基于蛇算法的主動懸架線性二次型調節器優化設計

范秋霞, 張珂, 徐磊, 龔巖, 常凱樂

(山西大學自動化與軟件學院, 太原 030031)

車輛懸架是一種在車體與車輪之間相互傳遞作用力的裝置,其作用是減輕車輛行駛在不平路面上的車體振動[1]。因此,懸架性能的好壞對車輛的行駛平順性、路面附著性、行駛安全性有著至關重要的影響。懸架可分為被動懸架和主動懸架[2]。被動懸架是由彈簧和阻尼器構成的純機械系統,其彈性剛度和阻尼系數不能隨路面變化而進行控制調節,在一定程度上限制了車輛行駛性能的提升[3]。

主動懸架主要是由作動器、阻尼器和彈簧3個部分組成[4]。相比于被動懸架,主動懸架可以更好地兼顧行駛平順性和安全性[5]。

主動懸架性能好壞的關鍵在于其控制策略的設計[6-7]。常見的控制策略有天棚控制[8-9]、 地棚控制[10]、比例-積分-微分控制(proportional-integral-derivative,PID)[11-12]、最優控制、模型預測控制[13]、滑膜控制[14-15]、神經網絡控制[16-17]以及多種控制方法相結合的混合控制等。天棚控制、地棚控制容易實現,但控制目標單一,對工況的適用性有一定的局限[18]。模型預測控制、滑模控制能夠對非線性懸架起到良好的控制作用,但對系統數學模型的建模精度要求極高[19],控制器結構設計復雜。其中,最優控制中的線性二次型調節器(linear quadratic regulator,LQR)控制器算法簡單成熟,能夠以較小的損耗得到最優的控制輸入并且適用于多目標控制,因此在車輛系統動力學領域被廣泛應用。LQR控制器的設計重點是對權重系數矩陣Q和R的設定。一般的方法是憑借工程經驗設定,存在主觀性、效率低等缺點,難以保證主動懸架系統良好的減振效果。

智能優化算法的發展解決了眾多控制器參數優化整定的問題。王鵬飛等[20]將引入動態慣性權重和禁忌搜索的粒子群算法與二自由度主動懸架的LQR控制器相結合,極大緩沖了路面不平對車身的沖擊;李軍等[21]利用引力搜索算法設計半主動懸架的線性二次高斯控制器(linear quadratic Gaussion, LQG)的參數,增強了車輛行駛的平穩性;岳杰等[22]將遺傳算法對電磁懸架的LQR控制器進行優化,大大提升了履帶車輛的行駛平順性;王雅璇等[23]利用改進的人工蜂群算法優化主動懸架的LQR控制器,改善了車輛的行駛平順性和操縱穩定性;Manna等[24]采用蟻群算法確定LQR控制器的最佳權值,并進行臺架實驗以驗證其控制效果; 潘成龍等[25]采用自適應粒子群算法尋優9自由度主動懸架的LQR權重系數,改進了車輛懸架的平順性和車載設備的可靠性。

近年來,眾多新型仿生優化算法相繼涌現,并被成功應用到實際工程中。蛇算法(snake optimizer,SO)是Hashim等[26]提出的一種新型群體智能算法。該算法通過模擬蛇群的覓食、爭奪配偶、交配和產卵行為在搜索空間中搜索最優解。SO算法相較于鯨魚算法、哈里斯鷹算法、蚱蜢算法等具有更強的優化能力,具備較大的應用潛力。

基于此,現提出利用SO算法對主動懸架LQR控制器的權重系數矩陣進行優化設計的策略,從而解決憑借工程經驗設定LQR控制器權重系數矩陣的主觀性、效率低等問題,提升車輛的舒適性和安全性,減少交通事故的發生。搭建1/4車輛懸架仿真模型,并分別以C級路面和正弦沖擊路面為激勵,在車身加速度、輪胎動載荷、懸架動行程3個方面將被動懸架、傳統LQR控制的主動懸架、遺傳算法(genetic algorithm,GA)優化LQR控制的主動懸架、粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)優化LQR控制的主動懸架和SO優化LQR控制的主動懸架進行比較,驗證該策略的有效性。

1 懸架動力學模型

建立1/4主動懸架系統的二自由度動力學模型,如圖1所示。在車身和車輪之間接入一個作動器,可以輸出垂直方向的控制力以抑制車輛在行駛過程中由于不平路面而引起的車體上下振動,從而提升人們駕乘車輛的舒適感。根據牛頓運動定律,建立1/4主動懸架系統的動力學方程,表達式分別如下。

圖1 1/4主動懸架系統模型Fig.1 1/4 active suspension system model

(1)

2 主動懸架LQR控制器

(2)

式(2)中:

系數矩陣

在LTI系統具有能控性和能觀性且X(0)=0的條件下,LQR控制器可以通過求解二次型損失函數J的最小值來獲得系統的最佳狀態和最優控制輸入。

(3)

式(3)中:Q為控制狀態的半正定實對稱矩陣;R為控制輸入的正定實對稱矩陣。將矩陣Q和R代入式(4)所示的Riccati方程,求解出矩陣P,再利用式(5)計算出作動器的最優控制力Fa。

(4)

(5)

3 蛇算法優化主動懸架LQR控制器

當1/4主動懸架系統的參數確定后,系統性能指標的好壞取決于LQR控制器權重系數矩陣Q和R的取值。但矩陣Q和R的取值往往憑借工程經驗設定,工作量大且難以保證系統性能指標的最優。對此,利用SO算法對LQR控制器的權重系數矩陣Q和R進行優化,以克服工程經驗設定方法中存在的主觀性、效率低等缺陷。SO算法優化主動懸架LQR控制器的原理如圖2所示。LQR控制器根據SO算法優化產生的權重系數矩陣Q和R對主動懸架系統輸出控制力Fa,以減輕懸架系統在路面激勵作用下而發生的車身垂向振動。SO算法則根據主動懸架系統的輸出向量Y計算目標函數值,憑借自身良好的全局搜索能力和局部搜索能力搜索目標函數的最小值直至滿足迭代終止條件,從而找出主動懸架LQR控制器的最優權重系數矩陣Qbt和Rbt。

圖2 SO算法優化主動懸架LQR控制器原理圖Fig.2 Schematic diagram of SO optimized LQR controller of active suspension

3.1 目標函數

懸架系統的3個性能指標具有不同的單位并且數值量級存在較大的差距,因此將主動懸架系統的各性能指標分別除以具有相同參數的被動懸架系統對應的性能指標以實現去量綱處理的目的。考慮到懸架系統的3個性能指標之間既相互聯系又相互矛盾,采用加權求和的方法,可使得多目標優化問題轉化為單目標優化問題,簡化問題的復雜程度。同時還有車輛對地面的附著性要求和懸架內部結構的操縱安全性要求,目標函數需要具有約束條件,即確保輪胎動載荷小于懸架系統的重力,懸架動行程不得超過懸架限位行程即懸架動行程的最大值。目標函數按式(6)構造,最終要找到目標函數L的最小值。

(6)

3.2 基于蛇算法的權重系數優化

蛇算法的優化過程實際是蛇群個體不斷逼近最佳位置的更新過程。蛇算法優化主動懸架LQR控制器的具體步驟如下。

步驟1設置算法控制參數。

設置蛇群規模n=50,終止迭代次數T=100,q1、q2、q3、q4、r的取值范圍為[1×10-5,1×103],食物量閾值Qlim=0.25,溫度閾值Tlim=0.5,當前食物量Q(t)和溫度T(t)的計算公式如(7)和式(8)所示。

(7)

(8)

式中:t為當前的迭代次數;T為終止迭代次數。

步驟2構造適應度函數。

蛇群中個體位置的好壞由適應度函數Fit(Xi)來評價。為方便處理,將適應度函數Fit(Xi)選取為目標函數L。

步驟3隨機初始化。

個體位置Xi表示為由q1、q2、q3、q4、r組成的空間向量,即Xi=[q1,q2,q3,q4,r],維數d=5。群體X均分成雌性群體Xf和雄性群體Xm,隨機賦予每個個體初始值并計算其適應度值。

步驟4全局搜索。

當食物量不充裕,即Q

(9)

(10)

式(10)中:Fit(Xmrd)、Fit(Xfrd)分別為雄雌兩群體中隨機個體的適應度;Fit(Xmi)、Fit(Xfi)分別為雄雌群體中第i個個體的適應度。

步驟5局部搜索。

在局部搜索階段,食物充足即Q≥Qlim,蛇群活動狀態只受溫度T(t)的影響。當溫度較高即T(t)>Tlim時,蛇群進入覓食狀態,雌雄個體位置按照式(11)在全局最佳個體位置Xfd附近進行搜索。

(11)

式(11)中:Xfd(t)為第t代蛇群的最佳個體位置。當溫度較低即T(t)≤Tlim時,蛇群以隨機概率P選擇爭奪配偶狀態還是交配狀態。雌雄個體按照式(12)進行爭奪配偶狀態的位置更新,按照式(13)進行交配狀態的位置更新。

(12)

(13)

式中:Xmbt(t)、Xfbt(t)分別為雄性最佳個體位置和雌性最佳個體位置;Ffi、Fmi分別為第i個雌性個體、第i個雄性個體爭奪配偶的戰斗能力,由式(14)計算;Mfi、Mmi分別為第i個雌性個體和第i個雄性個體的交配能力,由式(15)計算。

(14)

(15)

當交配完成后,蛇群會隨機決定是否產卵。產卵的本質是按照式(16)隨機改變雌雄最差的個體位置Xmwt和Xfwt。

Xmwt(Xfwt)(t+1)=Xmin+rd(1,d)⊙

(Xmax-Xmin)

(16)

步驟6更新雌性與雄性的個體位置和適應度值。

將經過全局搜索和局部搜索的雌雄個體與上一代的雌雄個體進行適應度比較,若當前個體適應度小于上一代個體適應度,則保留當前個體的位置和適應度,反之,當前個體的位置和適應度更新為上一代的個體位置和適應度,從而得出第t代的雌雄個體位置和其適應度。

步驟7更新蛇群整體、雌雄群體的最佳個體位置和最佳適應度。

確定當前雄性群體中最小適應度個體為當前雄性最佳個體,并與歷史雄性最佳個體進行適應度比較。若當前雄性最佳個體的適應度較小,則代替歷史雄性最佳個體位置和適應度值,反之則保留歷史雄性最佳個體作為當前雄性最佳個體。同理對雌性群體也進行相同的處理,得到更新的雌性最佳個體。將更新的雌性最佳個體和雄性最佳個體進行適應度比較,選取較小適應度的個體作為蛇群整體的最佳個體Xfd。

步驟8判斷終止條件,算法收斂,輸出最優解。

判斷當前迭代次數t是否大于T。若t≤T,則循環步驟4～步驟7,直到t>T,輸出最優解Xfd=[Qbt,Rbt],運算結束。圖3為SO算法優化LQR控制器的流程圖。

圖3 SO算法優化LQR控制器的流程圖Fig.3 Flow chart of LQR controller optimized by SO

4 仿真分析

根據第1節的1/4主動懸架動力學模型,分別搭建了1/4主動懸架和1/4被動懸架的Simulink仿真系統。系統采用的懸架參數來源于文獻[27],如表1所示。SO算法的代碼在MATLAB中實現。為驗證SO算法對LQR控制器權重系數矩陣優化的有效性,將1/4被動懸架、傳統LQR控制的主動懸架、遺傳算法(GA)優化LQR控制的主動懸架、粒子群算法(PSO)優化LQR控制的主動懸架和SO優化LQR控制的主動懸架分別在C級隨機路面和正弦沖擊路面下進行仿真對比。其中GA算法、PSO算法、SO算法具有相同的迭代次數T、群體規模N、空間維數d、搜索范圍和適應度函數Fit(Xi)。

表1 1/4主動懸架參數Table 1 1/4 Active suspension parameters

4.1 C級路面

基于濾波白噪聲法建立C級路面的時域數模型如下。

(17)

式(17)中:nmin為路面空間頻率的最小值,取0.01 m-1;v為車速,取10 m/s;Gr(n0)為路面不平度系數,取256×10-6m-3;W(t)為標準高斯白噪聲。GA、PSO、SO在該路面下對主動懸架LQR控制器權重系數矩陣的優化結果如表2所示,適應度曲線如圖4所示,懸架性能指標的仿真曲線如圖5～圖8所示,均方根數據統計如表3所示。

表2 C級路面的LQR權重系數矩陣優化結果Table 2 LQR weight coefficient matrix optimization results for C-class road

表3 C級路面下懸架性能指標的均方根Table 3 Root mean square of suspension performance indicators under C-class road

圖4 C級路面下的適應度曲線Fig.4 Fitness curves under C-class road

圖5 C級路面下傳統LQR控制懸架性能仿真曲線Fig.5 Simulation curves of conventional LQR-controlled suspension performance under C-class road

圖6 C級路面下GA優化LQR控制懸架性能仿真曲線Fig.6 Simulation curves of GA optimized LQR-controlled suspension performance under C-class road

圖7 C級路面下PSO優化LQR控制懸架性能仿真曲線Fig.7 Simulation curves of PSO optimized LQR-controlled suspension performance under C-class road

圖8 SO優化LQR控制的仿真曲線Fig.8 Simulation curves of SO optimized LQR-controlled suspension performance under C-class road

以被動懸架的性能指標為標準,傳統LQR控制的主動懸架、GA優化LQR控制的主動懸架、PSO優化LQR控制的主動懸架和SO優化LQR控制的主動懸架在車身加速度均方根上分別提升22.18%、39.60%、50.00%%、59.47%;在輪胎動載荷均方根上分別提升19.07%、30.87%、36.14%、37.89%;在懸架動行程均方根上分別提升21.94%、34.56%、33.98%、42.12%。所以傳統LQR控制的主動懸架、GA優化LQR控制的主動懸架、PSO優化LQR控制的主動懸架和SO優化LQR控制的主動懸架相較于被動懸架在性能指標上均有不同程度的優化提高,其中SO優化LQR控制的主動懸架優化效果最好。GA算法和PSO算法相比于SO算法易于陷入局部最優而導致其優化結果不如SO算法的優化結果,所以SO優化LQR控制的主動懸架可以較好地改善車輛在C級路面上的行駛平順性、路面附著性和操縱安全性。

4.2 正弦沖擊路面

正弦沖擊路面的數學模型為

(18)

式(18)中:λ為顛簸幅度,取10 m;車速v=10 m/s。GA、PSO、SO在該路面下對主動懸架LQR控制器權重系數矩陣的優化結果如表4所示,適應度曲線如圖9所示。圖10～圖12顯示了被動懸架和4種主動懸架的性能指標仿真曲線,超調統計結果如表5所示。

表4 正弦沖擊路面的LQR權重系數矩陣優化結果Table 4 LQR weight coefficient matrix optimization results for sinusoidal bump road

表5 正弦沖擊路面下懸架性能指標的超調Table 5 Overshoot of suspension performance indicators under sinusoidal bump road

圖9 正弦沖擊路面下的適應度曲線Fig.9 Fitness curve under sinusoidal bump road

圖10 正弦沖擊路面下的車身加速度曲線Fig.10 Sprung mass acceleration curve under sinusoidal bump road

圖11 正弦沖擊路面下的輪胎動載荷曲線Fig.11 Dynamic tire load curve under sinusoidal bump road

圖12 正弦沖擊路面下的懸架動行程曲線Fig.12 Suspension working space curve under sinusoidal bump road

從圖9可以看出,GA、PSO算法仍會陷入局部最優而導致優化結果不如SO算法的優化結果。從圖10～圖12可以看出,傳統LQR控制的主動懸架、GA優化LQR控制的主動懸架、PSO優化LQR控制的主動懸架和SO優化LQR控制的主動懸架在正弦沖擊路面下的穩定時間分別為4、2.8、1.8、1.4 s;所以SO優化LQR控制的主動懸架在正弦沖擊路面下可以更快地趨于穩定。從表5可以看出,傳統LQR控制的主動懸架、GA優化LQR控制的主動懸架、PSO優化LQR控制的主動懸架和SO優化LQR控制的主動懸架分別對車身加速度的超調優化達35.23%、49.73%、68.40%、79.21%;對輪胎動載荷的超調優化達35.07%、49.03%、56.28%、59.22%;對懸架動行程的超調優化達30.93%、30.30%、0.71%、16.33%。所以SO優化LQR控制的主動懸架在車身加速度和輪胎動載荷的超調效果均優于被動懸架、傳統LQR控制的主動懸架、GA優化LQR控制的主動懸架和PSO優化LQR控制的主動懸架。雖然SO優化LQR控制的主動懸架在懸架動行程方面的超調效果不如傳統LQR控制的主動懸架和GA優化LQR控制的主動懸架,但相比于被動懸架和PSO優化LQR控制的主動懸架仍有較大的改進。綜上,SO優化LQR控制的主動懸架可以較好地改善車輛在正弦沖擊路面下的行駛平順性、路面附著性和操縱安全性。

5 結論

提出一種基于SO算法優化LQR控制器權重系數矩陣的策略,建立了與懸架性能指標相關的目標函數L,搭建了1/4懸架的Simulink仿真模型。通過對比被動懸架、傳統LQR控制的主動懸架、GA優化LQR控制的主動懸架、PSO優化LQR控制的主動懸架和SO優化LQR控制的主動懸架,得出以下結論。

(1) SO算法、GA算法、PSO算法均可以對主動懸架LQR控制器進行參數優化,避免了工程經驗設定權重系數矩陣Q和R的主觀性、效率低等缺點,降低了勞動成本。

(2) 從仿真效果上看,相比于GA算法、PSO算法,SO算法的全局搜索和局部搜索能力較強,不易陷入局部最優,對LQR控制器權重系數矩陣的優化設計效果較好,可以有效提升懸架系統的綜合減振性能。在后續工作中會開展實例論證,以進一步證實SO優化LQR控制主動懸架的性能可靠性。