新高考中的概率與統計問題常見題型及處理策略

郭興甫

概率與統計是高中數學教材中的重要內容，也是高考的必考內容和高頻考點．隨著新高考的全面實施，新高考對概率與統計的考查提高了要求，加大考查的力度和難度．為幫助讀者更好地掌握新高考中概率與統計的常見問題，本文以近年各地的模擬題為例說明其常見題型及處理策略．

１ 頻率分布直方圖與方案選擇綜合問題

例１ 已知一芯片生產商用光刻機生產的Q 型芯片經過十項指標全面檢測后，分為Ⅰ級和Ⅱ級，兩種芯片的某項指標的頻率分布如圖１所示．

若只利用該指標制訂一個標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c 的產品應用于A 型手機，小于或等于c 的產品應用于B 型手機．假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．

（１）求Q 型芯片Ⅰ 級品該項指標的第７０ 百分位數;

（２）當臨界值c＝６５時，求Q 型芯片Ⅱ級品應用于A 型手機的概率;

（３）已知c∈[５０，６０]，現有足夠多的Q 型芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品，分別應用于A 型手機、B 型手機各１萬部的生產．

方案１：直接將Q 型芯片Ⅰ級品應用于A 型手機，其中該指標小于或等于臨界值c 的芯片會導致芯片生產商每部手機損失７００元;直接將Q 型芯片Ⅱ級品應用于B 型手機，其中該指標大于臨界值c 的芯片，會導致芯片生產商每部手機損失３００元．

方案２：重新檢測Q 型芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品，可以避免方案１的損失費用，但檢測費用共需要１０１萬元．

請從芯片生產商的成本考慮，選擇合理的方案．

解析

（１）設Q 型芯片Ⅰ級品該項指標的第７０百分位數為a，該指標在８０ 以下的概率為０５５，該指標在９０以下的概率為０８，因此該項指標的第７０百分位數a 一定在[８０，９０）內，所以０００２×１０＋０００５×１０＋００２３×１０＋００２５×１０＋００２５×（a－８０）＝０７（也可以用００２×１０＋００２５×（９０－a）＝１－０７），解得a＝８６，所以Q 型芯片Ⅰ級品該項指標的第７０百分位數為８６．

（２）當臨界值c＝６５時，Q 型芯片Ⅱ級品應用于A 型手機的概率為００１×（７０－６５）＝００５．

（３）設直接將Q 型芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品應用于A型、B 型手機時，該芯片生產商支出為y 萬元，則

y ＝７００× [０００２×１０＋０００５× （c－５０）]＋３００× [００１×１０＋００３× （６０－c）]＝４０９－５５c（c ∈ [５０，６０]）．

當５０≤c＜５６時，y ＞１０１;當c＝５６時，y ＝１０１;當５６＜c≤６０時，y＜１０１．

綜上，為降低芯片生產商的成本，當臨界值c∈[５０，５６）時，選擇方案２;當臨界值c＝５６時，選擇方案１和方案２ 均可;當臨界值c∈（５６，６０]時，選擇方案１．

點評

求解頻率分布直方圖與方案選擇綜合問題的關鍵：準確將題中所涉及的事件進行分解，明確所求問題所屬的事件類型，弄清題意，特別地，要注意挖掘頻率分布直方圖中的數據條件．

２ 頻率分布直方圖與分布列的綜合問題

例２ 為提高人民幸福指數，國家先后出臺了多項減稅增效政策．某地區對在職員工進行了個人所得稅（以下簡稱個稅）的調查，經過分層隨機抽樣，獲得５００位在職員工的年個稅（單位：百元）數據，按[０，２]，（２，４]，（４，６]，（６，８]，（８，１０]，（１０，１２]，（１２，１４]，（１４，１６]，（１６，１８]分成九組，制成如圖２所示的頻率分布直方圖，假設每個組內的數據是均勻分布的．