構(gòu)造法求解一類圓錐曲線斜率問題

李永蓮

摘 要：圓錐曲線中與斜率有關(guān)的問題綜合性較強(qiáng)，屬于偏難題.常規(guī)解法對(duì)于學(xué)生分析問題、數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的能力要求很高.在這類問題的解法教學(xué)中，在強(qiáng)調(diào)通解通法的基礎(chǔ)上，如果能夠引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)斜率公式的結(jié)構(gòu)特征巧妙構(gòu)造，在一定程度上，可以有效降低數(shù)學(xué)運(yùn)算的難度，提高解題效率，最終達(dá)到培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

關(guān)鍵詞：直線斜率;通解通法;構(gòu)造

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）07-0076-03

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等.數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.其實(shí)，正是因?yàn)閳A錐曲線綜合題的特點(diǎn)，我們?cè)诮虒W(xué)中可以適當(dāng)利用這些資源，來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)

2 解法探析

2.1 參考解法

解析 將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線C的方程有

設(shè)直線l的方程為y=kx+h，另設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1）和（x2，y2），聯(lián)立直線l和雙曲線C的方程，消去y可得

（2k2-1）x2+4khx+（2h2+2）=0.

根據(jù)已知條件kAP+kAQ=0，而

2.2 解法優(yōu)化

因直線PQ不經(jīng)過點(diǎn)A，可設(shè)其方程為

m（x-2）+n（y-1）=1（m，n不同時(shí)為0）.

（x-2+2）2-2（y-1+1）2=2.

即（x-2）2-2（y-1）2+4（x-2）-4（y-1）=0.

將上式中所有一次項(xiàng)乘m（x-2）+n（y-1）得

（x-2）2-2（y-1）2+［4（x-2）-4（y-1）］·

［m（x-2）+n（y-1）］=0.

整理得：（1+4m）（x-2）2-（4m-4n）（x-2）·（y-1）-（4n+2）（y-1）2=0.

將上式左右兩邊同時(shí)除以（x-2）2得

2.3 方法要點(diǎn)

2.3.1 適用情形

不經(jīng)過點(diǎn)A（x0，y0）的直線l與二次曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，研究的是兩直線AP，AQ的斜率之間的關(guān)系，比較常見的情形是研究kAP+kAQ或kAP·kAQ.

2.3.2 解題步驟

此類問題的解題過程一般有如下幾步：

S（k）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)韋達(dá)定理即可得出兩者之間的關(guān)系kAP+kAQ和kAP·kAQ.

3 例題示范

解析 因?yàn)橹本€l不經(jīng)過點(diǎn)P（0，1），可設(shè)其方程為mx+n（y-1）=1（m，n不同時(shí)為0）.

將其中一次項(xiàng)y-1乘以mx+n（y-1）得

x2+4（y-1）2+8（y-1）［mx+n（y-1）］=0.

整理，得x2+（4+8n）（y-1）2+8mx（y-1）=0.

將上式左右兩邊同時(shí)除以x2，得

即直線l過定點(diǎn)（-1，-1）.

4 教學(xué)建議

“構(gòu)造法”在求解過程中，的確可以有效降低運(yùn)算的難度，但卻存在兩個(gè)理解上的難點(diǎn).

第一，不經(jīng)過點(diǎn)A（x0，y0）的直線l的方程可以

第二，將方程G（x-x0，y-y0）=0中的所有一次項(xiàng)都乘以m（x-x0）+n（y-y0），常數(shù)項(xiàng)乘以［m（x-x0）+n（y-y0）］2，構(gòu)造出關(guān)于x-x0和y-y0的二次齊次式方程H（x-x0，y-y0）=0.這一步是為在H（x-x0，y-y0）=0的兩邊同時(shí)除以（x-x0）2，從而構(gòu)造出關(guān)于k的二次方程S（k）=0，將直線斜率轉(zhuǎn)化為方程S（k）=0的實(shí)數(shù)根.

5 結(jié)束語(yǔ)

通解通法固然不能偏廢，但對(duì)于某些典型的問題類型，我們可以引導(dǎo)學(xué)生分析得出較為優(yōu)化的解法，降低運(yùn)算量，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).對(duì)問題進(jìn)行充分的分析和思考，在一定程度上可以減少運(yùn)算的難度，從而提高解題的效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 張殷兵.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用措施探討[J].數(shù)理化解題研究[J].2021（09）：31-32.

[2] 程建剛.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題中的巧妙運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（07）：71-73.