電子關聯效應對躍遷概率的影響.此外,還分析了不同微擾態和不同超精細相互作用對躍遷概率的影響.本文計算的3D1,2,3和1D2 態的超精細常數與實驗測量結果符合得很好,從而證明了本文所用計算模型的合理性.結合實驗測量的超精細常數和本文理論計算所得的核外電子在原子核處的電場梯度,重新評估了173 Yb 原子核電四極矩 Q=2.89(5)b,評估結果與目前被推薦的結果符合得很好.

1 引言

弱相互作用力是迄今為止唯一已知違反空間反演對稱性(宇稱)的基本相互作用力[1].這種宇稱破缺(parity violation,PV)效應可以用來分離出原子系統中的弱相互作用,為檢驗標準模型提供了一種新的方法[2,3].宇稱破缺效應在鐿原子5d6s3D1→6s21S0躍遷中得到了廣泛研究[4,5],最新實驗[6]的精度達到了0.5%,在此精度下不僅能夠探測鐿原子的PV 振幅隨同位素的變化,從而獲得附加Z 玻色子與電子、質子和中子相互作用的極限,而且可以觀察到與核自旋相關的PV 振幅,其大小比與核自旋無關的宇稱破缺振幅小兩個數量級.

對于實驗觀測到的鐿原子5d6s3D1→6s21S0躍遷中宇稱破缺信號,最大的貢獻來自PV 振幅與Stark 誘導躍遷振幅的干涉項[7,8],其他較小的貢獻則來自M1 禁戒躍遷和超精細誘導E2 躍遷與PV 振幅的干涉.因此,精確計算5d6s3D1→6s21S0M1 躍遷和超精細誘導5d6s3D1→6s21S0E2 躍遷的躍遷概率對于解釋3D1→1S0躍遷的宇稱破缺信號具有重要的研究意義.調研發現,Stalnaker等[9]以及Sur 和Chaudhuri[10]分別對5d6s3D1→6s21S0M1 禁戒躍遷的躍遷概率進行了測量和計算.而對于超精細誘導5d6s3D1→6s21S0E2 躍遷,僅有Kozlov等[11]考慮了超精細誘導下3D1和3D2態之間的混合,并利用組態相互作用結合多體微擾理論(configuration interaction combined many-body perturbation theory,CI+MBPT)方法計算了超精細誘導禁戒躍遷的躍遷概率.他們的結果不僅忽略了1D2態與3D1態的超精細誘導態混合對躍遷概率的影響,而且超精細常數的計算結果與實驗值之間存在3%—26%的差距.因此,我們認為有必要利用不同的理論重新計算超精細誘導禁戒躍遷的躍遷概率.

本文采用多組態Dirac-Hartree-Fock (multiconfiguration Dirac-Hartree-Fock,MCDHF)方法重新計算了171,173Yb原子中5d6s3D1→6s21S0M1躍遷和超精細誘導5d6s3D1,3→6s21S0E2 躍遷的躍遷概率以及5d6s3D1,2,3,1D2態的超精細常數.計算誘導躍遷概率時同時考慮了5d6s3D2態和5d6s1D2態與5d6s3D1,3態的超精細誘導態混合,并給出了171,173Yb原子中5d6s3D1,3→6s21S0E2 躍遷的躍遷概率.此外,我們計算的3D1,2,3和1D2態的超精細常數與實驗測量結果符合得很好.結合實驗上測量的電四極超精細常數B和理論上計算的核外電子在原子核處的電場梯度,重新評估了173Yb原子核電四極矩Q=2.89(5)b,與目前173Yb原子核電四極矩的推薦結果[12]符合得很好.

2 理論計算

2.1 超精細相互作用

由于171Yb和173Yb 原子核內的質子和中子都存在軌道運動與自旋,其矢量和產生的電磁多極矩將會與原子核外電子發生超精細相互作用,使原子核自旋I與電子的總角動量J發生耦合,并產生新的總角動量F=I+J.超精細相互作用的哈密頓量Hhfs可用一系列張量算符展開[13]:

式中T(k)與M(k) 分別表示作用于電子坐標空間和原子核坐標空間上的k階球張量算符,k=1 表示磁偶極相互作用,k=2 表示電四極相互作用,由于超精細作用高階效應影響較小,這里忽略k ＞2的部分.根據Racah[14]提出的理論,超精細相互作用矩陣元可寫為

式中M表示磁量子數,γ表示用來區分量子態的其他量子數.在相對論框架下,電子部分的球張量算符可表示為[15]

其中α 為精細結構常數,α為狄拉克矩陣,C(k) 為球諧張量算符,求和指標j表示第j個電子,rj為第j個電子的位移矢量.而對于原子核部分的約化矩陣元[15]:

其中μI與Q分別為原子核磁偶極矩和電四極矩.

根據超精細相互作用矩陣的對角元(J=J′),可以定義磁偶極超精細常數A和電四極超精細常數B為[16]

根據(7)式,核電四極矩可由下式計算[17-19]:

Q單位為b,其中

為原子核附近核外電子的電場梯度(electric field gradient,EFG),(8)式中超精細相互作用常數B和EFG 分別以MHz 和a.u.為單位.

2.2 超精細誘導躍遷

可以將初態|γ′IJ′F′M′〉與末態|γIJFM〉 之間電四極E2 躍遷的躍遷概率表示為[20,21]:

其中λ 為躍遷上下能級差對應的波長.對同一精細結構內的所有超精細低能級求和后的躍遷概率為[22]

在超精細相互作用下,相同宇稱和總角動量量子數F的原子態間將發生混合,一定程度上打開了原本完全禁戒的躍遷,這種躍遷稱為超精細誘導躍遷[23-26].本文令超精細混合后的躍遷初態為末態為式中的波浪號表示波函數的主要分量.根據一階微擾理論,此時初態可展開為

εn為微擾態;展開系數為混合系數,

原子末態可用同樣的方法展開,

利用矩陣元約化公式[27]以及Wigner-Eckart 定理,可將躍遷矩陣元約化為

將約化后的躍遷矩陣元代入(11)式,可得出超精細誘導躍遷概率的表達式:

2.2.1 鐿原子超精細誘導5d6s3D1IF′→6s21S0E2 躍遷

對于5d6s3D1IF′→6s21S0躍遷,利用(12)式可將初態5d6s3D1IF′M′表示為

對于5d6s3D1激發態,僅考慮同一組態中3D2,1D2態與3D1態的混合.其他不同組態的相互作用可以忽略不計,因為它們之間的能級差太大并且超精細相互作用很弱.末態6s21S0為基態,由于鐿原子基態與其他能級間的能級差太大,導致相應的混合強度很弱,因此基態與其他能級間的混合可忽略不計.所以末態的波函數可表示為

此時超精細誘導E2 躍遷的躍遷矩陣元等于

由(19)式可知誘導躍遷概率

2.2.2 鐿原子超精細誘導5d6s3D3IF′→6s21S0E2 躍遷

鐿原子躍遷初態5d6s3D3IF′M′在超精細相互作用下可展開為

與5d6s3D1IF′M′類似,僅考慮同一組態中3D2,1D2態與3D3態之間的混合.此時躍遷矩陣元等于

代入(19)式后可得如下躍遷概率公式:

2.3 多組態Dirac-Hartree-Fock 理論

在多組態Dirac-Hartree-Fock 方法[28-30]中,原子態波函數Ψ(ΓPJMJ) 由一組具有相同的宇稱P、總角動量J以及磁量子數MJ的組態波函數Φ(γPJMJ)的線性組合來表示,即

其中cj為組態混合系數,Γ與γ表示除P,J,MJ外區分量子態的其他量子數.組態波函數由相對論單電子自旋軌道波函數的乘積線性組合而成.單電子狄拉克軌道具有以下形式:

式中P(r)與Q(r) 為單電子狄拉克軌道的徑向部分,χκm(θ,φ)與χ-κm(θ,φ) 為角向部分.自洽場(self-consistent field,SCF)中通過求解多參考組態方程,組態混合系數cj和單電子狄拉克軌道的徑向部分被同時優化.在相對論組態相互作用(relativistic configuration interaction,RCI)中,僅有組態混合系數被優化.在組態相互作用中可以考慮[28]高階電子關聯效應、Breit 相互作用和量子電動力學(quantum electrodynamics,QED)修正.獲得原子態波函數后,躍遷概率可通過約化矩陣元〈γJ‖Oλ‖γ′J′〉 來計算,其中Oλ為電磁場多極算符.

3 計算模型

電子關聯效應是指量子態實際的能量與Hartree-Fock 近似下所得的能量間的差異.對于多電子原子體系,Dirac-Hartree-Fock 近似不足以準確描述原子的結構和性質,原因在于電子關聯效應對多電子原子體系的影響較大.計算時我們采用活動空間方法[30,31]系統評估電子關聯效應.由微擾論可知,電子關聯效應分為一階關聯和高階關聯.一階關聯進一步分為價電子間的關聯(valence-valence,VV),價電子與殼層電子間的關聯(corevalence,CV)以及殼層電子之間的關聯(corecore,CC) 三種.通過單參考組態單激發(single excitation)或雙激發(double excitation)至活動空間形成的組態空間來描述一階關聯.待一階關聯描述充分后,挑選組態空間中混合系數較大的組態加入多參考組態(multi-reference,MR)基組,利用MR 基組單雙激發產生的組態空間來描述高階電子關聯效應[19].由于從MR 基組單雙激發等價于從單參考組態三四激發[32],MR 方法在很大程度上節約了計算資源,提高了計算效率.

計算時將基態6s2和激發態5d6s 同時優化.首先,在Dirac-Hartree-Fock (DHF)近似中,優化了參考組態{4s24p64d104f145s25p65d6s;4s24p64d104f145s25p66s2}中的光譜軌道.參考組態中最外層 5d 和6s軌道上的電子被當成價電子,其他的電子為殼層電子.隨后在自洽場中,考慮了價電子與價電子及n≥3殼層電子與價電子之間的關聯效應.組態空間的擴展是通過從參考組態限制性單雙激發產生組態波函數的形式實現的.限制性單雙激發代表最多只有一個電子從殼層電子激發,其他的來自于價電子的激發.在本文的計算中,占據的殼層逐層打開以激發至虛軌道,即先打開 5sp 殼層,隨后打開4spd 殼層.同時,虛軌道也是通過一層層擴展的,并且每次只優化新加入的虛軌道.為了充分考慮VV 和CV 關聯,擴展了七層虛軌道以確保計算的物理量的收斂性.計算中,每一步的計算模型被標記為CnV-m,其中n代表最新打開的殼層,m代表添加的虛軌道層數.為了提高計算效率,去除了與參考組態無相互作用的組態[33].在C4V-7 計算模型中獲得的軌道基被用于隨后的RCI 計算.

隨后,在RCI 中考慮了n=5 殼層間的CC關聯.為了充分考慮這部分的CC 關聯效應,七層虛軌道被激發以實現組態空間的繼續擴展.相應的計算模型被標記為CC5-7.此外,通過多參考組態單雙激發的方法[32]來考慮n≥5 電子的高階關聯效應.多參考組態是通過在CC5-7 的組態空間中挑選出重要的組態形成的,即組態混合系數大于等于0.05 的組態.計算中挑選出的多參考組態為{5s25p66p2;5s25p65d2;5s25p46s26d7d;5s25p66s7s;5s25p45d6s26d;5s25p55d6s6p;5s25p65f6p;5s25p66s6d;5s25p66d7s}.為了實現組態空間的繼續擴展,從多參考組態的單雙激發至前三層虛軌道產生的組態被加入進來,相應的計算模型被標記為MR-3.最后,基于MR-3 模型,Breit 相互作用和QED 效應的影響被評估.不同計算模型下的組態個數如表1所列,并利用GRASP2018 程序包[34]完成計算.此外,利用rhfszeeman 程序[23]計算非對角超精細相互作用矩陣元,用transition-phase 程序[23]計算電四極躍遷矩陣元.

表1 不同計算模型下打開的光譜軌道(active orbitals,AO)、虛軌道(virtual orbitals,VO) 以及模型產生的組態空間內總的組態個數(number of configuration state wavefunctions,NCFs). J=0 表示1S0 態,J=1,3表示3D1,3 態,而J=2對應3D2和1D2態Table 1. Active orbitals (AO),virtual orbitals (VO) opened under different calculation models,and NCFs is the total number of the configurations in the configuration space. J=0 represents1S0 state,J=1,3 represents3D1,3 states,and the J=2 corresponds to the3D2 and1D2 states,respectively.

4 計算結果及討論

4.1 5d6s3D1→6s21S0 M1 躍遷及5d6s1,3D2→ 6s21S0 E2 躍遷

如圖1 所示,本文計算并比較了不同虛軌道層數對應的5d6s3D1→6s21S0的M1 躍遷概率和5d6s1,3D2→6s21S0E2 躍遷概率.由圖1 可知虛軌道添加至第七層后,3D1→1S0以及1,3D2→1S0躍遷概率的計算結果均達到收斂.

圖1 5d6s3D1 →6s21S0 M1 躍遷及5d6s1,3D2 →6s21S0 E2 躍遷的躍遷概率隨虛軌道擴展的變化Fig.1.Transition rates for 5d6s3D1 →6s21S0 M1 transition and 5d6s1,3D2 →6s21S0 E2 transition as a function of virtual orbital expansion.

表2 列出了不同模型下5d6s3D1→6s21S0M1 躍遷激發能ΔE、約化躍遷矩陣元(reduced matrix element,RME)和躍遷概率R的計算結果.由表2 可知VV 和CV 關聯是影響3D1→1S0M1 躍遷參數的主要因素,它們使躍遷能和約化矩陣元分別變化了5.13%和98.8% .CC 關聯對M1躍遷也存在較大影響.激發能和約化矩陣元在它們影響下的變化量分別為3.43% 與38.79% .此外,高階電子關聯效應和CC 關聯之間存在一定程度的抵消效應.M1 躍遷激發能的計算結果與NIST數據庫[35]給出的推薦值接近,二者相差0.24% .最后,在考慮了Breit 相互作用和QED 效應后,激發能和約化矩陣元的變化量分別為0.53% 和1.37% .本文約化矩陣元的計算結果處在文獻[9]給出的測量誤差范圍以內.

表2 不同計算模型下5d6s3D1 →6s21S0 M1 躍遷的激發能ΔE (cm-1),RME (a.u.)和躍遷概率R(s-1).方括號中的值表示以10 為底的指數,圓括號內的值表示誤差Table 2. Excitation energyΔE(in cm-1),transition probability R (in s-1),and RME (in a.u.) for the 5d6s3D1 →6s21S0 M1 transition under various computational models.The values in brackets represent exponents with a base of 10,and values in parentheses indicate errors.

表3 列出了不同模型下計算的5d6s1,3D2→6s21S0E2 躍遷的激發能ΔE,RME 和躍遷速率R.表中V 表示速度規范,L 表示長度規范.理論上不同規范下的躍遷矩陣元應給出同樣的躍遷線強和躍遷速率的計算結果,但采用MCDHF 方法得到的原子態波函數為實際原子態波函數的近似,從而造成兩種規范下的計算結果有一定差別.由表3可知,VV 和CV 關聯對5d6s3D2→6s21S0E2 躍遷的躍遷能和躍遷概率的影響分別為5.1% 和100% .在高階電子關聯效應的影響下,3D2與1D2至1S0E2 躍遷的激發能接近于NIST 的推薦值,與其分別相差0.26% 和2.99% .

表3 5d6s1,3D2 →6s21S0 E2 躍遷的激發能ΔE (cm-1 ),RME(a.u.) 和躍遷概率R(s-1)在不同計算模型下的結果.V 表示速度規范,L 表示長度規范Table 3. Excitation energyΔE(in cm-1 ),RME (in a.u.),and transition probability R (in s-1) for the 5d6s1,3D2 →6s21S0E2 transition under various computational models.“V” denotes the velocity gauge,and “L” represents the length gauge.

4.2 5d6s3D1,2,3,1D2 態超精細常數與173Yb核電四極矩

表4 列出了171Yb及其同位素173Yb 的磁偶極超精細常數A與電四極超精細常數B的計算結果,并與以往的理論計算和實驗測量結果進行了比較.表中Expt.與Theory 分別表示實驗測量值與理論計算值.與其他理論的計算結果相比,本文采用MCDHF 方法計算的171,173Yb原子5d6s3D1,2,3態磁偶極和電四極超精細常數更接近實驗值[36-39].例如173Yb 的5d6s3D1態,本文計算所得的超精細常數A,B與實驗值分別相差3.73% 和0.43%,而文獻[11,40]中利用CI+MBPT 理論計算的A和B與實驗測量結果的差距大于5%和13% .對于5d6s3D2態,本文計算的A和B與實驗值的差距小于1%,文獻[40]結果與實驗值分別相差3.41%和9.65%,文獻[11]結果與實驗值分別相差2.6%和20.5% .在文獻[40]的計算中,僅考慮了VV 與CV 關聯,而在本文的計算中,不僅考慮了VV 與CV 關聯,還考慮了CC 和高階關聯效應.對于5d6s1D2態超精細常數B,本文計算結果比文獻[40]的結果稍差,但仍處在實驗測量結果[39]的誤差范圍內.

表4 5d6s3D1,2,3 態與1D2 態的磁偶極超精細常數A (MHz)和電四極超精細常數B (MHz)Table 4. Magnetic dipole hyperfine constant A (in MHz) and electric quadrupole hyperfine constant B (in MHz) for the 5d6s3D1,2,3 and1D2 states.

表5 列出了不同模型下173Yb原子5d6s3D1,2,3態的EFG 值.結合實驗測量的電四極超精細常數B,重新評估了173Yb 原子核電四極矩.根據MR-3模型的計算結果,5d6s3D1,2,3態下本文評估的核電四極矩分別為Q(3D1)=2.79 b,Q(3D2)=2.77 b,Q(3D3)=3.04 b.取它們的平均為最終的評估結果Q=2.89 b,統計誤差為0.02 b.將5d6s1D2態排除在外,因為它的超精細常數對電子關聯效應特別敏感.由于殼層電子與殼層電子之間的關聯與對應的高階關聯效應存在部分抵消現象[42,43],將n=4 的CC 關聯效應對EFG 的影響作為剩余電子關聯效應引起的誤差.取以上兩種方法中最大的誤差為最終誤差.因此,本文評估的173Yb 原子核電四極矩為Q(173Yb)=2.89(5)b .

表5 不同模型下的EFG(a.u.),以及重新評估后的173 Yb 原子核電四極矩Q(b)Table 5. The EFG (in a.u.) calculated under different models,along with the reassessment of the nuclear electric quadrupole moment Q (in b) for173 Yb.

Holmgren[41]利用相對論自洽場方法計算了173Yb原子6s5d3D1,2,3,1D2和6s6p3P1,2,1P1態的波函數,并結合實驗測量的超精細常數B,評估的173Yb原子核電四極矩Q=3.6 b .此外,Singh等[44]測量了173Yb原子3P2態的電四極超精細常數B,并結合他們利用相對論耦合簇(relativistic coupled-cluster,RCC)方法計算的核外電子在原子核處的電場梯度,評估173Yb原子核電四極矩為Q=2.46(12)b.目前,173Yb 核電四極矩的推薦值Q(173Yb)=2.80(4)b是通過測量μ鐿原子X射線和原子核γ射線得到的[45],本文計算所得的結果與其符合得很好.與Holmgren 以及Singh 等評估的結果相比,本文的結果更接近于173Yb 原子核電四極矩的推薦值,同時評估誤差更小.

4.3 171Yb和173Yb 超精細誘導5d6s3D1,3IF'→ 6s21S0E2 躍遷

表6 列出了171Yb和173Yb 原子中超精細誘導5d6s3D1,3→6s21S0E2 躍遷的混合系數.計算混合系數時核磁偶極矩、核電四極矩、矩陣元以及能級差均采用原子單位[46].原子單位下核磁矩μI(a.u.)=μN×μI(nm),μN=1.987131×10-6,核電四極矩Q(a.u.)=3.5706×10-8×Q(b) .對于171Yb,μI=0.49367(1)nm,Q=0.而對于173Yb,μI=-0.67989(3)nm,Q=2.8 b .

表6 171Yb和173Yb原子的超精細誘導5d6s3D1,3IF′ →6s21S0 E2 躍遷的混合系數(a.u.)Table 6. Mixing coefficients (in a.u.) for the hyperfine-induced 5d6s3D1,3IF′ →6s21S0 E2 transition in171Yb and173Yb.

將表3 中5d6s1,3D2→6s21S0E2 躍遷的躍遷矩陣元以及表6 所列的混合系數代入(23)式與(26)式,即可得到171Yb和173Yb 的超精細誘導5d6s3D1,3IF′→6s21S0躍遷的躍遷概率.計算并統計了不同微擾態和不同超精細相互作用對超精細誘導E2 躍遷的躍遷概率的貢獻.如表7 所列,磁偶極超精細相互作用對躍遷概率的貢獻比電四極超精細相互作用的貢獻高2—3 個數量級,因此在超精細誘導躍遷中磁偶極超精細作用導致的態混合始終為主要部分.超精細誘導5d6s3D1IF′→6s21S0E2 躍遷在磁偶極超精細作用下,3D2微擾態與1D2微擾態對應的躍遷概率都隨著總角動量量子數F的減小而減小,但同一F下3D2態的貢獻始終是1D2態的3 倍以上;在電四極超精細作用下,3D2態的貢獻比1D2態高1—2 個數量級.對于超精細誘導5d6s3D3IF′→6s21S0E2 躍遷,磁偶極超精細作用下1D2微擾態的貢獻始終大于3D2微擾態的貢獻.最終計算并總結了不同總角動量量子數F′對應的超精細誘導5d6s3D1,3IF′→6s21S0E2 躍遷的躍遷概率.相應的計算結果統計于表7 的Total 列.

表7 171Yb和173Yb的超精細誘導5d6s3D1,3IF′ →6s21S0 E2 躍遷的躍遷概率(s-1 ). T1與T2 分別表示磁偶極超精細相互作用與電四極超精細相互作用下的誘導躍遷概率. R1與R3 表示超精細誘導躍遷5d6s3D1IF′ →6s21S0中3D2 微擾態和1D2 微擾態與3D1 態混合后的誘導躍遷概率.與表示超精細誘導躍遷5d6s3D3IF′ →6s21S0中3D2微擾態和1D2 微擾態與3D3 態混合后的誘導躍遷概率.方括號內的數值代表以10 為底的指數,圓括號內的數值代表誤差Table 7. Transition probabilities (in s-1 ) for the hyperfine-induced 5d6s3D1,3IF′ →6s21S0 E2 transitions in171Yb and173Yb .T1 and T2 represent the induced transition probabilities under magnetic dipole hyperfine interaction and electric quadrupole hyperfine interaction,respectively. R1 and R3 represent the transition probabilities in the hyperfine-induced transition 5d6s3D1IF′ →6s21S0,where the perturbed states3D2 and1D2 are mixed with the3D1 state.Similarly, and denote the transition probabilities in the hyperfine-induced transition 5d6s3D3IF′ →6s21S0,where the perturbed states3D2 and1D2 are mixed with the3D3 state.The numerical values in square brackets denote the exponentiation with base 10,while the values in parentheses represent the error.

表7 171Yb和173Yb的超精細誘導5d6s3D1,3IF′ →6s21S0 E2 躍遷的躍遷概率(s-1 ). T1與T2 分別表示磁偶極超精細相互作用與電四極超精細相互作用下的誘導躍遷概率. R1與R3 表示超精細誘導躍遷5d6s3D1IF′ →6s21S0中3D2 微擾態和1D2 微擾態與3D1 態混合后的誘導躍遷概率.與表示超精細誘導躍遷5d6s3D3IF′ →6s21S0中3D2微擾態和1D2 微擾態與3D3 態混合后的誘導躍遷概率.方括號內的數值代表以10 為底的指數,圓括號內的數值代表誤差Table 7. Transition probabilities (in s-1 ) for the hyperfine-induced 5d6s3D1,3IF′ →6s21S0 E2 transitions in171Yb and173Yb .T1 and T2 represent the induced transition probabilities under magnetic dipole hyperfine interaction and electric quadrupole hyperfine interaction,respectively. R1 and R3 represent the transition probabilities in the hyperfine-induced transition 5d6s3D1IF′ →6s21S0,where the perturbed states3D2 and1D2 are mixed with the3D1 state.Similarly, and denote the transition probabilities in the hyperfine-induced transition 5d6s3D3IF′ →6s21S0,where the perturbed states3D2 and1D2 are mixed with the3D3 state.The numerical values in square brackets denote the exponentiation with base 10,while the values in parentheses represent the error.

表8 列出了本文與其他理論計算的超精細誘導 5d6s3D1→6s21S0躍遷振幅的計算結果的比較.躍遷振幅正比于混合系數與約化躍遷矩陣元的乘積,通過比較發現,本文計算得到的躍遷振幅與Kozlov等[11]的結果存在差異的主要原因是混合系數不同.由于混合系數與超精細相互作用非對角元相關,而本文計算的超精細常數更接近于實驗測量結果.

表8 171Yb和173Yb 的超精細誘導 5d6s3D1IF′ →6s21S0 E2 躍遷的躍遷幅度. E2A與E2B 分別表示磁偶極超精細相互作用與電四極超精細相互作用下的誘導躍遷幅度. E2tot 表示磁偶極與電四極超精細相互作用共同作用下的誘導躍遷幅度.方括號內的數值代表以10 為底的指數,圓括號內的數值代表誤差Table 8. Transition amplitude of the hyperfine-induced 5d6s3D1IF′ →6s21S0 E2 transition in171Yb and173Yb .E2A and E2B represent the induced transition amplitudes under the magnetic dipole hyperfine interaction and electric quadrupole hyperfine interaction,respectively. E2tot denotes the induced transition amplitude under the combined influence of magnetic dipole and electric quadrupole hyperfine interactions.The numerical values in square brackets denote the exponentiation with base 10,while the values in parentheses represent the error.

通過兩種方法來評估超精細誘導躍遷概率的計算誤差: 1)規范一致性引起的誤差;2)剩余電子關聯效應引起的誤差.對于前一種誤差利用如下公式計算:

其中,RL和RV分別是長度規范和速度規范下計算的躍遷概率.而對于后一種誤差,將n=4 的CC關聯效應對躍遷概率的影響作為剩余電子關聯效應引起的誤差.最終,取兩種方法中誤差較大者作為最終的計算誤差,評估后的誤差展示在表7 和表8 中.

5 結論

本文基于MCDHF 理論,計算了171Yb和173Yb原子超精細誘導5d6s3D1,3IF′→6s21S0E2 躍遷的躍遷概率.同時,詳細分析了不同微擾態和不同超精細相互作用的躍遷概率的貢獻.通過計算發現,微擾態3D2與3D1,3D3之間的磁偶極超精細相互作用占主要貢獻.此外,3D1→1S0M1 躍遷和超精細誘導E2 躍遷的躍遷概率之比約為450∶1.

結合計算所得的3D1,2,3態核外電子在原子核處的電場梯度和實驗測量的超精細常數B,重新評估了173Yb原子核電四極矩Q(173Yb)=2.89(5)b .該工作利用原子物理方法評估了173Yb 原子核電四極矩值,評估結果與目前被推薦的結果符合得很好.