一類廣義Sylvester矩陣方程組對稱解的MCG算法

陳世軍

在控制與系統理論、圖形恢復、信號處理等領域［1］經常會出現求解Sylvester矩陣方程問題，因此研究Sylvester矩陣方程約束解具有非常重要的實際意義和理論價值.近年來，許多學者研究了各類Sylvester矩陣方程，也建立了許多求解方程的算法.如針對連續的Sylvester矩陣方程AX+XB=F，李英［2］提出分裂迭代算法，將連續Sylvester矩陣方程的系數矩陣分裂為對稱矩陣和反對稱矩陣的分裂迭代算法，提高了算法的易操作性.顧傳青等［3］給出了求解Sylvester方程的廣義非對稱PMHSS算法并分析了算法的性質.HU等［4］討論了Sylvester矩陣方程的共軛迭代算法和Sylvester矩陣方程的最小二乘Hamiltonian解，對稱矩陣在小波濾波器設計中有著非常重要的作用［5］.彭卓華等［6］基于共軛梯度算法，建立了一類求解矩陣方程組帶有子矩陣約束的最小二乘對稱解的迭代算法.

本文考慮一類廣義Sylvester矩陣方程組的對稱解，其矩陣方程組為：

式 中：Ai，Bi，Ci，Di，Fi∈Rn×n（i=1，2），X，Y∈Rn×n為未知矩陣.當Sylvester矩陣方程組有對稱解時，建立MCG算法求該矩陣方程組的對稱解，并在對稱解集合中，求出給定矩陣的最佳逼近矩陣.

1 問題提出

針對矩陣方程組（1）討論以下兩個問題.

問題1若方程組（1）有對稱解，求(?)∈SR，使得

2 求解問題1的MCG算法

先引入記號：

結合這些記號，基于共軛梯度算法原理，建立求解問題1的MCG算法步驟如下：

步驟1：任意給定矩陣(X1，Y1)∈SR，置k：=1，計算殘差.

步驟2：更新矩陣.

步驟3：計算殘差，更新迭代方向.

在迭代計算中，若在某次迭代出現R k=O，或者出現R k≠O而Q k=O時，則迭代終止.否則，令k：=k+1，迭代計算進入步驟2.很顯然，在算法中得到的矩陣X k，Y k與P k都符合

下文給出MCG算法的基本性質，證明MCG算法在忽略舍入誤差下能在有限步迭代計算后收斂.

性質1對任意的A∈Rn×n，(X，Y)∈SR，都有

證明 由矩陣跡的運算性質及X=XT，Y=YT，有

性質2對于MCG算法中的矩陣Ri，Qi和，有

性質3設k≥2，對MCG算法中的矩陣Ri和Qj，有

證明 因為

利用性質1和性質2可得

假設當k=s(s≥2)時，式（2）成立，則當k=s+1(s≥2)時，有

所以當k=s+1時，式（2）也成立.由數學歸納法原理可得，當1≤j＜i≤k時，式（2）成立.又由矩陣內積的性質可知性質3成立.

性質4設()∈SR是問題1的任意一組解，則任意給定一個初始矩陣(X1，Y1)∈SR，在MCG算法迭代計算中得到的矩陣R k，X k，Y k和Q k都滿足

證明 當k=1時，有

假設當k=i(i≥2)時，式（3）成立，則當k=i+1時，有

由數學歸納法原理可得性質4成立.

定理1設問題1相容，對任意的初始矩陣(X1，Y1)∈SR，文中建立的MCG算法能在有限步迭代計算后收斂，也就是得到方程組（1）的一組對稱解.

定理3假如問題1有對稱解，那么任取矩陣H1，H2∈Rn×n，只要矩陣(X，Y)符合

則經過有限次迭代計算后，在MCG算法中可以得到方程組（1）的唯一極小范數對稱解.

證明 結合文中建立的MCG算法和定理1，按照式（4）選擇任意一個初始矩陣，那么經過有限次迭代計算后可得問題1的一組對稱解，并且對稱解矩陣形式為：

下文證明(X*，Y*)是問題1的極小范數對稱解，考慮矩陣方程組

由上述分析可知，方程組（1）與方程組（6）是同解的，即問題1的對稱解也是方程組（6）的對稱解，這里把問題1的解集合記作SE，用來表示方程組（6）的解集合，則可得SE?.這里要證明問題1的極小范數對稱解是(X*，Y*)，只需證明(X*，Y*)是方程組（6）的極小范數對稱解.約定矩陣的乘積運算優先于矩陣的Kronecker積運算.

記

將式（5）中的矩陣X*，Y*按行拉直可得

3 求解問題2的MCG算法

當問題2有約束解時，其解集合SE為非空集合，取(X，Y)∈SE，有

由矩陣內積運算可得，上式等號右端兩個矩陣的內積為零，因此

則求解問題2中給定矩陣的最佳逼近矩陣解等價于求矩陣方程組

4 數值算例

根據文中建立的MCG算法求解矩陣方程組（1）的對稱解和極小范數對稱解，以及求解給定矩陣X(0)，Y(0)∈Rn×n的最佳逼近矩陣，這里系數矩陣均為n階方陣，當 ||A≤10-9時，則認定矩陣A為零矩陣.算例中的程序均在Matlab軟件2014版-PⅣ3.0 GHz微機環境下運行，其中系數矩陣如下：

①若選擇初始矩陣X1=Y1=I，根據文中MCG算法可得矩陣方程組（1）的一組對稱解，其中計算時間（秒）、迭代次數、實際誤差及解矩陣范數隨著矩陣階數n的變化如表1所示.

表1 方程組（1）對稱解的計算結果

②在式（4）中取H1=D1，H2=D2作為初始矩陣，按照MCG算法可求得矩陣方程組（1）的極小范數對稱解，當n=1時，求得矩陣方程組（1）的極小范數對稱解為：

當矩陣階數n增加時，得到的計算結果如表2所示.

表2 方程組（1）極小范數對稱解的計算結果

在SE中X(0)，Y(0)的最佳逼近矩陣為：

5 結語

文中基于共軛梯度算法原理建立了求解一類廣義Sylvester矩陣方程組對稱解的MCG算法，該MCG算法能自動判斷方程組是否有對稱解，同時MCG算法對方程組的系數矩陣不要求正定或者列滿秩，因而被廣泛應用于求解線性方程的各類約束解.若修改算法中的矩陣類型，還可以給出求Sylvester矩陣方程組其他約束解的修正共軛梯度算法.