關注通性通法 提升運算素養

周宗杰 周鑫 濮偉宇

摘 要：“解析法”與“幾何法”是解決解析幾何問題的重要數學方法，也是解決解析幾何問題的通性通法.文章結合2023年高考天津卷第18題對“解析法”與“幾何法”在解析幾何中的應用進行分析，為我們的教學提供借鑒與參考.

關鍵詞：解析幾何；解析法；幾何法；2023年天津卷

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0069-03

“解析法”與“幾何法”是解決解析幾何問題必不可少的重要數學方法，也是解決解析幾何問題的通性通法，如果學生能夠對這兩種方法熟練掌握，那么對于大部分解析幾何問題都會迎刃而解.下面就結合2023年高考天津卷第18題對“解析法”與“幾何法”在解析幾何中的應用進行分析，為我們的教學提供借鑒與參考，以期起到拋磚引玉的作用.

1 原題再現

（1）求橢圓方程及其離心率；

（2）已知點P是橢圓上一動點（不與端點重合），直線A2P交y軸于點Q，若△A1PQ的面積是△A2FP面積的二倍，求直線A2P的方程．

2 解法分析

對于解析幾何問題通常可以從“解析”和“幾何”兩個角度進行分析.從解析法來處理問題，可以選擇“設點”為突破口，或者“設線”為突破口，下面就從“設點”和“設線”的角度，用解析法來處理該問題.

解法1 解析法——“設點”.

設點P（x0，y0），由（1）知A1（-2，0），A2（2，0），

解法1從設橢圓上動點P（x0，y0）的坐標為入手點，直接翻譯題目所給信息S△A1PQ=2S△A2FP，同時結合三角形面積公式，獲得關于x0的方程，求得點P的坐標，最終求出直線A2P的方程.

解法2 解析法——“設線”.

設直線A2P的方程為y=k（x-2），令x=0，可得yQ=-2k，即點Q坐標為Q（0，-2k）.

（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0.

解法2從設直線A2P的方程入手，由于該直線A2P與橢圓恒有一個交點A2（2，0），因此考慮聯立直線A2P與橢圓的方程，消去y整理成關于x的一元二次方程，則xA2=2必為該方程的一解，由此結合韋達定理可以求出點P的橫坐標xP，進而結合三角形面積公式，直接翻譯S△A1PQ=2S△A2FP，獲得關于斜率k的方程，解得斜率，進而寫出直線A2P方程.

“解析幾何”問題本質上仍然是“幾何”問題，“解析”只是解決“幾何”問題的方法，因此很多情況下我們不妨返璞歸真，從幾何的角度來分析問題，用“幾何法”來解決問題.

解法3 幾何法.

即S△A2A1P=2S△A1PQ.

將△A1A2P與△A1QP看成以A2P和QP為底的三角形，則它們的高相同，結合S△A2A1P=2S△A1PQ，可知A2P=2QP.

解法3從幾何關系S△A1PQ=2S△A2FP出發，并結合橢圓的簡單幾何性質進行分析，獲得A2P與PQ的長度關系A2P=2QP，接下來通過分類討論來處理問題，獲得問題的解.

3追根溯源

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求直線l的方程.

本題中的直線l恒過定點F（1，0），該點是橢圓C的焦點，不在橢圓上.因此如果將直線l與橢圓C聯立，消掉y（或x），得到關于x（或y）的一元二次方程，該方程的兩個解均不易求出. 如果采用引例解法1和解法2處理該題，運算量顯然比較大，而且不易解決.

由韋達定理可得

4 結束語

對比引例和本題的解法可以發現，兩題的題干信息十分相似，在解決問題的方法上也有一定的可借鑒性，但是，由于細微的差別，導致同一種方法在解決這兩個問題時所面對的運算量是不同的，這就要求我們要善于開展數學變式教學，組織學生開展數學探究活動，關注問題處理的通性通法和不同問題的細微差別，提高學生的運算能力和運算素養［1］.

參考文獻：

［1］ 周宗杰，張建明.例談數學運算和邏輯推理能力的培養：以2023年北京卷第19題為例[J].中學數學教學，2023（05）：63-65.