2023年全國甲卷理科導數壓軸題的解法探究

摘 要：從不同的角度對2023年高考全國甲卷理科數學導數壓軸題進行探究，并給出五種解法，每種解法后面的評析都剖析了解題思路.

關鍵詞：2023年高考；全國甲卷；導數；三角函數

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0049-04

2023年高考全國甲卷理科數學第21題是三角函數與導數的綜合，難度很大.很多考生反映在做這道題時，沒有解題思路或者運算量太大做不了.下面筆者結合自己的教學實踐給出五種不同的解法，并剖析每種解法的解題思路.

1 真題再現

（1）當a=8時，討論函數f（x）的單調性；

（2）若f（x）＜sin2x，求a的取值范圍.

2 解法探究

2.1 第（1）問解析

則f ′（x）=a-3t2+2t=g（t）.

當a=8時，g（t）=2-t3t+4，

2.2 第（2）問解析

解法1 設g（x）=f（x）-sin2x，

g′（x）=f ′（x）-2cos2x

所以h（t）在（1，+∞）內單調遞減.

所以h（t）

②若a∈（3，+∞），則h（1）=a-3>0，

當t∈1，t0時，h（t）>0，即當x∈0，x0時，g′（x）>0，g（x）單調遞增.

故當x∈0，x0時，g（x）>g（0）=0，不合題意.

綜上所述，a的取值范圍為（-∞，3］.

評析 解法1中對g′（x）進行換元，使超越函數變成了有理函數，函數式變得非常簡潔，極大地簡化了運算.而對g′（x）換元后所得的h（t）再次求導，弄清了h（t）的單調性，解題方向也變得明朗化.后面在a∈（3，+∞）的情況中，由于h（1）=a-3>0，也就是g′（0）>0，應該想到g（0）=0，則g（x）在0的右鄰域內是不能遞增的，所以此時應該不合題意.但怎么說清楚這一點要注意方法，這里用放縮法得到了h（t）<0，再由零點存在定理確定h（t）存在零點，避免了用高等數學知識，很符合高中學生的情況.

綜上所述，a的取值范圍是-∞，3.

中隱藏的各種有用信息是找到好的解法的關鍵.

當且僅當cosx=1時等號成立.

即g（x）＜0的必要條件是a≤3.

下面證明a≤3是g（x）＜0的充分條件.

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，3］.

故g（x）>g（0）=0.

于是a≤3.

即a的取值范圍是（-∞，3］.

h′（x）=4sinx（sinx-xcosx）.

k′（x）=cosx-cosx+xsinx=xsinx＞0，

故k（x）＞k（0）=0.于是h′（x）＞0.

故h（x）＞h（0）=0.于是g′（x）＞0.

于是a≤3，即a的取值范圍是（-∞，3］.

3 結束語

本題是三角函數與導數的綜合，作為壓軸題，難度很大，彰顯了綜合性要求.高考數學試題的綜合性，一方面是數學學科內部各個主題的相互綜合，另一方面是數學學科和其他學科的綜合.本題將導數與三角函數巧妙地結合起來，通過對導函數的分析，考查函數的單調性、極值等相關問題，通過導數、函數不等式等知識，深入考查分類討論的思想，化歸與轉化的思想.

參考文獻：

［1］張君，李武學.2022年全國甲卷導數題的多解、變式與溯源[J].數理化解題研究，2022（22）：75-78.