基于最小二乘回歸的定量指標一致性評價的樣本量公式研制

陳飛龍 于淼 徐濤

摘要：目的 構建并驗證基于最小二乘回歸法的定量資料一致性評價的樣本量計算公式。方法 根據最小二乘回歸法定量一致性評價的原理，結合統計推斷和公式推導，獲得基于回歸常數和回歸系數的樣本量計算公式。同時，使用3個實例數據驗證公式的準確性，并與Bland-Altman（BA）法樣本量計算公式結果進行對比。結果 通過公式推導得到回歸法定量一致性評價的樣本量計算公式，并用實例驗證了本公式的準確性。此外，本公式與BA法樣本量公式所得結果具有一定差異，在回歸法樣本量公式計算結果下，回歸分析與BA法分析均能得到一致性結論；而在BA法公式結果下，回歸分析與BA法分析一致性結論有時不成立。結論 本研究首次提出用于回歸法定量一致性評價的樣本量公式，為該領域研究提供了方法學支持。

關鍵詞：最小二乘回歸；一致性評價；樣本量；公式；定量指標

中圖分類號： R-33文獻標識碼： A文章編號：1000-503X（2024）02-0225-07

DOI：10.3881/j.issn.1000-503X.15523

Development of Sample Size Formulas for Least Square Regression-Based Consistency Evaluation of Quantitative Indicators

CHEN Feilong，YU Miao，XU Tao

Department of Epidemiology and Statistics，Institute of Basic Medical Science，CAMS and PUMC，Beijing 100005，China

Corresponding author：XU Tao Tel：010-69156408，E-mail：xutaosd@126.com

ABSTRACT：Objective To develop and verify the sample size formulas for quantitative data consistency evaluation based on the least square regression method.Methods According to the principle of least square regression-based quantitative consistency evaluation，statistical inference，and formula derivation，we developed the formulas for calculating sample size based on regression constant and regression coefficient.Furthermore，the accuracy of the formulas was verified by the data of three examples，and the results were compared with those of the sample size formula established based on the Bland-Altman（BA）method.Results The sample size formulas for regression-based quantitative consistency evaluation were deduced，and the accuracy of the formulas was verified by three examples.In addition，the results obtained with this formula had differences compared with those of the sample size formula established based on the BA method.Furthermore，consistent conclusions could be obtained by regression analysis and BA analysis with the sample size calculated with the regression method.However，with the sample size calculated based on the BA method，the consistency conclusion of regression analysis and BA analysis was sometimes not valid.Conclusion A sample size formula for quantitative consistency evaluation based on the regression method was proposed for the first time，which provided methodological support for the research in this field.

Key words：least square regression；consistency evaluation；sample size；formula；quantitative indicator

Acta Acad Med Sin，2024，46（2）：225-231

一致性評價類研究可根據評價指標的數據類型分為定量指標和定性指標的一致性評價。定量指標的一致性評價是用兩種不同的檢測方法對同一樣本進行定量檢測，通過比較測量結果從而判斷兩種測量方法的一致程度。傳統的一致性分析方法，如配對t檢驗、相關分析等，存在明顯的方法學局限^［1］，現已較少應用。目前，最常用的定量一致性評價方法包括Bland-Altman（BA）法^［2］和回歸法^［3］，這兩種方法原理清楚，應用廣泛，但是針對這兩種方法的方法學研究仍然較少。此外，在臨床研究中，樣本量也是影響試驗能否實現預期結果的關鍵因素^［4-5］。然而，當前少有研究聚焦一致性評價類研究的樣本量計算問題，臨床實踐中研究者常根據客觀條件和個人經驗確定樣本量，可能造成統計效能的下降和潛在的倫理學問題。對于BA法，已有部分研究關注其數據條件及樣本量計算^［6］；而對于回歸法，國內外少有研究關注基于此方法的定量一致性評價樣本量計算問題，導致該方法的不合理應用問題十分嚴重，其應用及推廣受到極大限制。因此，本研究旨在構建并驗證基于最小二乘回歸方法解決定量一致性評價問題的樣本量計算公式，結合最小二乘法的基本性質和統計推斷原理，對樣本量計算公式進行理論推導，并應用實例驗證該公式的準確性，為該方法的應用推廣提供理論支持。

1 原理

在回歸分析中，最常采用最小二乘法估計回歸模型的參數。數據應滿足最小二乘法的4個基本假設，即：兩組數據應存在線性關聯、兩組數據應相互獨立、隨機誤差應相互獨立且服從正態分布、等方差性^［7］。當數據不滿足此條件時，可通過數據轉換使之近似服從此條件而進行樣本量計算。

該方法的基本原理為：對同一樣本使用兩種不同方法進行測量，繪制測量結果散點圖并擬合最小二乘回歸模型，計算模型參數及其95%置信區間。若回歸常數b₀和回歸系數b₁的95%置信區間均位于各自臨床上可接受的一致性界限（-Δ，+Δ）內，則可認為兩種方法的一致性較好，兩種方法之間能夠互相替代^［8-9］。

2 樣本含量估計公式的推導

用Y=β₀+β₁X擬合兩種測量方法定量檢測結果的線性回歸模型，用b₀和b₁分別代表回歸常數β₀和回歸系數β₁的估計值。根據最小二乘法的性質，b₀和b₁分別是β₀和β₁的無偏估計值，且b₀、b₁均服從正態分布，因此，可推得b₀和b₁的（1－α）%置信區間分別為：

［b₀－t_{n－2，1－α/2}S_b0，b₀+t_{n－2，1－α/2}S_b0］（1）

［b₁－t_{n－2，1－α/2}S_b1，b₁+t_{n－2，1－α/2}S_b1］（2）

式中，S_b0為b₀的標準誤，S_b1為b₁的標準誤，t_{n－2，1－α/2}表示自由度υ=n－2、置信度為1－α時的雙側t分布界值^［7］。根據回歸法定量一致性評價的原理，b₀的置信區間應位于區間（－Δ₀，+Δ₀）內，b₁的置信區間應位于區間（1－Δ₁，1+Δ₁）內；結合公式（1）和公式（2），以左側區間為例（右側推導過程相同），可得：

b₀－t_{n－2，1－α/2}S_b0≥-Δ₀（3）

b₁－t_{n－2，1－α/2}S_b1≥1-Δ₁（4）

由最小二乘性質可知，b₀和b₁均服從正態分布，有：

2.1 基于回歸常數b₀推導樣本量計算公式

由公式（5）可知：

然后，對公式（10）中根號內分子與分母中的（n-1）項和n項近似約分處理，約分化簡后可得：

進一步整理公式（11），提取n，整理后可得：

最后，考慮檢驗校能（1-第2類錯誤水平β）對樣本量的影響，納入置信度為1－β時的雙側t分布界值。最終經整理，得到基于回歸常數b₀的樣本量計算公式：

2.2 基于回歸系數b₁推導樣本量計算公式

將公式（8）代入公式（4），整理后可得：

考慮檢驗效能（1-第2類錯誤水平β）對樣本量的影響，納入置信度為1－β時的雙側t分布界值。最終經整理，得到基于回歸系數b₁的樣本量計算公式：

綜上，得到基于最小二乘回歸常數b₀和回歸系數b₁的定量指標一致性評價研究的樣本量計算公式：

式中，α為檢驗水準，常取雙側α=0.05；1－β為檢驗效能；t_{n－2，1－α/2}和t_{n－2，1－β/2}分別為置信度為1－α和1－β時的雙側t分布界值；b₀代表預期回歸模型的回歸常數，常取0；b₁代表預期回歸模型的回歸系數，常取1；σ_ε為預實驗的殘差標準差；代表試驗方法樣本測量值的平均值，S_x代表試驗方法樣本測量值的標準差；Δ₀為回歸常數b₀在臨床上可接受的一致性界限（－Δ₀，+Δ₀）的界值，Δ₁為回歸系數b₁在臨床上可接受的一致性界限（1－Δ₁，1+Δ₁）的界值。兩公式中，t分布界值與樣本含量有關，故采用迭代方法，第1次迭代時用標準正態分布分位數Z替代t分布界值獲得初始n值，當迭代前后兩次結果n的整數部分沒有變化時，迭代即可停止，最后結果即為所求的樣本量。

上述公式分別為基于回歸常數和回歸系數得到的樣本量計算公式，由于需要同時滿足b₀與b₁的置信區間及與臨床上可接受的一致性界限的范圍要求，因此，在實際應用中應分別使用兩公式計算樣本量，取其中較大者為最終計算結果。

3 BA法樣本量計算公式

BA法也是解決定量一致性評價的常用統計學方法，其基本思想是以兩方法測量結果的均值為橫軸，以測量差值d為縱軸繪制散點圖，計算差值的均數及其100（1－γ）%置信區間，即一致性界限（LoA）；分析散點的分布與LoA的100（1－α）%置信區間之間的位置關系，并與臨床上可接受的一致性界值相比較。若該界限位于臨床可接受的一致性界值范圍內，則認為兩種方法之間一致性較好^［2］。

陸夢潔等^［6］曾研制出基于BA法的樣本量計算公式，該方法樣本量計算公式為：

式中，?是兩方法測量結果差值的均值，s_d為差值的標準差，Z_1－γ/2為標準正態分布分位數，t_{n－1，1－α/2}是自由度為n－1時的t分布分位數，δ為臨床上可接受的一致性界值，α為檢驗水準，β為第Ⅱ類錯誤水平，（1－γ）為差值d置信區間的置信度。

為比較本研究推導公式與陸夢潔等^［6］推導公式計算結果的差異，本研究將基于3個實際案例計算回歸法和BA法樣本量，并分別進行回歸分析和BA法分析以驗證樣本量結果。

4 實例分析

4.1 實例分析1

欲比較某企業新研發的電子血壓計與傳統的水銀血壓計測量結果的一致性，擬分別采用回歸法和BA法進行一致性評價研究。為計算該研究的最佳樣本量，本研究納入30名受試者進行預試驗。

對于回歸法，經檢驗兩種方法測量的結果數據均滿足最小二乘法的前提假設。對預試驗數據進行線性回歸分析，結果顯示b₁及其置信區間為0.998（95%CI=0.946～1.050），b₀及其置信區間為0.006（95%CI=-4.131～4.143），二者置信區間寬度均超出了臨床認可的一致性范圍，尚不能認為兩方法測量結果具有一致性（表1）。

使用公式<1><2>計算回歸法樣本量。取檢驗水準雙側α=0.05，檢驗效能（1-β）×100%=90%；臨床上可接受的b₀血壓測量值一致性界限（－Δ₀，+Δ₀）為（-4，4）mmHg（1 mmHg=0.133 kPa）；假設b₁的臨床可接受范圍（1－Δ₁，1+Δ₁）為（0.95，1.05）。將預試驗數據參數代入公式<1>和<2>，經過多次迭代運算，得到n₀=95.87，n₁=96.32，選擇其中較大者，最終計算結果為n=97。

隨后，基于相同30人的預試驗數據計算BA法樣本量。采用MedCalc 18軟件繪制BA圖^［2，10］。設定一致性界限為（-4，+4）mmHg。結果顯示差值d的均值為0.2，但有16.67%（5/30）的點位于一致性界限（-4，+4）mmHg以外，因此，尚不能判斷兩儀器測量結果具有一致性（圖1A）。

計算BA法樣本量，設定α=0.05，β=0.1，γ=0.05，δ=4 mmHg，將預試驗所得參數代入公式（17），經多次迭代運算，得到n=130。

為驗證回歸法和BA法公式樣本量條件下的回歸分析和BA圖分析能否得到一致性結論，本研究分別納入97名（根據回歸法樣本量公式計算得到）和130名（根據BA法樣本量公式計算得到）受試者進行驗證試驗，結果顯示無論是通過回歸法計算的樣本量還是BA法計算的樣本量，回歸分析與BA分析均可得到一致性成立的結論（圖1B、1C，表1）。

4.2 實例分析2

實例2數據來源于某眼軸長度測量儀器的臨床試驗，該研究比較了新舊兩款儀器測量結果的一致性。取檢驗水準α=0.05，檢驗效能（1-β）×100%=90%；臨床上可接受的眼軸測量值一致性界限為0.1 mm，即Δ₀=0.1 mm；設定回歸系數b₁的臨床可接受范圍Δ₁=0.05。30個樣本量的預試驗結果顯示，回歸分析與BA法分析均無法得到一致性結論。根據預試驗結果，計算得到回歸法公式結果n=273；BA法公式計算結果n=208（表2、圖2A）。

為驗證公式的準確性，本研究基于回歸分析和BA分析對上述計算結果進行驗證。結果顯示對于回歸法公式計算結果，驗證試驗中回歸分析與BA法分析（全部散點位于一致性界限內）均可得到一致性成立的結論；而對于BA法公式結果，BA法分析一致性結論成立，但回歸分析尚不能認為兩方法測量結果具有一致性（表2、圖2）。

4.3 實例分析3

實例3數據來源于某公司研發的靜脈血血糖檢測試紙與臨床上常用的血糖檢測試紙測量結果一致性比較的臨床試驗。取檢驗水準α=0.05，檢驗效能（1-β）×100%=90%。臨床上可接受的血糖測量值一致性界限為0.3 mmol/L，即Δ₀=0.3 mmol/L；設定回歸系數b₁的臨床可接受范圍Δ₁=0.05。30個樣本量的預試驗結果顯示，回歸分析與BA法分析均無法得到一致性結論。根據預試驗結果，計算得到回歸法公式結果n₀=69.34，n₁=32.93，取較大者，即n=70；BA法公式計算結果n=29.07。

為驗證公式的準確性，本研究基于回歸分析和BA分析對上述計算結果進行了驗證。結果顯示，對于回歸法公式計算結果，回歸分析與BA法分析（2.86%的點位于一致性界限外）均得到一致性結論。對于BA法公式結果，n=29時，驗證試驗回歸分析與BA法分析均不能得到一致性成立的結論（圖3、表3）。

5 討論

本研究推導獲得了最小二乘回歸法解決定量一致性評價問題的樣本量計算公式，其原理為：擬合兩測量結果的線性回歸模型，計算模型參數及其95%CI，若回歸系數與回歸常數的置信區間均位于臨床上可接受的一致性界限內，則可認為兩種方法之間一致性較好。同時，本研究采用3個實例驗證了計算公式的準確性，并對比BA法樣本量公式計算結果，進一步驗證了該公式的適用性。本研究首次提出用于回歸法定量一致性評價的樣本量公式，豐富了回歸一致性評價的方法學架構。

上述3個實例中，基于回歸法樣本量公式計算結果進行驗證試驗，回歸分析與BA法分析均能夠得到一致性成立的結論。而基于BA法公式計算結果進行驗證試驗，在實例2中回歸分析未能得到一致性結論，在實例3中BA法分析未能得到一致性成立的結論。實例1中，回歸法公式樣本量略低于BA法公式樣本量，但在滿足回歸法公式計算所得樣本量的條件下，兩種一致性分析方法最終均可以達到預期的一致性結論。實例2和3中，回歸法公式計算的樣本量均顯著高于BA法樣本量公式計算結果，且在實例3中，BA法樣本量僅29例，比小樣本量預試驗的樣本量更小，該計算結果顯著偏低，若使用此方法計算樣本量將無法獲得定量一致性結果。

本研究推導的公式<1>和<2>中，t_{（n－2），1－α/2}和t_{（n－2），1－β/2}分別為置信度為1－α和1－β時的雙側t分布界值，該界值與樣本量有關，需借助計算機進行迭代運算。第1次迭代時用標準正態分布分位數Z替代t分位數獲得n的初始值，根據n計算自由度，得到該自由度和置信度下的t界值代入公式，如此反復。當迭代前后整數部分不變化時即停止，最后結果即為所求的樣本量。該過程較為繁瑣，但借助計算機的幫助已能輕松實現。在實際應用場景中，由于臨床試驗的樣本量一般較大，且考慮到試驗中可能出現的脫落及剔除，大多會在原有樣本量的基礎上增加10%～20%。在樣本量較大的情況下，t分布界值接近標準正態分布界值，為應用方便，可以直接使用標準正態分布的Z_1－α/2界值替代t_{（n－2），1－α/2}^［11］。此外，在基于回歸系數和回歸常數進行定量一致性判斷時，由于需要同時滿足兩個參數的置信區間的要求，故需對兩個參數假設檢驗的檢驗水準和檢驗效能進行平均分配。故公式<1>和<2>可以轉化為：

此外，根據本公式推導原理，回歸常數b₀和回歸系數b₁應同時滿足置信區間及一致性界限的要求。這類似于臨床等效性試驗中的有關情形，在等效性試驗中，其假設檢驗采用的是雙單側檢驗^［12］，在雙單側檢驗中涉及到交-并檢驗的方法^［13］，即當多重檢驗的每個原假設均被拒絕時才可拒絕原假設，此時無需對檢驗水準α進行校正。本研究同理，因對b₀和b₁兩個參數的假設檢驗均為雙單側檢驗，因此，無需對兩參數各自假設檢驗的第I類錯誤進行校正；而對于第Ⅱ類錯誤，對b₀和b₁的置信區間同時滿足一致性界限的要求可能會導致總體一致性評價假設檢驗的第Ⅱ類錯誤增加，使總的檢驗效能下降。因此，在實際應用中，建議適當增加檢驗效能的標準，如選擇（1－β）×100%=90%，以避免檢驗效能降低帶來的假陰性結果風險。

本研究推導的公式是首個用于回歸法定量一致性評價的樣本量公式，為回歸法在定量資料一致性評價中的應用提供了方法學支持。

利益沖突 所有作者聲明無利益沖突

作者貢獻聲明 陳飛龍：文章構思與設計、文章撰寫、公式推導、公式驗證；于淼：資料收集、數據審核、格式調整；徐濤：學術指導、項目監管

參 考 文 獻

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（收稿日期：2023-02-08）