因式分解之十字相乘法

文／江蘇省無錫市僑誼實驗中學 費小羅

小伙伴們，你們一定聽過十字繡吧。十字繡起源于中國唐宋時期，興于明清，后傳遍世界各地，以“十字”交叉針法為主。你們一定很好奇，十字繡與因式分解有什么不解之緣呢？且聽我娓娓道來。

多項式乘多項式中，有這樣一種類型，如：

小伙伴們仔細觀察就會發現規律：結果中的二次項系數由原來兩個多項式的一次項系數相乘得來，一次項系數由原來兩個多項式的常數相加得來，最后的常數由原來兩個多項式的常數相乘得來，即（a+p）（a+q）=a2+qa+pa+pq=a2+（p+q）a+pq（如圖1）。這個規律就是因式分解的“十字相乘法”，與十字繡中的“十字”交叉針法有異曲同工之妙。

圖1

下面，我嘗試運用“十字相乘法”對多項式a2+7a+12進行因式分解。

該多項式為二次三項式，很明顯，不能運用提公因式法、公式法進行因式分解。我將上述兩個多項式各項“對號入座”（如圖2）。

圖2

兩個整數相乘，結果為12，有6 種情況，即12=（+1）×（+12）=（-1）×（-12）=（+2）×（-6）=（-2）×（+6）=（+3）×（+4）=（-3）×（-4）。但上述6 種情況中，相加得7 的兩個整數只有（+3）和（+4），所以a2+7a+12=（a+3）（a+4），如圖3。

圖3

“十字相乘法”有個口訣：拆兩邊，湊中間，豎著拆，橫著寫。如因式分解a2-a-12，先“拆兩邊”，對“頭、尾”分解：a2通常拆成a×a，-12 拆成（+3）×（-4）等；再“湊中間”，即把上面拆解的系數進行交叉相乘后的值，再相加，看看哪種情況等于中間項的系數。（+3）+（-4）恰好等于-1，故a2-a-12=（a+3）（a-4）（如圖4）。

圖4

上文列舉的多項式的二次項系數都為1，那如果多項式二次項系數不為1呢？如多項式2a2-5a-12。其實啊，方法是一樣的，只是“兩邊”拆分的種類多一點，“湊中間”時多試試就行。對于多項式2a2-5a-12，2a2通 常 拆 成2a×a或a×2a，-12 拆成（-1）×（+12）或（+1）×（-12）或（-2）×（+6）或（+2）×（-6）或（-3）×（+4）或（+3）×（-4）。按圖3 的方式，我們通過多次“組合”，便得到想要“湊”的數，如圖5。所以2a2-5a-12=（2a+3）（a-4）。

圖5

小伙伴們，用“十字相乘法”因式分解，除了掌握方法外，還需要一點耐心，特別是遇到多種組合時，要耐心地多試幾次哦，這樣才能尋找到我們要的“湊中間”的數。另外，還有一種“十字相乘法”的進階：雙十字相乘法，如3x2+4xy-4y2+8x-8y-3，感興趣的小伙伴可以進一步探究哦。在探究過程中，你肯定會發現更多學習數學的樂趣。

教師點評

數學無處不在。小作者在生活中仔細觀察，發現十字繡與“十字相乘法”在名稱和“外形”上的相似之處，發現并描述了“十字相乘法”的原理，雙向逆推，還用圖標生動形象地把“十字相乘法”可視化，值得大家學習。