拼圖研究整式的乘法

文／趙維坤

小學里，我們學習了長方形、平行四邊形、三角形面積等圖形的面積計算，發現圖形的面積可以用一個表達式表示。下面，我們利用面積的表達式進行新的研究。

請制作若干張3種類型的紙片：邊長為a的正方形、邊長為b的正方形和長為a、寬為b的長方形（如圖1）。下面，我們利用這些紙片拼圖，探究整式的乘法。

圖1

單項式與單項式相乘

用6 張長為a、寬為b的長方形紙片，拼成一個大長方形，我們可以拼出不同的圖形（圖2—圖5）。

圖2

圖3

圖4

圖5

以圖2 為例，這個圖形可以看成長為3a、寬為2b的大長方形，面積是3a·2b；也可以看成6 個小長方形的和，面積是6ab。所以3a·2b=6ab，其余圖形類似。

用不同的方法計算圖形的面積，所得結果相等，從而有單項式與單項式相乘的討論。反過來，對于2a·4b，我們能通過拼出如圖6 的圖形，得到它的結果為8ab，所以2a·4b=8ab。

圖6

單項式與多項式相乘

對于2a（3a+b），我們仍然用兩個因式代表長方形的長和寬，拼出長為（3a+b）、寬為2a的長方形（如圖7）。它由6 個邊長為a的正方形和2 個長為a、寬為b的長方形拼成，所以它的面積可以表示為6a2+2ab。所以2a（3a+b）=6a2+2ab。

根據前面的經驗，2a（3a-b）可用長為（3a-b）、寬為2a的長方形表示。如何得到（3a-b）2呢？在3a的基礎上減去b，我們可以采用覆蓋的方法（如圖8），未被遮蓋的部分等于大的長方形的面積減去遮住的面積，所以，2a（3a-b）=6a2-2ab。

圖7

圖8

多項式與多項式相乘

（a+b）（3a+b）可用長為（3a+b）、寬為（a+b）的長方形表示（如圖9），它由3 個邊長為a的正方形及4 個長為a、寬為b的長方形和1個邊長為b的正方形拼成，面積可以表示為3a2+4ab+b2，所以（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2。

類似地，（a+b）（3a-b）可用一邊為（a+b）、另一邊為（3a-b）的長方形的面積來表示（如圖10），未被遮住的面積又可表示為3a2+3ab-ab-b2，所以（a+b）（3ab）=3a2+2ab-b2。

圖9

圖10

我們除了用紙片直觀地得出單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式與多項式的結果，還可以從運算的角度解釋這些結果的合理性。例如，利用乘法交換律，將a與4 交換，并將2 與4 相乘，即可得到2a·4b=8ab；利用乘法分配律，可得 到2a（3a+b）=2a·3a+2a·b=6a2+2ab；同樣，利用乘法分配律，將（a+b）看作一個整體，有（a+b）（3a+b）=（a+b）·3a+（a+b）·b=a·3a+b·3a+a·b+b·b=3a2+4ab+b2。