化動為定　探解法之本質

摘 要：2019年連云港市中考數學第16題是一道探求兩條動線段之比的最大值問題，動點P在圓周上運動，無法直接入手利用距離的最值解決問題，可考慮運用轉化化歸的數學思想，將兩個變量轉為“一定一動”即單變量問題，然后利用相似或面積法轉化目標線段的比值，從而簡化問題，得到問題解決的基本路徑，并提煉一般性模型，揭示問題解法的本質.

關鍵詞：動點問題；化動為定；解法探究

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）05-0014-03

中考填空壓軸題具有結構優美、解法多樣等特點，本文以2019年連云港市第16題為例，對其進行結構分析、解法探究、解題步驟、模型提煉.

1 試題再現

如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以點C為圓心作⊙C與直線BD相切，點P是⊙C上一個動點，連接AP交BD于點T，則AP/AT的最大值是[1].

2 結構分析

2.1 條件分析

矩形ABCD長、寬分別為4與3，故此矩形為確定性圖形，與矩形ABCD有關的線段、角、面積等相關要素都可求得，由勾股定理易得對角線BD=5，利用面積法可求得點A或點C到線段BD的距離2.4，⊙C是以矩形ABCD的一個頂點為圓心，與對角線BD相切，故⊙C半徑是2.4.

2.2 結論分析

所求結論是兩條動線段的比值，主動點P在圓上，從動點T在矩形ABCD的對角線BD上，進一步觀察可發現這兩條動線段的公共端點為A.故本題是一道確定矩形和確定圓上點之間的距離問題.

2.3 圖形分析

如圖1，從整體分析，矩形ABCD和⊙C都具有對稱性，但本圖并沒有直觀的對稱軸.從局部分析，把矩形作為中心對稱圖形，點A與點C為對應點，故它們到對角線BD的距離相等，圓作為一種特殊的對稱圖形，這里僅考慮切點關于圓心C的對稱點，往往這就是解題的突破口.根據解題經驗，可以通過P點作相應線段的平行線，構造相似三角形，然后利用相似三角形的性質求解.

3 解法探究

3.1 基于條件特殊化下探究最值

如圖2，把矩形ABCD特殊化為正方形，當點P運動到AC的延長線上時（非切點），此時AT取最小值，AP取最大值，非常容易求出的最大值為3.

3.2 基于平行線構造相似的思路分析

構造出相似三角形是解決本題的第一個關鍵步驟.AP，AT都是在點P變化過程中長度變化的線段，可通過構造相似三角形將其轉化為相似三角形對應邊之比，且其中一條線段的長度是定值，將雙變量轉化為單變量，減少了變量，實現此過程最有效的手段就是過特定的點作相關線段的平行線，構造相似三角形.結合點P在圓周上運動，根據構造的相似三角形與圓的最值的相關知識解決問題.

解法1 如圖3，過點P作PE∥BD交AB的延長線于點E.

因為∠AEP=∠ABD，所以△APE∽△ATB，所以AP/AT=AE/AB.因為AB=4，AE=AB+BE，所以AP/AT=AE/AB=AB+BE/AB=1+BE/AB，若要AP/AT最大，令BE最大即可.

如圖3，過點B作BF⊥PE于點F.因為∠FEB=∠ABD，所以sin∠BEF=sin∠ABD=AD/BD.因為AB=4，AD=3，∠DAB=90°，所以BD=5，所以sin∠BEF=sin∠ABD=3/5，所以BE=5/3BF，所以當BE最大時，BF最大，只需求BF的最大值即可.

因為BF為平行線DB與PE之間的距離，點P在圓周上運動，且⊙C與BD相切，所以圓周上一點到切線的最大距離應為直徑，此時PE與⊙C相切，即圖4中的PE在Rt△BCD中，易得⊙C的半徑為2.4，直徑為4.8，所以BF的最大值為4.8，所以BE最大值為8，則AE最大值為12，從而AE/AB的最大值為3，即AP/AT的最大值為3.

解法2 如圖5，分別過點A、P作BD的垂線，垂足依次為E、G，則△AET∽△PGT，故PT/AT=PG/AE，從而AP/AT=AT+PT/AT=1+PT/AT=1+PG/AE.又AE=2.4，要使AP/AT最大，只要使PG最大，即點P到BD的距離最大.過點C作CG′⊥BD于G′，交⊙C于P′，易知P′G′即為PG的最大值，此時P′G′=2CG′=2AE.因此AP/AT的最大值為3.

解法3 如圖6，過點P作AD的平行線，交直線BD于點Q，則△ADT∽△PQT，所以AP/AT=AT+PT/AT=1+PT/AT=1+PQ/AD=1+PQ/3.再作PG⊥BD于點G，易得PQ=5/4PG，從而AP/AT=1+5/12PG，要使AP/AT最大，只要使PG最大，即點P到BD的距離最大.由解法1知PG最大值為4.8，故AP/AT=1+5/12PG=3.

解法4 如圖7，過點P作BD的平行線，交AD的延長線于點Q，則AP/AT=AQ/AD=AQ/3，要使AP/AT最大，只需使AQ最大.向上平移BD，使其再次與⊙C切點為P′，且交AD的延長線于點Q′，此時AQ′即為AQ的最大值.連接P′C并延長，交BD于點G′，再作DH⊥P′Q′，則P′G′=2CG′=4.8，故DQ′=6，故AQ′=9，即AQ的最大值為9，故AP/AT的最大值為3.

3.3 基于三角形面積轉化的思路分析

解法5 如圖8，連接PB，PD，

易證AP/AT=1+PT/AT，要使AP/AT最大，只需PT/AT最大.因為SΔPTD/S△ATD=PT/AT且SΔPTB/S△ATB=PT/AT，故S△PBD/SΔABD=S△PTD+SΔPTB/S△ATD+S△ATB=PT/AT·S△ATD+PT/AT·S△ATB/S△ATD+S△ATB=PT/AT，即SΔPBD/6=PT/AT，要使PT/AT最大，只需使SΔPBD最大，即點P到BD的距離最大，最大值為1/2BD·P′G′=1/2×5×4.8=12，故AP/AT=1+PT/AT=1+S△PBD/6=1+2=3.

4 解后思考

由以上解法可以看出，解決這類問題可從以下幾方面入手.

（1）觀整體：運用幾何圖形基本性質，求解隱含幾何常量.從已知出發，根據矩形性質、圓性質、切線性質求得矩形的四條邊長、對角線長及頂點到對角線的距離，其中求出圓的半徑對于解答本題至關重要.

（2）尋動點：明確動點運動的軌跡，構造相似三角形轉化變量.點P是主動點，點T是從動點，為降低難度必須轉化變量，將兩個變量轉化為一個變量，構造相似三角形是轉化變量最重要的手段，最常用的方法就是作平行線.

（3）察最值：觀察動點定線位置，確定點線距離最值.當問題轉化為單變量時，發現這個變量最終是圓上的一個點與一條定直線之間的距離，因而只要去判斷點線距離便便獲得最值.

5 結束語

中考壓軸題的解題過程，既要分析題目條件與結論的內在邏輯結構，又要分析解題的依據和數學的本質，順勢而思、自然生成.本例在轉化思想的引領下，借助幾何直觀和相似模型實現轉化，對結論逆向溯源獲得解題途徑.

參考文獻：

［1］ 尹慶剛，趙廣國.透過“多余條件”探尋一類動點問題背后的基本數學模型[J].數理化學習（初中版），2020（2）：27-30.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-15

作者簡介：何則淦（1975.9-），男，福建省永泰人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.