高等院校線性代數的課程思政探索

摘 "要：數學類課程思政一直是難點、研究成果也較為欠缺。為了實現全學科的“三全育人”目標，文章根據線性代數課程思政的特點，并結合新疆財經大學的具體情況，從線性代數的特點出發，探討了線性代數的課程思政建設方法，詳細闡述了線性代數課程思政的具體切入點：與馬克思主義哲學原理相結合、從線性代數的發展歷史切入、從線性代數的應用實例切入、和數學建模相結合、和線性代數中的數學美學結合等。只有課程思政和教學改革相輔相成，才能使課程思政更加深入人心。

關鍵詞：高等院校；線性代數；課程思政

中圖分類號：G642 " "文獻標識碼：A " "文章編號：1673-7164（2024）03-0112-04

大學是培養高級人才的搖籃，教育要以立德樹人為根本任務，促進學生德智體美勞全面發展。為牢牢堅持社會主義辦學方向不動搖，思想政治工作是學校各項工作的生命線［1］。課程思政作為其中的重要一環，可將思想政治理論課“潤物細無聲”地融入各類課程的課堂教學中。通過課程思政實現教書育人的目標，是每個教師的光榮使命［2］。

為落實三全育人任務，高等院校的教師要進行相應的課程思政建設，但研究成果大多集中在人文社科類課程。數學類課程的課程思政相關研究相對較少，尤其是線性代數課程思政。由于線性代數的抽象性，課程思政研究成果欠缺、研究內容也較淺，直到2020年，線性代數課程思政的相關文章才漸漸增多。例如，崔冉冉等人從實際的例子出發探索線性代數思政建設［3］；趙操等人以高斯消元法入手探討了線性代數的思政改革［4］；楊威等人從特殊數字、數學發展史、數學知識點等切入點進行線性代數思政建設［5］；李一鳴等人探討了金融類高校線性代數的課程思政建設［6］；曹潔等人深入研究了如何在課堂環節進行線性代數的課程思政設計等［7］。從總體來看，線性代數課程思政的相關文章仍然過少，沒有系統的方案，亟待對線性代數課程思政建設進行充分的發掘和探討。

一、“線性代數”課程情況

新疆財經大學現有經濟學、管理學、法學、工學、理學、文學六大學科。通過近幾年高考數學成績可以發現，新疆高校的大學生普遍數學基礎薄弱，對于學習更為抽象的線性代數就更不容易。因此，教師如何講好線性代數、讓學生容易理解，如何將思政元素巧妙融入，是新疆高校數學類課程思政的重點和難點［8］。

“線性代數”課程作為新疆財經大學的公共數學基礎課，是絕大部分專業（理、工、經管等）學生的必修課程，涵蓋面廣泛。在基礎類課程中引入思政元素可使思政效果更好，更加有效率［9］。“線性代數”一般作為學生大一、大二所學的課程，此階段大學生正處于形成個人世界觀、人生觀、價值觀的關鍵時期［10］。教師在課程教育中的價值引領格外重要。線性代數課程往往內容多、課時緊、學習難度大，因此線性代數的課程思政要牢記專業教學是主題，課程思政是融入。教師要將課程思政融入日常教學活動中，潛移默化地影響學生的思想政治觀念。

二、“線性代數”課程思政的特點

從學科角度來看，數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。數學具有科學性、抽象性、系統性等特性［11］。由于其具有高度抽象性，學生在學習數學類課程時往往存在畏難和排斥的情緒。教師如何更加形象生動化地講授數學類課程是提高課程思政效果的必要前提。

“線性代數”作為一門抽象的數學類課程，以算符和公式，反映了最本質的客觀自然規律［12］。“線性代數”的學習可以鍛煉學生的抽象思維能力、邏輯推理能力與判斷能力、空間想象力及數學語言的表達能力。由于“線性代數”的高抽象性使得在課程教育中刻意生硬地穿插思政元素反而會引起學生的反感。如何在“線性代數”中巧妙地融入思政元素，成了“線性代數”課程思政建設首先要思考的問題。

三、“線性代數”課程思政建設

（一）和馬克思主義哲學原理相結合

數學知識中的概括和抽象是馬克思哲學思想中的唯物主義在數學上的具體運用——事物是存在著客觀規律的、數學是反映客觀規律的、人能夠認識物質等。數學類課程具有的基本特質，使得數學類課程普遍可以體現抓住主要矛盾、從特殊到一般的思想，可以培養學生歸納、概括等推理能力［13］。數學類課程中包含數量關系和各種性質的知識，又對應著哲學中的“量變與質變”的辯證關系。通過具體的實際問題抽象出數學原理，再將數學原理運用到實踐活動中，體現了經過“由特殊到一般，再由一般到特殊”的認識過程，“現象和本質”的辯證關系，驗證了“實踐—理論—實踐”的馬克思主義認識論［14］。

線性代數是用來處理線性關系問題的代數學的一個分支，研究對象是向量、線性空間、線性變換等。通過“以直化曲”的線性思想，線性代數本身就是一個把握實際問題中主要矛盾的數學工具。線性代數中出現的等價變換，都體現了“形變質不變”的哲學思想，一步一步地推導過程也體現了過程的重要性。因而，可以將“線性代數”的概念、公式和馬克思哲學思想相對應起來［15］。

如果A是一個n階方陣，如果存在一個數λ以及一個非零n維列向量α，使得：

Aα=λα

那么就稱λ為矩陣A的特征值，α稱為矩陣A的屬于特征值λ的特征向量。由矩陣特征值的定義可以看出矩陣作用在特征向量上，可以等價為一個數乘以特征向量。矩陣作用在一個向量上可以看作對某個向量進行的一種線性變換（旋轉、伸縮等），特征向量的存在反映了這個變換矩陣的某些特征。在施密特正交化方法中可以看出，這些特征向量就是描述矩陣的一組基底。線性代數特征值和特征向量的定義中，是馬克思主義哲學中“把握主要矛盾”的具體應用，由特征向量施密特正交化的方法，可以更加深化特征向量的含義，體現了“現象和本質”的辯證關系。

（二）從線性代數的發展歷史切入

回顧“線性代數”的歷史發展，眾多數學家都參與了一部分的工作，一個概念往往歷經多個數學家的驗證最終才得以明確。線性代數源于求解線性方程組的問題，起先主要作為一種計算工具。隨后通過抽象化和公理化，線性代數的概念也被大幅延拓，矩陣、線性空間等概念被提出來，并被廣泛而深入地研究。在20世紀，線性代數開始被廣泛應用在不同領域，例如量子力學、計算機、博弈論、數據分析等。

凱萊（Cayley）1821年生于英國，最早引入矩陣的概念，使得矩陣從零散的知識發展為系統完善的理論體系，通常稱其為矩陣論的創立者。凱萊一生發表了上千篇數學學術論文，幾乎涉及純粹數學的所有領域。其在對數學的研究外，對法律、文學、旅行、繪畫等都有廣泛的興趣。凱萊證明了數學家也可以興趣廣泛，數學思想和邏輯思維對其涉足其他領域也會有所裨益。

（三）從線性代數的應用實例切入

線性代數在數學、物理學、化學、經濟學、博弈論、計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現實、數據統計等都有著廣泛的應用。對不同專業的線性代數的課程思政，其應用實例要結合相關專業中的具體應用。但應用實例的講解可能會涉及大量的陌生背景知識。例如，對經濟金融專業的學生來說，教師在日常教學中，線性代數課程的教學案例更適合引入生活案例和專業的相關案例。在計量經濟學中，判斷各解釋變量，例如國家財政收入中一般建立GDP、稅收總額、工業增加值等為解釋變量之間的多重共線性時，如果解釋變量的數據矩陣：

當時，表明在數據矩陣X中，至少有一個列向量可以用其余的列向量表示，說明存在完全共線性。當時，則稱解釋變量之間無多重共線性。而多重共線性會造成回歸參數的估計值不穩定，回歸系數的方差和協方差增大，對參數很難準確估計等。矩陣的秩對判斷各個解釋變量的多重共線性具有重要作用。

（四）和數學建模相結合

教師通過介紹線性代數的歷史沿革、應用實例，可以從具體的事例引入，從而引入新概念和知識，并用建模解決實際問題。不但可以激發學生對線性代數的興趣；還可以鍛煉學生的抽象思維、用數學語言描述實際問題（構建數學模型）和活用所學知識解決實際問題的能力。學生在進行數學建模和數學實驗教學時，不是被動地接受知識的灌輸， 而是在一定程度上重現了發明這些知識的過程［16］。

教師可以從簡單的數學建模入手，和高中所學知識聯系起來。例如，已知基因型為AA、Aa和aa的植物的初始分布比例，求解其第n代后代的三種基因型分布比例。就可以化為求解基因型概率矩陣M的n次方的問題（選用AA型與每種植物相結合）：

Mn可由M對角化后方便求出，通過matlab的“eig（）”函數可以求解。通過實際的數學建模問題，既聯系了學生高中所學的知識，使學生感受到知識的互通性和線性代數的實用性，也加強了學生對矩陣和矩陣對角化的理解。

（五）和線性代數中的數學美學結合

數學往往具有一定的美學特性。教師可引領學生認識其中蘊含的美感，如簡潔美、統一美、對稱美、奇異美、組合美、協調美等，提高學生的數學素養和創新能力［7］。例如，在涉及哲學層面的猜想、推論、公理等概念時，數學美學對未知探索的幫助是巨大的。對人文社科類的學生，可以從數學美學在人文作品中或社會生活中的事例來引入，比如建筑等。

例：線性代數中可以用矩陣形式表示n元線性方程組：

可以看出矩陣形式更加簡潔，重復的運算符被省略了，體現出了數學的簡潔美和協調美，矩陣的形式對于計算機的計算處理和儲存也更為簡單。

（六）從線性代數實例中激發愛國熱情

教師可在線性代數的歷史發展中深入挖掘中國數學家對線性代數的發展貢獻。用線性代數發展歷史中數學家們的努力和嚴謹等精神，激發學生堅韌不拔的科學探索精神以及勇于承擔的家國使命感。用線性代數在國防、航天、計算機等高精尖技術中的應用實例，引出我國所獲得的巨大成就和不懈努力，激發學生愛國熱情，提升學生的責任感和使命感。

自2008年起，歐洲核子研究中心（CERN）建造的目前全球最大加速器的強子對撞機LHC，對標準模型完善、暗物質研究等前沿高能物理都有著極大的推動，更促進了萬維網的建立。如今，中國的粒子加速器也如雨后春筍，在各行各業發揮著重要作用，其中中科院高能所將建造新一代的環形正負電子對撞機（CEPC）。其中同步加速器中束流在相空間中傳輸的理論就是由傳輸矩陣描述：

線性代數理論很好地描述了同步加速器中束流傳輸的過程，并且推導出了粒子同步加速器穩定傳輸束流的相關要求。例如，隨著數字經濟越發重要，中國的云計算市場和實力逐步提升，中國的計算力也已領跑全球。其中云計算和搜索算法中需要用到的SVD、QR等矩陣分解，對計算機的數據處理和分類、圖形壓縮、文本處理的分類等也有著巨大幫助。線性代數作為一門基礎學科，其應用已延伸到社會發展的方方面面。

（七）提煉線性代數相關知識中的優良品質和觀念

教師通過寓言故事和社會熱點等發掘線性代數相關的內容，找出其中蘊含的線性代數的相關知識，從而給予學生新的角度重新認識這些寓言故事和社會熱點。用線性代數的語言重新描述寓言故事和社會熱點中所蘊含的優良品質和觀念，反過來也使學生重新認識線性代數中這些知識點的實際含義。

矩陣左乘可逆矩陣P相當于做了一系列初等行變換，右乘可逆矩陣相當于做了一系列初等列變換。從矩陣相乘的這個性質，可以類比出做人的道理——人生路上每一次大的改變都是一次次小的改變的疊加，可以引入“勿以惡小而為之，勿以善小而不為”的傳統美德教導學生。

四、結語

線性代數作為絕大部分大學生的公共基礎課程，課時緊、內容多、知識難，造成很大一部分學生興趣不高。如何使線性代數課程更加有趣，更加吸引學生，是順利開展課程思政的前提。在推進數學類課程思政的同時，也應進行教學改革，探索新的講授方式，增加信息技術的應用，同時也要進行教材的改編和教學方案的變革等。課程思政和教學改革相輔相成，使得課程思政更加深入人心。本研究以新疆財經大學為例，通過與馬克思主義哲學、線性代數發展歷史沿革、應用實例、數學建模、數學美學等切入點，具體探討了財經類院校線性代數的課程思政建設的路徑，具有一定的參考意義。

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（薦稿人：馬長發，新疆財經大學統計與數據科學學院副院長，教授）

（責任編輯：鄒宇銘）