2023年新課標高考全國Ⅱ卷21題探析

摘 要：圓錐曲線中的定直線問題較為復雜，且運算量較大，文章從2023年的一道高考題入手，對這一問題再研究.

關鍵詞：圓錐曲線；過定直線；高考題

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0015-05

圓錐曲線綜合題中的定直線問題較為復雜，其解題方法也是多種多樣.求動點坐標證明動點在定直線上，運算量較大，屬于一類難度較大的問題. 本文從2023年的一道高考題入手，對這一問題再研究.

1 試題再現

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點-4，0的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P.證明：點P在定直線上.

這是一道直線與圓錐曲線綜合題，考查了計算能力、轉化能力和綜合應用能力，考查了數學抽象、數學推理、數學運算等核心素養.（1）由題意求得a，b的值即可確定雙曲線方程；（2）雙曲線方程中的定直線問題，根據設而不求的思想， 可用韋達定理法、非對稱結構韋達定理轉化法、點乘雙根法、定比點差法、交軌法探析.

2 追根溯源

以極點與極線理論為背景，如果把點P作為該雙曲線的極點，那么它對應的極線必然過-4，0，根據極點極線的對偶性質，極線共點，則極點必共線，故點P必在一條定直線上，這條直線即點-4，0的極線x=-1.

3 解法探析

下面對（2）進行解法探析.

解法1 （ 韋達定理法）由（1）可得

A1-2，0，A22，0，設Mx1，y1，Nx2，y2，則

x1<-2且x2<-2.

顯然直線的斜率不為0.

所以設直線MN的方程為

4m2-1y2-32my+48=0，

且△=64（4m2+3）>0.

即xP=-1.

據此可得點P在定直線x=-1上運動.

評注 聯立直線方程與圓錐曲線方程，得到一元二次方程，利用根與系數的關系同位置關系相結合來求解，是通解通法［1］.

解法2 （非對稱結構韋達定理轉化法）由（1）可得A1-2，0，A22，0.

設Mx1，y1，Nx2，y2，則

x1<-2且x2<-2.

顯然直線的斜率不為0.

所以設直線MN的方程為

4m2-1y2-32my+48=0，

且△=64（4m2+3）>0.

所以2my1y2=3（y1+y2）.

即xP=-1.

據此可得點P在定直線x=-1上運動.

評注 遇到非對稱結構表達式時，可以通過x1+x2，x1x2整體關系，得出x1x2=λx1+x2+μ，和積轉換成對稱結構的形式，應用韋達定理處理 .本題亦可由

解法3 （點乘雙根法）由（1）可得A1-2，0，A22，0，設Mx1，y1，Nx2，y2，則

x1<-2且x2<-2.

兩邊平方，得

即xP=-1.

若過點-4，0的直線的斜率存在，不妨設直線MN的方程為y=kx+4，

4-k2x2-8k2x-16k2-16=0.

因為x1，x2是方程4-k2x2-8k2x-16k2-16=0的兩個根，

所以4-k2x2-8k2x-16k2-16=4-k2（x1-x）（x2-x）.（*）

在（*）式中令x=-2，得

4-k24+16k2-16k2-16=4-k2（x1+2）·（x2+2）.

即-4k2=4-k2（x1+2）（x2+2）.

在（*）式中令x=2，得

4-k24-16k2-16k2-16=4-k2（x1-2）·（x2-2）.

即-36k2=4-k2（x1-2）（x2-2）.

可得x=-1.

即xP=-1.

據此可得點P在定直線x=-1上運動.

二次函數的雙根式y=ax2+bx+c=a（x-x1）·（x-x2），通過雙根式來解決解析幾何中涉及（x-x1）（x-x2）的問題，可以減少計算量［2］.

即x1+λx2=-4（1+λ），y1+λy2=0.

因為M，N在雙曲線上，

兩式相減，得

所以-x1-λx2=1-λ.

又x1+λx2=-4（1+λ），

所以x=-1.

即xP=-1.

據此可得點P在定直線x=-1上運動.

解法5 （交軌法）由（1）可得A1-2，0，A22，0，設Mx1，y1，Nx2，y2，T-4，0 ，則

x1<-2且x2<-2.

直線MA1的方程為x=my-2，

直線NA2的方程為x=ny+2，

4m2-1y2-16my=0.

顯然4m2-1≠0，

4n2-1y2+16my=0.

顯然4n2-1≠0，

由題意，M，T，N三點共線.

當MN⊥x軸時，A1A2=2A1T，所以A1是△A2MN的重心，從而P是線段A2N的中點，P的橫坐標為-1.

當MN不垂直x軸時，kMN=kMT，即

即（4m2-1）（3m+n）=0.

所以3m+n=0.

由x=my-2，x=ny+2，得

3x+x=（3m+n）y-4.

所以x=-1.

即xP=-1.

據此可得點P在定直線x=-1上運動.

評注 求兩條直線交點的軌跡常用交軌法，先寫出兩條直線的方程，然后尋求它們之間的關系.

4 結束語

圓錐曲線綜合問題是考查學生數學運算能力的有效載體，充分考查了學生靈活應用代數方法解決幾何問題的能力.縱觀2023年Ⅱ卷的解析幾何試題，運算量比較大，而且直線MA1，NA2的交點P的橫坐標表達式形式不對稱，直接代入計算將無法求解，需要對根與系數關系進行局部轉換，構造對稱的形式進行化簡求解.由于解析幾何解答題綜合性強，代數推理要求高，解題過程中復雜冗長的運算不可避免，在復習備考中，要引導學生關注代數的本質———結構特征，多想少算，培養學生嚴謹、耐心細致的運算習慣，從而提高運算求解能力，發展數學運算素養.

參考文獻：

［1］胡貴平.點乘雙根法解決一類直線與圓錐曲線相交弦問題［J］.數理化解題研究，2019（31）：2-4.

[2] 胡貴平.例談圓錐曲線中的定比點差法［J］.數理化學習，2022（05）：22-24.