轉盤偏心距對不對中-碰摩轉子動力學響應的影響

張凌云，李鑾，賀曉瑩，劉忠，熊中剛

(1.桂林航天工業學院機電工程學院，廣西桂林 541004；2.桂林航天工業學院廣西特種工程裝備與控制重點實驗室，廣西桂林541004；3.福建船政交通職業學院汽車學院，福建福州 350007)

0 前言

電機與轉子通過齒式聯軸器相互連接，因此產生的不對中故障是轉子系統眾多故障類型中較為常見的一種[1]。掌握多種故障耦合條件下旋轉機械的非線性動力學特性，對設備進行預測診斷具有重大的理論意義和工程應用價值。

國內外學者針對不對中-碰摩耦合故障的發生機制和復雜現象進行了一系列研究。文獻[2-3]對不對中故障旋轉機械的安全運行進行了研究。肖漢等人[4]利用有限元法研究了非線性油膜力影響下不平衡-不對中-碰摩耦合故障的滑動軸承-轉子系統動力學模型，通過微分耦合模態對多重故障耦合條件下的頻率響應疊加形式進行分解，為多種耦合故障下的復雜系統求解提供了理論基礎。BOUAZIZ 等[5]以不對中故障轉子系統的動力模型為研究對象，研究結果表明：存在角度不對中故障轉子系統的頻譜圖響應主要由2倍頻和4倍頻成分組成。PENNACCHI等[6]通過分析不對中轉子軸心軌跡響應呈現出“8”字形的特點，揭示了該類轉子系統的一些非線性動力學行為。韓捷、石來德[7]基于齒式聯軸器不對中的理論分析，建立聯軸器外殼質心、瞬心以及嚙合線的運動方程，提供了齒式聯軸器不對中故障特征識別以及頻率特征故障提取的理論依據。鐘志賢等[8]以滾動軸承支撐的多故障轉子為有限元模型，通過一系列響應圖分析了多故障耦合轉子運行過程中的故障特征。佘斌等人[9]通過試驗分析了聯軸器角度不對中工況下轉子系統的動力學響應特征，并與理論仿真進行了對比分析。

綜上所述，以往的研究只考慮了轉子的周期運動和臨界轉速，未對發生碰摩的軌跡進行識別，也未對轉子系統發生碰摩的時間占比進行考慮。本文作者研究轉子系統在不平衡力、油膜力、齒式聯軸器不對中-轉盤碰摩共同作用下的非線性動力學響應特性，采用變步長Runge-Kutta數值積分法進行數值求解。同時，通過最大碰摩力和占空比對系統發生碰摩沖擊的嚴重程度和占比進行量化表征。最后，通過改變轉盤主要參數偏心距e，辨識系統參數對轉子系統動力學響應的影響，得到轉子系統參數與系統周期運動合理的匹配區間。

1 系統動力學模型

考慮齒式聯軸器不對中-碰摩耦合故障模型如圖1所示，質量均考慮集中質量，轉盤兩側通過對稱結構的滑動軸承支撐。其中：O為參考系中心；O1為軸承內徑幾何中心；O2為轉盤幾何中心；m1為轉盤集中在軸承處的質量；m2為轉盤集中質量；c1為軸承阻尼系數；c2為轉盤阻尼系數；e為轉盤偏心距；轉軸為剛度系數k的柔性軸；kc為碰摩剛度；δ1為轉盤與定子的徑向間隙。

圖1 滑動軸承-轉子系統模型

1.1 不對中-碰摩耦合轉子系統動力學方程

設左端軸頸的徑向位移為X1和Y1，轉盤的徑向位移為X2和Y2，通過 Lagrange 方程確定不對中-碰摩耦合故障作用下轉子系統的動力學方程為

(1)

式中：PX2、PY2為碰摩力；FX1、FY1為軸承油膜力；FZX、FZY為不對中產生的作用力；g為重力常數；ω為轉子的角速度(左視圖順時針為正轉)。

1.2 非線性油膜力

文中所研究滑動軸承采用非線性較好的Capone短軸承的油膜力模型[10]，該模型的收斂性和精度較好。

量綱一化后的油膜力：

(2)

式中：σ為Sommerfeld修正系數。

(3)

式(3)中各參數表示為

(4)

式中：μ為潤滑油黏度；c為軸承間隙；x1和y1分別為軸承的內徑幾何中心在X軸方向和Y軸方向的位移。

1.3 碰摩力模型

圖2所示為圖1轉子系統的左視圖。轉盤中心的初始位置為O，該轉子系統運行時，當轉盤徑向位移δr>δ1時，轉盤與定子產生碰摩作用，碰摩過程中產生徑向力Pn和切向力Pt可以表示為

(5)

圖2 碰摩力模型

將以上碰摩力分解到X軸方向和Y軸方向分別為

(6)

1.4 齒式聯軸器不對中模型

此齒式聯軸器模型考慮綜合不對中，其作用力模型如圖3所示。

圖3 齒式聯軸器綜合不對中作用力模型

圖3中聯軸器外殼與兩半聯軸器間存在相對運動。設點A為電機主軸的軸心投影，點B為轉子轉軸的軸心投影，點C為外殼的動態中心，AC為外殼與電機主軸的連線，BC為外殼與轉子轉軸的連線，AC垂直BC。設AB長為ΔE，點C坐標為C(x,y)，夾角不對中量為α，則當轉子系統運轉時，點C以綜合不對中量ΔE為直徑做圓周運動，ω為轉速，則點C的坐標可表示為

(7)

綜合不對中量ΔE由聯軸器間距ΔL、平行不對中量ρ以及不對中夾角α共同決定：

ΔE=ρ+ΔLtanα/2

(8)

隨后，由式(7)對時間t求二次導數，得到點C的加速度，即：

(9)

由式(9)可知，當聯軸器存在不對中故障時，將會給轉子系統施加一個額外的激振力F。若將其在o0-x和o0-y方向上做投影，其分量滿足：

(10)

為了進行系統的動力學研究，引入以下量綱一化參數：xi=Xi/b(i=1,2)，yi=Yi/b(i=1,2)，τ=ωt，則式(1)可化為

(11)

2 數值仿真與分析

2.1 最大碰摩力與占空比

文中引入最大碰摩力和碰摩占空比來表征轉子與定子碰摩的激烈程度和持續時間。最大碰摩力表述了轉盤與定子在接觸過程中產生的最大作用力，碰摩作用是導致轉子系統出現異常振動的非線性因素之一，是決定軸承-轉子系統使用壽命的關鍵參數。文中將最大碰摩力定義為：在一個運動周期Tn=2nπ/ω內，轉盤與定子水平豎直方向碰摩力合力的最大值，表示為

最大碰摩力的取值為Pmax≥0。另外引入電信系統中的“占空比(Duty Cycle)”，文中用δDC表示碰摩占空比，即轉子在一個運動周期Tn=2nπ/ω內，轉盤與定子在各接觸階段所耗費時間的總和與運動周期的比值，表達式為

δDC=(ΔtDC1+ΔtDC2+ΔtDC3+…)/Tn

其中：δDC∈[0,1)。

2.2 系統的Poincaré截面

文中采用p/n來研究系統的動力學特性，其中p表示轉子系統在一個振動周期Tn=2nπ/ω內的轉盤與定子的碰撞沖擊次數(p=0,1,2,3,…)；n表示轉子在一個振動周期Tn=2nπ/ω內的旋轉周期數(n=1,2,3,…)，反映在周期分岔圖。為了研究不對中-碰撞耦合轉子系統的動力學行為與分岔特性，選擇系統的Poincaré映射圖截面[11]：

R8×T|mod(t=2π/ω)}。

基于表1所示的系統參數，采用四階變步長Runge-Kutta數值積分法對方程組(11)進行積分求解，為了得到穩定的響應數值，舍去前500個周期的仿真結果，得到系統的一系列響應圖。

表1 系統主要參數

2.3 不對中-碰摩耦合轉子隨轉速變化響應分析

為了研究不對中-碰摩耦合條件下轉子系統的動力學行為，基于系統參數仿真得到不對中-碰摩耦合轉子的響應圖，如圖4、5所示。其中，圖4所示為不同轉速對應的響應圖，圖5所示為系統轉速范圍內最大碰摩力和占空比分布。

圖4 系統分岔圖及不同轉速對應的響應圖

圖5 系統最大碰摩力(a)和占空比(b)隨轉速變化分布

圖6 不同轉速對應的頻譜圖

2.4 改變偏心距對轉子系統動力學響應的影響

由式(1)可知：轉子偏心距e的改變會對轉子系統產生直接影響，因此對轉子偏心距e=0.05 mm和e=0.1 mm進行離散取值。計算不同e值對應轉子系統的周期分岔圖、最大碰摩力和占空比隨轉速改變的分布如圖7、8所示。同時，結合圖4中e=0.025 mm進行對比分析。轉子偏心距e由小變大時，轉子系統的分岔特性變得簡單化，系統的振動幅值呈現先減小后增大的趨勢，同時偏心距的增大使得轉子系統的一、二階臨界轉速增大。當偏心距e=0.05 mm時，通過圖7可知系統的振動幅值呈現連續變化的趨勢，并未出現δDC=1的全周期碰摩區域，系統在整個轉速窗口內可平穩運行。當偏心距e=0.1 mm時，轉子系統在整個轉速窗口內呈現周期運動，同時轉子的振動幅值變化很大，在較大轉速范圍內出現了δDC=1的全周期碰摩運動，特別是在一階臨界轉速前后，系統發生了跳躍分岔，導致最大碰摩力變化劇烈，嚴重威脅轉子系統的平穩運行和使用壽命。

圖7 e=0.05 mm時周期分岔圖(a)、最大碰摩力(b)和占空比(c)分布

圖8 e=0.1 mm時周期分岔圖(a)、最大碰摩力(b)和占空比(c)分布

通過以上分析可知，偏心距的改變對系統的運動分布和幅值有顯著的影響，為了更直觀地說明偏心距對轉子系統動力學響應的影響，在轉速ω=900 rad/s和ω=1 950 rad/s條件下，分別得到偏心距離散取值e=0.25 mm、e=0.05 mm和e=0.1 mm的相應頻譜圖，如圖9所示。觀察圖9(a)可知：偏心距較小時，系統的運動類型和分布主要受油膜渦動和油膜振蕩影響而發生轉遷；當偏心距逐漸增大時，系統轉頻分量占據主導，同時能有效地抑制油膜力的影響，進而使系統運動趨于穩定，但偏心距的增大會導致一階臨界轉速范圍內系統轉頻的幅值急劇增大，而不會影響不對中產生的2×頻率幅值。

圖9 不同偏心距對應的頻譜圖

2.5 定轉速下偏心距對轉子系統動力學響應的影響

分析第2.4節分析可知，轉子的偏心距e變化對系統運動類型、存在區域和分岔特性有較大影響。因此在轉速ω=900 rad/s和ω=1 950 rad/s下，得到偏心距持續改變對轉子系統動力學響應的影響如圖10、11所示。當ω=900 rad/s時，如圖10(a)所示，沿著偏心距e增大的方向依次經歷了P1-P2-P1運動，并且在e=0.065 mm時發生了跳躍分岔，系統的振動幅值急劇增大；通過圖10(c)可知系統進入全周期碰摩狀態，對應圖10(b)的最大碰摩力發生突變，說明偏心距e≥0.065 mm系統發生嚴重的全周期碰摩，進而影響轉子在該轉速范圍內運行的平穩性。

圖10 ω=900 rad/s時周期分岔圖(a)、最大碰摩力(b)和占空比(c)分布

當ω=1 950 rad/s時，如圖11(a)所示，沿著偏心距e增大的方向依次經歷了擬周期-P5-擬周期-P1運動，系統的振幅呈現先減小后增大的趨勢，同時對應的最大碰摩力和占空比整體同樣先減小后增大變化。當偏心距離e在(0～0.027) mm時，由于油膜振蕩占據主導作用，導致系統的振幅較大，此時通過圖11(c)可看出系統處于δDC=1全周期碰摩狀態。當e=0.068 mm時，系統通過Hopf Bif退出擬周期進入P1運動，觀察圖11(b)可知，系統偏心距離e在(0.068～0.08) mm時處于0/1無碰摩沖擊運動狀態。當偏心距進一步增大時，系統的振幅持續增加，進而進入碰摩力和占空比持續增大的P1運動。結合上述分析可知，偏心距能有效抑制油膜力對系統穩定性的影響，但過大的偏心距導致系統一階臨界轉速范圍內的振動幅值急劇增大，不利于系統的平穩運行。綜上可知：此模型的偏心距e取值為(0.027～0.065) mm時，既能減小油膜力對系統穩定性的影響，同時在整個轉速范圍內系統的幅值和對應的最大碰摩力及占空比持續變化，進而降低響應突變的影響。

圖11 ω=1 950 rad/s時周期分岔圖(a)、最大碰摩力(b)和占空比(c)分布

3 結論

文中以不對中-轉盤碰摩耦合的滑動軸承-轉子系統為研究對象，基于多參數、多目標協同仿真得到關鍵參數與系統響應的關聯關系，并研究了偏心距對轉子系統響應的影響，得出以下結論：

(1)不對中的存在導致轉子系統產生了2×、4×等偶數倍頻率，系統的軸心軌跡圖呈現出“8”字形。

(2)偏心距的變化直接影響了系統的周期運動類型和分布區域，主要原因是偏心距的增大能有效抑制油膜力對系統動力學特性的影響。

(3)偏心距由小變大時，系統的一、二階臨界轉速顯著提高，直接限制了油膜力的響應幅值，但不會影響不對中產生的2×頻率幅值。最后，得到文中轉子模型偏心距e在(0.027～0.065) mm內為合理的取值范圍。