用生成函數求幾類數列的通項公式

摘 要：高中數學數列通項公式不僅是高考考查的重點和熱點，還是高等數學的重要基礎.利用高中數學數列通項公式的求解技巧，可以有效培養學生的數學思想和數學學科素養.文章介紹了生成函數，并利用生成函數來求解幾類有難度的數列的通項公式.

關鍵詞：生成函數；形式冪級數；數列；通項公式

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0024-05

生成函數是組合數學中的一個重要概念，通過生成函數可以把離散數學和連續數學巧妙地連接起來.利用生成函數來處理中學數學中的數列通項問題，問題的可操作性強，學生容易理解.

1? 預備知識

定義1[1] 設a0，a1，…，an，…是一個給定的數列，我們稱形式冪級數

a0+a1x+…+anxn+…為這個數列的生成函數.

例如，數列1，2，3，…，n，…的母函數是1+2x+3x2+…+nxn+….

注 為了應用形式冪級數去解決數列通項公式問題，我們引進形式冪級數之間的加法、減法、乘法等運算，并規定：在進行這些運算時，把形式冪級數看成冪級數，然后按冪級數的運算法則去進行運算.

所以定理1得證.

由定理1，有

2 利用生成函數求數列通項公式的步驟

（2）根據數列的遞推關系求出f（x）；

（3）把f（x）展開成形式冪級數；

（4）求出xn的系數.

由此可見，利用生成函數來理解數列通項后，求解數列通項就不再是玩技巧了，而是程序性的操作.

3 常系數線性齊次遞推數列

例1 設數列an滿足an-10an-1+21an-2=0，且a1=3，a2=93，求通項公式an.

解析 因為an+2-10an+1+21an=0，且a1=3，a2=93，設數列an的生成函數為

f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+….

上式兩邊乘以（-10x），得

-10xf（x）=-10a1x2-10a2x3-…-10an-1xn-…，

上式兩邊乘以21x2，得

21x2f（x）=21a1x3+…+21an-2xn+….

三式相加，得

（1-10x+21x2）f（x）

=a1x+（a2-10a1）x2+（a3-10a2+21a3）x3+…+（an-10an-1+21an-2）xn+…

=a1x+（a2-10a1）x2

=3x+63x2，

用待定系數法，有

故an=3×7n-6×3n.

例2[3] （2020年福建省數學競賽試題）已知數列an滿足a1=1，a2=5，an+2=4an+1-3an（n∈N*）.

（1）求數列an的通項公式；

f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+an+1xn+1+an+2xn+2+…，

-4xf（x）=-4a1x2-4a2x3-…-4an+1xn+2-…，

3x2f（x）=3a1x3+…+3anxn+2+…，

將以上三式相加，并利用a1=1，a2=5，an+2=4an+1-3an（n∈N*），得

（1-4x+3x2）f（x）=x+x2.

故an=2×3n-1-1.

（2）由（1）知

A（x）=a1x+a2x2+…+anxn+…，

2xA（x）=2a1x2+…+2an-1xn+…，

-4xB（x）=-4b1x2-…-4bn-1xn-….

三式相加，得

（1+2x）A（x）-4xB（x）=-10x.①

又B（x）=b1x+b2x2+…+bnxn+…，

5xA（x）=5a1x2+…+5an-1xn+…，

-7xB（x）=-7b1x2-…-7bn-1xn-….

三式相加，得

5xA（x）+（1-7x）B（x）=-13x.②

由①和②，解得

展開成形式冪級數，得到

所以an=2n-4·3n.

所以bn=2n-5·3n.

4 常系數線性非齊次遞推數列

例4[4] 已知數列an滿足an-2an-1+an-2=2n，且a0=a1=1，求通項公式an.

解析 設數列an的生成函數為

f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…，

-2xf（x）=-2a0x-2a1x2-…-2an-1xn-…，

x2f（x）=a0x2+…+an-2xn+…，

四式相加，得

f（x）=a1x+a2x2+…+anxn+…，

-xf（x）=-a1x2-…-an-1xn-…，

三式相加，得

展開成形式冪級數，得

5 一個特殊的數列

例6[5] （卡特蘭數）設有一凸n邊形，用n-3條在內部不相交的對角線把這凸n邊形分成n-2個三角形，那么一共有多少種不同的分法？

解析 設an表示將一個凸n+1邊形劃分為三角形的分法數，并規定a1=1.

當n=2時，凸n+1邊形是三角形，它只有一種分法，所以a2=1.

當n=3時，凸n+1邊形是四角形，它只有兩種分法，所以a3=2.

現設n≥3，我們在凸n+1邊形T中先任意取定一條邊，例如圖1中的AB，另取一點C.設△ABC左邊的圖形T1是一個凸k+1邊形，那么，△ABC右邊的圖形T2必是一個凸n-k+1邊形.

根據假設，凸k+1邊形T1有ak種不同的分法，凸n-k+1邊形T2有an-k種不同的分法. T1，T2的每一種分法就給出整個n+1邊形T的一種分法.

因為T1有ak種分法，T2有an-k種分法，故T有akan-k種分法，這種分法是對固定的點C而言的.

an=a1an-1+a2an-2+…+an-1a1.

f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+….

那么

根據初始值a1=a2=1和an的遞推關系，得到

f 2（x）=a2x2+a3x3+a4x4+…+anxn+…

=f（x）-a1x

=f（x）-x.

這就是說，f（x）滿足一元二次方程f（x）2-f（x）+x=0.

因為f1（0）=1，f2（0）=0，而我們要找的f（x）滿足f（0）=0，所以只能取

下面把f（x）展開成形式冪級數即可.

利用牛頓二項式定理，有

6 結束語

給定數列的遞推公式，求解其通項公式，是高考與競賽中常見的題型.對于簡單的遞推公式，通過構造等差數列或者等比數列即可得解.但對于復雜且難度較大的遞推公式，則需要很強的技巧才能解決.但利用生成函數，則可很好地解決難度較大的遞推數列的通項公式，比如常系數線性齊次遞推數列和常系數線性非齊次遞推數列.利用生成函數求數列的通項公式，不僅操作性強，而且學生也容易理解.可以說，生成函數是求解遞推數列的通項公式的通法.

參考文獻：

［1］史濟懷.母函數[M].第2版.合肥：中國科學技術大學出版社，2014.

[2] 曹汝成.組合數學[M].廣州：華南理工大學出版社，2000.

[3] 李鴻昌.高考題的高數探源與初等解法[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2022.

[4] 李鴻昌，楊春波，程漢波.高中數學一點一題型（新高考版）[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2022.

[5] 王中平.生成函數在組合數學中的若干應用[J].貴陽學院學報（自然科學版），2016，11（01）：1-7.