高觀點下的高中數學解題策略的研究

張澤 代紅軍

摘 要：對2023年北京高考數學第19題解法采用文獻法，針對8篇文獻的解法進行歸納比較，從兩個視角給出了該題的8種解法；對比兩個視角的不同解法，發現高觀點下的數學解題策略不僅能優化解法，降低運算能力要求，還能更好地培養學生的數學核心素養.

關鍵詞：高觀點；數學解題策略；文獻法

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0065-04

收稿日期：2023-12-05

本文參考的幾篇文章對2023年北京高考數學第19題的解法進行了分析，主要解法有設點并用橢圓普通方程來表示（以下簡稱“普通設點法”）、設點并用橢圓參數方程來表示（以下簡稱“參數設點法”）、設線法、反設線法.除了參考的第5篇文章沒有提到命題背景，其余7篇文章都揭示了命題背景為高等數學下的帕斯卡定理，從而可知命題人站在高等數學層面來命制該高考題［1-8］.

1? 考題再現

（1）求E的方程；

（2） 設P為第一象限內E上的動點，直線PD與直線BC交于點M，直線PA與直線y=-2交于點N.求證：MN∥CD.

2 解法探究

2.1 第（1）問解法探究

2.2 第（2）問的初等數學解法探究

解法1 因為P為第一象限E上的動點，設

聯立直線PA方程與y=-2，得

4+9k2x2-54k2x+81k2-36=0.

直線MN的斜率為

即kMN=kCD，MN與CD不重合，所以MN∥CD.

即kMN=kCD，所以MN∥CD.

2.3 第（2）問的高等數學解法探究

利用仿射變換，將橢圓轉化為圓進行求解（如圖1，圖2）.

即E′：x′2+y′2=4，A′（0，2），C′（0，-2），B′（-2，0），D′（2，0）.

又因為m2+n2=4，所以kM′N′=1.

又kC′D′=1，即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′，所以MN∥CD.

又kC′D′=1，即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N，因此MN∥CD.

解法7 設直線P′D′的方程為y′=kx′-2，直線B′C′的方程為y′=-x′-2，

（1+k2）x′2-4k2x′+4k2-4=0，

進而kM′N′=1.

又kC′D′=1，即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′，所以MN∥CD.

所以kM′N′=1.

又kC′D′=1，即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′，所以MN∥CD.

3 結束語

這道解析幾何解答題考查學生的邏輯推理和數學運算的核心素養，尤其對學生的運算能力提出很高的要求.該題需要學生能靈活運用整體代換的思想進行算式化簡，如兩種視角下的解法1、5中對斜率分式表達式的化簡.初等數學視角下的解法1，需要學生能把橢圓E的方程表達式進行變形后代換，然后代入分式之中進行約分化簡；高等數學視角下的解法5，則需要學生把圓E′的方程表達式進行整體代換.經過初等數學和高等數學兩種不同視角的解題過程的對比，顯然可知利用高等數學的仿射變換把橢圓變為圓以后再進行解題，運算簡便許多，也相應提高了學生對高考數學的解析幾何解答題的計算信心.在教學中，教師應把高等數學的思想和方法滲透于初等數學的教與學中.學生也應站在更高的觀點下解題，不僅增加了解題的信心，也極大激發了學生學習數學的興趣.

參考文獻：

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