廣義塑性本構模型三維化方法的研究與驗證

徐家斌,張 博

山東電力工程咨詢院有限公司,山東 濟南 250013

0 引言

Zienkiewicz et al.[1-2]提出了土體的廣義塑性理論,該理論直接定義塑性流動方向張量、加卸載方向張量及塑性模量來構建本構矩陣,并且可以較容易地反映出土的剪脹性、循環荷載變形累積性。由于該理論概念清晰且便于編程實現,近年來在土工領域的應用越來越廣泛。在高土石壩的應用中,Xu et al.[3]、鄒德高 等[4]對P-Z模型進行改進,并應用于實際工程;陳生水 等[5-6]基于廣義塑性理論建立了可以考慮顆粒破碎和循環荷載變形特性的堆石料的廣義塑性本構模型;朱晟 等[7]根據高壩室內三軸試驗,并結合廣義塑性理論推導了可反映防滲土料和堆石料的統一廣義塑性本構模型。廣義塑性本構模型在構建時使用p、q這2個分量來構成二維應力空間,并以常規三軸試驗資料為依據建立土石料的本構關系以預測土工結構的變形特性,但此種在p-q平面建立的本構模型無法反映中主應力的影響[8]。中主應力對土的強度和變形有明顯的影響,對于高土石壩的空間分析,不考慮中主應力的影響會使結果有較大誤差[9]。因此,各模型在建立時,為能更好地模擬三維應力狀態均引入了一種三維化方法。但模型的三維化方法眾多,各模型均未針對多種三維化方法進行對比,因此本文基于新疆某面板堆石壩的真三軸試驗資料,研究各種三維化的方法應用于廣義塑性本構模型的適用性。

1 筑壩土石料廣義塑性本構模型及三維化方法

1.1 模型簡介

土石料具有非線性、剪縮(脹)性、壓硬性、靜壓屈服以及循環荷載累積性等主要變形特性。以往模型均僅針對某幾種主要變形特征推導而成,如鄧肯E-B模型和修正的劍橋模型無法體現土石料的剪脹性,使得其計算結果偏大。2個模型均無法準確得到卸載、再加載等應力路徑的影響,同時也不能得到循環荷載所產生的變形累積,其僅可用于土石壩的靜力有限元分析。在上述2個模型靜力分析的基礎上,動力分析時需要再采用等效線性模型,這樣土石壩的全周期計算需要采用多種本構模型,人為地割裂了土石壩的建設運營階段,很難對土石壩進行精確的結構分析。筑壩土石料廣義塑性本構模型基于廣義塑性力學理論,可以較容易地反映出土石料的各種主要變形特性,并且可以基于一套模型參數模擬出土石壩的靜力和動力特性,使其受力狀態不再進行人為割裂和傳遞。本構模型推導如下。

大量試驗成果表明,高圍壓下顆粒破碎使得堆石料的強度降低,采用破壞應力比Mf和平均應力p的冪函數關系描述其強度特性。

(1)

式中:參考應力pr=pa+σc,其中pa為大氣壓,σc為抗拉強度;Mf0和nf為模型參數。

為描述土石料的剪脹性,定義剪脹、剪縮轉換時的廣義剪應力q和平均應力p的比值為剪脹應力比Mc。通過對堆石料、砂礫料和礫石土料三軸試驗結果的整理,認為q和p具有良好的線性關系,由此可得:

(2)

剪脹方程dg采用Lagioia建議的函數[7]。

(3)

土石料的壓縮性可通過等向壓縮試驗結果反映為:

(4)

土石料的彈性模量為:

(5)

式中:泊松比ν可取常數,對于堆石料一般取值為0.3～0.35。結合ν便可得到彈性矩陣De。

加載時的塑性流動方向為:

(6)

為模擬卸載體縮,定義卸載時的塑性流動方向為:

(7)

采用非相關聯流動法則,加載方向為:

(8)

加載時的塑性模量如下。

(9)

復雜加載條件下,再加載塑性模量如下。

(10)

卸載時的塑性模量表示為:

(11)

式中:ηu為上次卸載發生時的應力比;γu為無量綱參數。

1.2 三維化方法

本構模型在建立時,為方便推導通常使用p、q這2個應力參量在p-q坐標系中擬合滿足試驗條件的等值面(屈服面),這是一種將三維問題二維化的方法,可以使三維問題直觀地表示在平面上,但這種方法得到的本構關系與羅德角無關,其無法反映出中主應力對變形的影響。因此,為將本構模型推廣到一半應力裝置,需將“二維化”的模型重新拓展至三維狀態。三維化是一般通過假設其屈服面在π平面上為圓形來實現,模型的剪切屈服和剪切破壞均采用米塞斯準則,例如g(θ)方法。而實際上土石料是一種應力誘導的各向異性材料,其強度遵守摩擦規律,在π平面上并非圓形,但由于屈服函數較為復責應用較少,但可通過變換應力空間的方法將外凸的三角形變換為圓形并進行三維化,如基于SMP準則的變換應力三維化方法[10]和基于廣義非線性強度理論(generalized nonlinear strength theory,GNST)的變換應力三維化方法[11]。

1.2.1g(θ)三維化方法

g(θ)三維化方法由Zienkiewice提出[1],該方法認為屈服條件和破壞條件相同,可以實現從剪切屈服到剪切破壞的連續過渡。利用g(θ)三維化方法進行模型三維化的處理方法如下。

(12)

式中:θσ為應力羅德角,J2,J3分別為應力的第二和第三不變量,φf為峰值摩擦角,可通過求解方程(13)得到。

(13)

筑壩土石料的統一廣義塑性本構模型提出時,使用該方法進行了模型的三維化處理,但缺少真三軸試驗的驗證。

1.2.2 基于SMP準則的變換應力三維化方法

Matsuoka et al.[10]提出的基于SMP準則的變換應力法可將二維本構模型推廣到一般應力狀態為:

(14)

式中:I1、I2、I3為當前應力點對應的3個應力不變量;σij為應力張量,δij為克羅內克符號。

(15)

這樣Mf、Mf0、Mc即可用于一般應力狀態。

1.2.3 基于廣義非線性強度理論的變換應力三維化方法

路德春[11]提出了廣義非線性強度理論(GNST),并在此基礎上結合變換應力空間的方法建立了一種模型三維化的方法。

(16)

(17)

(18)

GNST變換應力過程可分為2部分:一是將三軸壓縮子午面上的非線性破壞曲線變換為過渡應力空間的直線形式;二是將π平面上破壞曲線變換為變換應力空間π平面上的圓。這樣便可將廣義非線性強度理論變換為擴展的Mises準則。

2 模型驗證

2.1 模型參數獲取

采用新疆某面板壩的主堆石料的常規三軸試驗結果獲得筑壩土石料的廣義塑性本構模型參數,圖1為常規三軸初始加載試驗的驗證。由常規三軸初始加載試驗,通過整理剪脹點和破壞點可以獲得Mc、Mf0和nf,對所有試驗點進行處理可以得到圖1(c),并通過式(1)可以得到剪脹方程參數α和β,因此通過常規三軸初始加載試驗可整理出控制塑性流動方向的參數α、β、Mc和控制堆石料強度的參數Mf0、nf。由于缺少等向壓縮試驗,控制變形大小的參數ct、ce、m、d需要通過反演常規三軸初始加載試驗獲得,圖1(d)反映了變形參數的反演及模型預測結果驗證的過程。由圖1可知,該模型可以較好地擬合常規三軸初始加載試驗結果。

圖1 初始加載試驗驗證

圍壓為3.1 MPa的試驗組同時進行了卸載-再加載試驗,如圖2所示。控制卸載-再加載過程塑性模量改變的參數為γDM、γden、γu,3個參數需要通過反演卸載-再加載試驗獲得。圖2(a)為直接通過反演得到的模型預測曲線和試驗點的比較,模型預測曲線比卸載-再加載試驗產生的應變量大,說明模型在卸載和再加載過程中計算所得的模量值比實際情況低。卸載和再加載的試驗點較初始加載時稀疏,說明該過程中的加卸載速率較大,而該模型無法反映加載率的相關性,因此擬合效果不理想,而在動力有限元計算中,加載速率的影響可通過阻尼來消耗。許多研究指出,在快速加載時散粒體材料的變形模量可以增大1.1～3倍[12]。為排除加載速率的影響,在反演結果的基礎上將卸載-再加載過程中的模量放大2倍,其模型預測結果如圖2(b)所示。觀察圖2可知,在去除加載速率影響的情況下,模型可以較好的預測卸載-再加載過程中的應力應變關系。

圖2 卸載-再加載試驗驗證

通過對常規三軸試驗的驗證可以得到該堆石料所有的模型參數,如表1所示。

表1 上游堆石料模型參數

2.2 真三軸試驗驗證

2.2.1 模型三維化方法比較

模型推導過程中以p、q為應力參量,因此為二維本構模型。進行真三軸試驗的驗證,應先進行模型的三維化將其擴展到三維應力狀態。

圖3為3種三維化方法及非三維化在擬合等σ3等b(b=Δσ2/Δσ1,本試驗b=0.5,σ3=0.3 MPa,σ1、σ2、σ3分別為第一、二、三主應力)試驗的對比圖。本材料進行了2組三軸拉伸平行試驗,可得參數qe/qc取值為0.68～0.75,考慮到參考應力pr取值較小,為消除試驗數據受儀器精度的影響,通過反演擬合單組真三軸試驗數據進行驗證,當qe/qc=0.7時可以得到較好的結果。觀察可知,GNST三維化方法擬合效果最好,g(θ)法和SMP法所得曲線表現出過早的剪切破壞,若不進行模型三維化,在有限元分析中所得的結構變形量偏小,在高土石壩設計分析中是不利的。

圖3 模型三維化方法比較

2.2.2 試驗驗證

采用GNST三維化方法對等σ3等b真三軸試驗資料進行模型的驗證,試驗中b=0.5。由圖4可知,模型預測結果與試驗點分布吻合較好。該真三軸試驗的應力路徑比較接近壩體的內部的應力變化,因此該本構模型可以用于高土石壩的有限元分析。

圖4 真三軸試驗驗證

3 基于實測資料的對比分析

3.1 工程簡介

新疆地區的某面板堆石壩最大壩高164.8 m,壩頂長795 m,壩頂高程1 825.8 m;壩基為以砂礫石為主的深覆蓋層,覆蓋層最大厚度約為94 m。為真實反應壩體應力變形規律,將覆蓋層與壩體一起構建有限元模型,模型如圖5所示。

圖5 某面板堆石壩計算模型

為反映出三維化前后的差異,分別進行了非三維化計算和GNST三維化方法的計算,所用模型參數見表2,由于缺少其他3種石料的三軸拉伸試驗資料,qe/qc均取0.7。

表2 廣義塑性本構模型參數

3.2 計算結果分析

3.2.1 模型三維化前后計算結果的比較

圖6和圖7為模型非三維化及基于GNST方法三維化前后的位移計算結果。由圖可以看出,模型三維化前后壩體變形規律基本一致,符合碾壓土石壩的一般變形規律,進一步說明筑壩土石料的統一廣義塑性本構模型可以較好地反映出土石料的變形特征。模型三維化后的最大豎向位移和水平位移均比非三維化計算值較大。三維化后最大豎向位移所在位置較低,其覆蓋層頂部壩底區域的變形較大,而非三維化模型計算值在壩體1/3壩高范圍內變形順速縮小。由于壩體區域土石料具有較高的中主應力,會使土石料表現一定靜壓屈服,進而擁有一定的變形量,因此模型三維化后的計算結果可以反應出中主應力的影響。

圖6 模型非三維化的計算結果

圖7 基于GNST方法三維化后的計算結果

3.2.2 計算值與監測值的比較

為監測大壩建設和運行期的變形,進而實時分析其安全性能,進行了監測系統設計。本文取典型斷面(0+475)豎向位移監測值與仿真計算結果進行對比,監測點高程分別為1 671、1 710、1 751、1 792、1 822 m。

竣工期和滿蓄期有限元分析的計算值和壩體監測值對比結果如圖8所示。高程1 760 m以上范圍內的壩體三維化計算值與非三維化的計算值接近,且二者與實測值也較為相近;此區域位于壩體上部,該范圍內的堆石圍壓較小(1 760 m高程處σ2≈0.8 MPa),說明在小圍壓條件下壩體變形可以忽略中主應力的影響。高程1 760 m以下范圍內壩體的變形計算值受模型三維化影響較大,三維化計算值較高,在覆蓋層頂面竣工期和滿蓄期二者相差34.5、38 cm,此差異已無法忽略,該范圍內的實測數據略低于三維化計算值;此區域位于壩體中下部,該范圍的堆石圍壓較大(壩底處σ2≈1.6 MPa),其變形受中主應力影響較大。

通過計算表明,在小圍壓條件下中主應力影響較小,可忽略不計;當圍壓較高時,中主應力對壩體變形影響較大,若不考慮其影響會使得計算值較小,有限元分析的預測結果較危險;該規律與圖3室內試驗分析所得規律一致。通過和監測值的對比,說明基于GNST的模型三維化方法可較好的反映出壩體的變形規律,進而為后續工程實踐提供理論依據。

4 結論

本文通過真三軸試驗和壩體監測數據對筑壩堆石料統一廣義塑性本構模型的三維化方法進行了研究,得到以下結論。

1)以p、q為應力參量的二維本構模型忽略了中主應力的影響,直接用于高土石壩的設計將使壩體中下部的計算變形量偏小,在設計階段對土石壩的安全評價不利。

2)基于GNST的模型三維化方法,可以較好反映等b條件的一般應力狀態,此應力路徑接近壩體施工運行期的實際應力變化;通過與壩體監的測資料對比,該方法可以較好地反映出壩體變形規律。