融入思政元素的“概率論”課程教學(xué)案例設(shè)計(jì)

陳衍峰

2020年6月教育部印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，要求高校要深化教育教學(xué)改革，充分挖掘各類課程思政資源，發(fā)揮好每門課程的育人作用，全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量.要把立德樹人融入思想教育、文化知識(shí)教育、社會(huì)實(shí)踐教育等環(huán)節(jié)，貫穿高等教育各環(huán)節(jié)［1］.課程思政被擺在了高等教育的突出位置，是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的重要舉措.全面推進(jìn)課程思政建設(shè)，可以很好地幫助學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀，更好地培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人［2-4］.

1 “概率論”課程融入思政元素的意義

“概率論”課程是高校理工類和經(jīng)管類學(xué)生的一門十分重要的基礎(chǔ)必修課程，受眾面廣泛，其主要任務(wù)是揭示隨機(jī)現(xiàn)象的內(nèi)在統(tǒng)計(jì)規(guī)律.學(xué)生通過對(duì)“概率論”課程的學(xué)習(xí)，可以掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象的基本思想和方法，進(jìn)而運(yùn)用此方法分析和解決社會(huì)生產(chǎn)和生活中的實(shí)際問題［5］.“概率論”課程是許多后續(xù)課程的基礎(chǔ)和工具，學(xué)好本門課程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維能力、數(shù)據(jù)處理能力、數(shù)學(xué)建模能力和理論聯(lián)系實(shí)際能力都具有重要作用.因此，在“概率論”課程的實(shí)際教學(xué)中適時(shí)融入典型的思政案例，使思政元素與知識(shí)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，可以很好地提升學(xué)生學(xué)習(xí)本門課程的興趣和積極性，筑牢本門課程基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，進(jìn)而為日后理論研究和實(shí)踐奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)［6］.將思政元素融入“概率論”課程教學(xué)既利于實(shí)現(xiàn)思政教育和專業(yè)教育的有機(jī)融合，又能發(fā)揮思政隱性教育的重要作用.

本文對(duì)“概率論”課程思政案例教學(xué)進(jìn)行深入研究，著重選取五個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行案例設(shè)計(jì)，將誠(chéng)實(shí)守信、持之以恒、腳踏實(shí)地、普遍聯(lián)系等思政元素融入案例之中，以達(dá)到“概率論”課程思政目標(biāo).

2 “概率論”課程知識(shí)點(diǎn)思政案例設(shè)計(jì)

2.1 貝葉斯公式思政案例設(shè)計(jì)

貝葉斯公式是“概率論”課程的一個(gè)重要教學(xué)內(nèi)容，具體可以概括為：某個(gè)事件A已經(jīng)發(fā)生，它的發(fā)生是由B1，B2，…，Bn等n個(gè)方面的原因?qū)е拢诒姸嗫赡艿脑蛑校稍駼2導(dǎo)致了結(jié)果A發(fā)生的可能性有多大？這個(gè)問題可以用概率P(B2|A)來刻畫.

在講授貝葉斯公式時(shí)，可以引入烽火戲諸侯的案例.西周末年，周幽王通過點(diǎn)燃烽火臺(tái)，引來各路諸侯救駕以博妃子一笑.后又多次效法，諸侯們漸漸失去了對(duì)幽王的信任.最后，當(dāng)邊關(guān)告急時(shí)，點(diǎn)燃烽火臺(tái)也沒有諸侯趕來救駕，導(dǎo)致幽王被殺，西周滅亡.

問題描述：幽王多次點(diǎn)燃烽火臺(tái)戲弄諸侯后，諸侯們?yōu)楹螡u漸失去了對(duì)他的信任呢？

問題解答：假設(shè)最初諸侯對(duì)幽王信任的概率為0.8，諸侯對(duì)幽王信任時(shí)幽王戲弄諸侯的概率為0.1，諸侯對(duì)幽王不信任時(shí)幽王戲弄諸侯的概率為0.6.

由此可以看出，諸侯們?cè)诘谝淮伪粦蚺螅瑢?duì)幽王的信任度由原來的0.8下降至0.4，再次應(yīng)用貝葉斯公式，可得第二次幽王戲弄諸侯后諸侯們對(duì)幽王的信任度為：

這表明幽王在第二次戲弄諸侯后，諸侯們對(duì)幽王的信任度由0.4下降至0.1.按此方法，還可計(jì)算出第三次幽王戲弄諸侯后諸侯們對(duì)幽王的信任度為0.018 2.從中不難看出，當(dāng)幽王3次戲弄諸侯后，諸侯們對(duì)幽王的信任度已由最初的0.8下降至0.018 2，可以說諸侯們對(duì)幽王基本沒有了信任度.因此，最后當(dāng)邊關(guān)真正告急時(shí)，沒有諸侯前來救駕，幽王被殺，西周滅亡.

這個(gè)例子用具體數(shù)字闡明了誠(chéng)實(shí)守信的重要性，揭示了一而再、再而三地連續(xù)性欺騙可以使人們對(duì)一件事情產(chǎn)生誠(chéng)信危機(jī)，以此引導(dǎo)每位學(xué)生悟懂誠(chéng)實(shí)守信是做人的根本，每個(gè)人都要有正確的三觀，同時(shí)誠(chéng)實(shí)守信、真抓實(shí)干也是中華民族的傳統(tǒng)美德.

對(duì)上述問題可以作進(jìn)一步思考.假如在3次戲弄諸侯后，幽王認(rèn)識(shí)到了問題的嚴(yán)重性，那么怎樣做才能再次獲得諸侯們的信任呢？

該問題即為利用貝葉斯公式求解P(A|)，此時(shí)，P(A)=0.018 2，P()=0.981 8，P(|A)=1-P(B|A)=0.9，P()=0.4，于是，有

這表明通過3次戲弄諸侯，幽王認(rèn)識(shí)到問題的嚴(yán)重性，第一次糾正錯(cuò)誤后，諸侯們對(duì)其信任度由0.018 2上升至0.04.用與上文同樣的方法，由貝葉斯公式計(jì)算可得出，幽王第二次至第七次糾正錯(cuò)誤后，諸侯們對(duì)其信任度的數(shù)值.7次信任度的具體數(shù)值如表1所示.

表1 7次信任度

從表1可以看出，隨著糾正錯(cuò)誤次數(shù)的增多，信任度數(shù)值也在逐漸增大，且在第七次時(shí)，數(shù)值重新回到了原始數(shù)值0.8以上，可見信任度的回升比較緩慢.

以此教育學(xué)生誠(chéng)實(shí)守信是當(dāng)代大學(xué)生應(yīng)有的品質(zhì)，是其在社會(huì)中前進(jìn)的基石，也是其踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀的基本價(jià)值準(zhǔn)則，在日常學(xué)習(xí)和生活的各方面都要恪守誠(chéng)信，比如：考試誠(chéng)信、經(jīng)濟(jì)誠(chéng)信、生活誠(chéng)信、上網(wǎng)誠(chéng)信、遵規(guī)誠(chéng)信等.因?yàn)橐坏┦牛傧胫亟ㄕ\(chéng)信，絕非一兩次信守承諾能夠做到，可能根本無法恢復(fù)，即使能夠恢復(fù)也需要很長(zhǎng)一段時(shí)間.

2.2 小概率事件原理思政案例設(shè)計(jì)

小概率事件原理又稱為實(shí)際推斷原理，是“概率論”課程中非常重要的原理之一，具體可以闡述為：一個(gè)隨機(jī)事件本身發(fā)生的概率很小，即在一次試驗(yàn)中實(shí)際不會(huì)發(fā)生，但在多次重復(fù)試驗(yàn)下，小概率事件一定會(huì)發(fā)生.深入研究該原理可以發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著從量變到質(zhì)變的哲學(xué)思想.

在進(jìn)行該原理所涉及的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容教學(xué)時(shí)，可以恰當(dāng)?shù)匾梅哆M(jìn)中舉的案例.引導(dǎo)學(xué)生以唯物主義的思想看待問題，培養(yǎng)他們鍥而不舍、刻苦勤奮和持之以恒的精神.

范進(jìn)中舉的故事源于《儒林外史》，講述范進(jìn)是一名秀才，勤學(xué)苦讀，自12歲應(yīng)考鄉(xiāng)試，連續(xù)應(yīng)考了20余次，最后一次才考中舉人的故事.

問題描述：從故事中可以看出，范進(jìn)每次考試能夠考中是一個(gè)小概率事件，而小概率事件在一次隨機(jī)試驗(yàn)中幾乎是不會(huì)發(fā)生的.為什么多次應(yīng)考后此小概率事件就成為必然事件發(fā)生了呢？假設(shè)每次應(yīng)考的結(jié)果之間有關(guān)聯(lián)，并不相互獨(dú)立，且每次考中的概率為0.3.

問題解答：設(shè)事件Ai表示第i次未考中，i=1，2，…，20，事件B表示考中.依題意，可以得出第一次考中的概率為P(B)=0.3，第二次考中的概率為P(B)=1-P(A1A2)=1-P(A1)P(A2|A1)=1-0.72=0.51，第三次考中的概率為P(B)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=1-0.73=0.657，按此規(guī)律繼續(xù)計(jì)算可得出，20次考試中每次考中的概率，具體數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 20次考中的概率

從表2可以看出，隨著考試次數(shù)的增多，考中的概率逐漸增大，且在第二十次考試時(shí)，考中的概率高達(dá)0.999 2，可以近似地認(rèn)為，此次考中的可能性是100%，即該事件是一個(gè)必然事件.

這個(gè)案例表明，小概率事件雖本身發(fā)生的可能性較小，但只要不斷重復(fù)去做，在多次試驗(yàn)后，小概率事件即成為了必然事件，也即不斷量變之后，達(dá)到了質(zhì)變.借此小概率事件原理告訴學(xué)生，在現(xiàn)實(shí)生活中，某件事即使成功的希望很小，也要盡最大的努力，當(dāng)努力的次數(shù)足夠多，幾乎可以肯定這件事情一定會(huì)成功.提醒學(xué)生要趨利避害，及時(shí)糾正不好的小概率事件，勿以惡小而為之，勿以善小而不為，一定要防微杜漸，切忌千里之堤，潰于蟻穴，一定要努力學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識(shí)，為社會(huì)的不斷發(fā)展貢獻(xiàn)自己的一份力量.

2.3 古典概型思政案例設(shè)計(jì)

在講授古典概型問題時(shí)，彩票問題是其中重要的內(nèi)容之一.眾所周知，近年來，電腦彩票在我國(guó)各省市均有發(fā)行，花幾元錢就可購(gòu)買一張，購(gòu)買后就有機(jī)會(huì)獲得幾百萬甚至上千萬的獎(jiǎng)金.因此，買彩票中獎(jiǎng)也成了許多人夢(mèng)寐以求的事情.下面以某地福利彩票36選7為例，通過計(jì)算查看中各等獎(jiǎng)的可能性有多大？

從彩票問題本身容易看出，中獎(jiǎng)概率問題屬于古典概型問題，其基本事件總數(shù)為n=.于是由古典概型計(jì)算公式可得，一等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率為，運(yùn)用同樣的方法可計(jì)算出，二等獎(jiǎng)至七等獎(jiǎng)各獎(jiǎng)項(xiàng)的中獎(jiǎng)概率分別為3.474 0×10-6，2.084 4×10-5，2.918 2×10-4，7.295 4×10-4，6.565 9×10-3，8.754 5×10-3.將其做成散點(diǎn)圖如圖1所示.

圖1 36選7彩票7個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的獲獎(jiǎng)概率散點(diǎn)圖

從圖1可以看出，隨著彩票中獎(jiǎng)等級(jí)的降低，中獎(jiǎng)的概率逐漸增大，這與實(shí)際情況相符合.其中一等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率為1.197 9×10-7，即一千萬人中約有1人中一等獎(jiǎng)，可見中一等獎(jiǎng)的概率相當(dāng)小，幾乎被看作是不可能實(shí)現(xiàn)的事情，所以人們幻想通過購(gòu)買彩票中大獎(jiǎng)發(fā)家致富是不現(xiàn)實(shí)的.基于此教育學(xué)生購(gòu)買彩票不能心存僥幸，要秉持一顆平常心來對(duì)待，要以支持國(guó)家福利事業(yè)發(fā)展的態(tài)度，為社會(huì)發(fā)展作出自己微薄的貢獻(xiàn)，充分發(fā)揚(yáng)社會(huì)主義人道精神，懂得做人要腳踏實(shí)地，一步一個(gè)腳印，只有憑借自己辛勤的工作才能獲得相應(yīng)的回報(bào).

2.4 二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布思政案例設(shè)計(jì)

在講授二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布時(shí)，可以引入一類無放回抽球問題作為教學(xué)案例.通過對(duì)其聯(lián)合分布列、兩個(gè)邊際分布列的求解，驗(yàn)證聯(lián)合分布列能夠決定邊際分布列，而邊際分布列不能決定聯(lián)合分布列.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，正確處理問題的整體與部分的關(guān)系.

無放回抽球問題：一口袋中有4個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1，2，2，3.從這個(gè)口袋中任抽取1球后，不再放回袋中，再?gòu)拇腥我獬槿?個(gè)球.設(shè)每次抽取球時(shí)，每個(gè)球被抽取到的幾率是等可能的.分別以ξ和η表示第一次和第二次抽取到的球上標(biāo)有的數(shù)字，求二維隨機(jī)變量(ξ，η)的聯(lián)合分布列，并求其兩個(gè)邊際分布列.

問題解答：從問題闡述中可以知道，ξ和η的可能取值均為1，2，3，且可求得相應(yīng)取值時(shí)的概率為：

因此，二維隨機(jī)變量(ξ，η)的聯(lián)合分布列如表3所示.

表3 (ξ，η)的聯(lián)合分布列

由聯(lián)合分布列可以求得關(guān)于ξ和η的邊際分布列分別如表4、表5所示.

表4 ξ的邊際分布列

表5 η的邊際分布列

由上面的求解過程可以看出，如果知道了某個(gè)二維隨機(jī)變量(ξ，η)的聯(lián)合分布列，那么可以由聯(lián)合分布列求出ξ和η的邊際分布列，這是因?yàn)槁?lián)合分布體現(xiàn)了(ξ，η)的整體規(guī)律性，邊際分布列體現(xiàn)了ξ和η的部分規(guī)律性，而當(dāng)整體規(guī)律性確定了，那么部分規(guī)律性當(dāng)然也就確定了.

另外，若從二維隨機(jī)變量(ξ，η)本身來看，這是由ξ和η兩個(gè)單個(gè)隨機(jī)變量組成.在本案例求解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列時(shí)，是在兩個(gè)隨機(jī)變量公共取值范圍上進(jìn)行的，這也很好地體現(xiàn)了局部也在影響整體.

鑒于此，可以引導(dǎo)學(xué)生正確把握部分與整體的關(guān)系.這個(gè)關(guān)系類似于個(gè)人的三觀與社會(huì)主義核心價(jià)值觀之間的關(guān)系，即部分的發(fā)展影響整體，整體的進(jìn)步離不開部分，整體決定部分，部分不能決定整體，但可以反作用于整體.聯(lián)想到生活當(dāng)中，每個(gè)學(xué)生都要做堪當(dāng)民族復(fù)興大任的時(shí)代新人，將個(gè)人夢(mèng)與民族夢(mèng)、國(guó)家夢(mèng)緊緊聯(lián)系在一起，將個(gè)人的小我融入祖國(guó)的大我，樹立崇高理想，與歷史同向，與祖國(guó)同行，與人民同在，用拼搏和汗水為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)添磚加瓦.

2.5 二項(xiàng)分布思政案例設(shè)計(jì)

二項(xiàng)分布是離散型隨機(jī)變量常用分布中的一個(gè)，生活中的許多隨機(jī)現(xiàn)象往往都可以用二項(xiàng)分布來表達(dá)，因此，二項(xiàng)分布在“概率論”課程教學(xué)中顯得非常重要.

在講授此內(nèi)容時(shí)，可以巧妙地引入一類保險(xiǎn)投保問題作為教學(xué)案例.通過對(duì)此類問題的解決，啟迪學(xué)生懂得萬物皆有聯(lián)系，學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待和處理問題.

問題描述：設(shè)某保險(xiǎn)公司的某人壽保險(xiǎn)險(xiǎn)種有1 000人投保，每個(gè)人在一年內(nèi)死亡的概率為0.005，且每個(gè)人在一年內(nèi)是否死亡是相互獨(dú)立的，試求在未來一年中這1 000個(gè)投保人中死亡人數(shù)不超過10人的概率.

問題解答：此題從正面出發(fā)，常規(guī)的解決方法是設(shè)ξ為1 000個(gè)投保人中在未來一年內(nèi)死亡的人數(shù)，因此，可知ξ服從參數(shù)為1 000，0.005的二項(xiàng)分布，于是所求問題的概率為：

此題中n很大，p很小，且λ=1 000×0.005=5比較適中，因此，有

而此式的求解可以通過查閱泊松分布表完成，方便快捷，容易求得結(jié)果為0.986.

通過對(duì)該問題解答過程的學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生自己總結(jié)、發(fā)現(xiàn)和體會(huì)其中的巧妙聯(lián)系和變通，以此樹立良好的學(xué)習(xí)信心，很好地學(xué)習(xí)本門課程.同時(shí)在學(xué)習(xí)和生活中遇到困難時(shí)，要積極尋找解決問題的方法，善于運(yùn)用事物之間的普遍聯(lián)系，適時(shí)轉(zhuǎn)化思維模式，多角度、多維度思考和解決問題.

3 結(jié)語(yǔ)

本文緊密結(jié)合立德樹人的教育理念，通過精心設(shè)計(jì)誠(chéng)實(shí)守信、持之以恒、腳踏實(shí)地、整體與部分和普遍聯(lián)系等思政案例，潛移默化實(shí)現(xiàn)了思政育人的教學(xué)效果，同時(shí)極大地激發(fā)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

“概率論”課程思政涉及面廣，不僅涉及量變到質(zhì)變、整體與部分、普遍聯(lián)系、現(xiàn)象和本質(zhì)、偶然和必然等辯證唯物主義思想，還涉及人生觀、理想信念、科學(xué)精神、社會(huì)主義核心價(jià)值觀、家國(guó)情懷等.“概率論”課程思政教學(xué)中既有知識(shí)傳授，又有價(jià)值引領(lǐng)，尤為重要的是能力培養(yǎng)，即通過思政案例分析引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)掌握數(shù)學(xué)規(guī)律，運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行理性思考，分析和解決實(shí)際問題.目前“概率論”課程思政教學(xué)已經(jīng)取得一定成效，更深入更具育人功能的思政案例需要在今后教學(xué)中繼續(xù)挖掘和探索.