深度學習理念下高中數學課例評析

姜寶松

深度學習強調課堂教學要面向學生的認知，其重要特征是聯想與結構、活動與體驗、本質與變式、遷移與應用。抓住數學內容內在聯系和本質，凸顯問題研究過程，促進學生思維進階，從而引導學生實現深度學習。本文以《平面與平面垂直》公開課為例，闡述深度學習理念的應用。

一、從現實進入數學

師：我們知道兩個平面的位置關系：平行和相交（課件給出圖形）。兩個平面平行的判定和性質都已經學習。今天讓我們一起來探究兩個平面相交的情形。現實生活中，堤壩側面和水平面，打開的筆記本電腦等，都呈現出兩個平面相交的情況，并且都給我們有角度的感覺。數學家把兩個平面相交所成角的情形，抽象出來，定義為二面角。

點評：由兩個平面的位置關系，開門見山引出平面與平面的相交情形。通過現實生活中三個情形，引入二面角的概念。在深度學習理念下，復演知識的發生歷程，學生通過數學觀察和抽象，體會從現實抽象到數學知識的歷程，在定義的學習中培養空間想象能力。

二、由舊識類比新知

師：既然二面角是一個角，如何度量它的大小？之前我們學過哪些角？

生：平面上的角，異面直線所成角，直線與平面所成角。

師：平面的角可以直接度量大小。異面直線所成角，如何定義？

生：通過平移，變成相交的直線。

生：變成相交的直線，所成的銳角或直角。

師：非常好！直線與平面所成角呢？

生：找到射影，直線與射影所成角即為線面角。

師：不錯。異面直線所成角和直線與平面所成角的定義中，我們發現，空間的角是通過“平面化”，轉化為平面角來定義的。那么二面角如何“平面化”……

點評：通過問題串設置，梳理已經學習的角。溫故知新，類比所學的角，建立起二面角的平面角概念，從而使各種角的概念結構化，構建了關于空間角的知識體系。空間角的定義其本質是進行“平面化”，學生在此過程中體會到解決空間問題的降維思想。給出二面角的平面角定義后，教師與學生一起探究、辨析定義的合理性，學生在構建新概念的同時，培養學生批判性思維。回到現實環節，在打開的證書中尋找二面角的平面角，學生“即學即用”，建立起實際生活與數學的橋梁，學生再次體會到定義的合理性。

三、用問題深化理解

例1：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角D1-AB-D的大小？

分析引導，棱是？觀察圖形中，二面角的平面角是？接著練習，展示學生解答情況，請學生講解。

師：總結作出二面角的平面角的方法，在棱上一點作出兩條與棱垂直的直線；如果已知一個面的垂線，作一條，連一條；作棱的垂面。

點評：二面角的平面角，其本質是棱的一個垂面與兩個半平面的交線所成的角，是空間的角降維到平面上。其作圖和證明過程是完成線面垂直關系的論證，體現數學的轉化思想。求解二面角的平面角是一個難點，利用幾何法解決時，常用“猜想—證明—求解”的思路，這也是我們探究和解決數學問題的常用路徑。

四、巧探究啟發思維

師：根據對二面角的平面角的學習，二面角的取值范圍是？（展示打開的證書）

生：0°～180°。

師：0°是什么情形？

生：兩個半平面重合。

師：180°是什么情形？

生：一個平面。

師：二面角的取值范圍是閉區間，在此過程中，有一個特殊情況，90°。按兩個平面互相垂直的定義，要先作出二面角的平面角，證明是直角。能否簡化？類比在證明兩個平面平行時，（指向天花板和地面），我們是利用一個平面內有兩條交線平行另一個平面。證明兩個平面垂直，能否一樣轉化為線面關系呢？

探究活動1：每個同學拿出一支筆與桌面成垂直狀態，拿書本完全貼近筆，書本與桌面什么位置關系？旋轉（左右）書本，兩個平面是什么位置關系？

探究活動2：建筑工人在檢查砌墻是否與地面垂直時，用鉛垂線靠近墻面。

點評：在二面角的平面角習題中，平面與平面垂直判定定理的探究與證明中，研究數學空間問題的思路不斷重現，學生不斷體會由猜想到證明的研究問題路徑，充分體會到數學的轉化思想，學生的思維得到進階發展，體現出了深度學習的理念。

五、精應用掌握原理

例2：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面BDA1⊥平面ACC1 A1。

例3：AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C點是圓周上不同于A、B的一點，求證：平面PAC⊥平面PBC。

……

點評：例題由學生自主完成，通過復雜問題的解決，提高學生空間想象和推理論證能力。平面與平面的垂直，抓住線面垂直的關鍵，學生體會到問題解決中轉化的思想。從知識遷移到應用，學生體會到數學的嚴謹性，從猜想到證明，體悟到解決數學問題的一般方法。在現實場景中尋找平面與平面的垂直關系，學生用數學的眼光去觀察世界，體驗到數學在現實生活中的實際應用和存在。

六、妙總結提升感悟

師：本節課我們的定理和問題解決，都是通過觀察、猜想、證明來完成的。這也是我們研究數學問題的常用路徑。再觀察我們的教室，是不是很多面面垂直關系？有沒有一種透過現象看到本質的感覺？ 這就是數學的魅力！

點評：通過總結，梳理本節課主要所學知識，對知識和方法進行反思構建，更好地形成學科知識體系。本課所涉及的降維思想、類比思想、轉化思想是數學中常見的思想，教師的補充，讓學生在經驗上明悟，在學科思想上升華。觀察、探究、猜想、證明這是數學學科和人類科學發展史上常用的方法，在本節課從始至終得到連續體現，讓深度教學的思想得到完美詮釋。

七、結語

課堂教學的巧妙設計，引發學生進行主動學習，學生在問題驅動、活動與檢驗中進入到深度學習，從而對知識進行自主建構和思維進階。課堂中充分培養了高中數學的關鍵能力，落實了直觀想象和邏輯推理的素養提升，學生經歷了數學內部的邏輯發展，經歷了數學到現實的外部拓展，貫徹了新課標中對學科育人目標，詮釋了新課標中的學科育人價值。

責任編輯? 韋英哲